Función de distribución de Wigner

Análisis de distribución tiempo-frecuencia de WDF (en rojo y amarillo) frente al banco FIR (en verde).

La función de distribución de Wigner (WDF) se utiliza en el procesamiento de señales como transformada en el análisis de tiempo-frecuencia .

La WDF fue propuesta por primera vez en física para dar cuenta de las correcciones cuánticas a la mecánica estadística clásica en 1932 por Eugene Wigner , y es de importancia en la mecánica cuántica en el espacio de fases (ver, a modo de comparación: Distribución de cuasi probabilidad de Wigner , también llamada Función de Wigner o distribución de Wigner-Ville ).

Dada la estructura algebraica compartida entre los pares conjugados posición-momento y tiempo-frecuencia , también sirve de manera útil en el procesamiento de señales, como una transformación en el análisis tiempo-frecuencia, el tema de este artículo. En comparación con una transformada de Fourier de corto tiempo , como la transformada de Gabor , la función de distribución de Wigner proporciona la resolución temporal versus frecuencia más alta posible, lo cual es matemáticamente posible dentro de las limitaciones del principio de incertidumbre. La desventaja es la introducción de grandes términos cruzados entre cada par de componentes de la señal y entre frecuencias positivas y negativas, lo que hace que la formulación original de la función no se ajuste bien a la mayoría de las aplicaciones de análisis. Se han propuesto modificaciones posteriores que preservan la nitidez de la función de distribución de Wigner pero suprimen en gran medida los términos cruzados.

Definición matemática

Existen varias definiciones diferentes para la función de distribución de Wigner. La definición dada aquí es específica del análisis tiempo-frecuencia. Dada la serie de tiempo , su función de autocovarianza no estacionaria viene dada por ${\displaystyle x[t]}$

${\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,}$

donde denota el promedio de todas las realizaciones posibles del proceso y es la media, que puede o no ser función del tiempo. Luego , la función de Wigner se obtiene expresando primero la función de autocorrelación en términos del tiempo promedio y el desfase , y luego transformando el desfase de Fourier. ${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$ ${\displaystyle \mu (t)}$ ${\displaystyle W_{x}(t,f)}$ ${\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2}$ ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

Entonces, para una única serie de tiempo (media cero), la función de Wigner viene dada simplemente por

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

La motivación de la función de Wigner es que se reduce a la función de densidad espectral en todo momento para procesos estacionarios, pero es totalmente equivalente a la función de autocorrelación no estacionaria. Por lo tanto, la función de Wigner nos dice (aproximadamente) cómo cambia la densidad espectral en el tiempo. ${\displaystyle t}$

Ejemplo de análisis tiempo-frecuencia

A continuación se muestran algunos ejemplos que ilustran cómo se utiliza el WDF en el análisis de tiempo-frecuencia.

Señal de entrada constante

Cuando la señal de entrada es constante, su distribución tiempo-frecuencia es una línea horizontal a lo largo del eje del tiempo. Por ejemplo, si x ( t ) = 1, entonces

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau =\delta (f).}$

Señal de entrada sinusoidal

Cuando la señal de entrada es una función sinusoidal, su distribución tiempo-frecuencia es una línea horizontal paralela al eje del tiempo, desplazada de él por la frecuencia de la señal sinusoidal. Por ejemplo, si x ( t ) = e ^{i2π kt} , entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau \left(f-k\right)}\,d\tau \\&=\delta (f-k).\end{aligned}}}$

Señal de entrada de chirrido

Cuando la señal de entrada es una función de chirrido lineal , la frecuencia instantánea es una función lineal. Esto significa que la distribución de frecuencia temporal debe ser una línea recta. Por ejemplo, si

${\displaystyle x(t)=e^{i2\pi kt^{2}}}$,

entonces su frecuencia instantánea es

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d(2\pi kt^{2})}{dt}}=2kt~,}$

y su WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi k\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi k\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)^{2}}e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i4\pi kt\tau }e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi \tau (f-2kt)}\,d\tau \\&=\delta (f-2kt)~.\end{aligned}}}$

Señal de entrada delta

Cuando la señal de entrada es una función delta, dado que sólo es distinta de cero en t = 0 y contiene componentes de frecuencia infinitos, su distribución tiempo-frecuencia debe ser una línea vertical que cruce el origen. Esto significa que la distribución de frecuencia temporal de la función delta también debería ser una función delta. Por WDF

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\delta \left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-i2\pi \tau \,f}\,d\tau \\&=4\int _{-\infty }^{\infty }\delta (2t+\tau )\delta (2t-\tau )e^{-i2\pi \tau f}\,d\tau \\&=4\delta (4t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t)e^{i4\pi tf}\\&=\delta (t).\end{aligned}}}$

La función de distribución de Wigner es más adecuada para el análisis de tiempo-frecuencia cuando la fase de la señal de entrada es de segundo orden o inferior. Para esas señales, WDF puede generar exactamente la distribución de frecuencia temporal de la señal de entrada.

Función de furgón

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}1&|t|<1/2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\qquad }$,

la función rectangular ⇒

${\displaystyle W_{x}(t,f)={\begin{cases}{\frac {1}{\pi f}}\sin(2\pi f\{1-2|t|\})&|t|<1/2\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Propiedad de término cruzado

La función de distribución de Wigner no es una transformada lineal. Un término cruzado ("latidos de tiempo") ocurre cuando hay más de un componente en la señal de entrada, análogo en tiempo a los latidos de frecuencia . ^[1] En la distribución de cuasi probabilidad de Wigner de física ancestral , este término tiene consecuencias físicas importantes y útiles, necesarias para valores esperados fieles. Por el contrario, la transformada de Fourier de corto tiempo no tiene esta característica. Las características negativas del WDF reflejan el límite de Gabor de la señal clásica y no tienen relación física con ninguna posible base de estructura cuántica.

Los siguientes son algunos ejemplos que exhiben la característica de términos cruzados de la función de distribución de Wigner.

• ${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&t\leq -2\\\cos(4\pi t)&-2<t\leq 2\\\cos(3\pi t)&t>2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}$

Para reducir la dificultad entre términos, se han propuesto varios enfoques en la literatura, ^{[2] [3]} algunos de ellos conducen a nuevas transformaciones como la función de distribución de Wigner modificada , la transformada de Gabor-Wigner , la distribución de Choi-Williams Función y distribución de clases de Cohen .

Propiedades de la función de distribución de Wigner

La función de distribución de Wigner tiene varias propiedades evidentes que se enumeran en la siguiente tabla.

Propiedad de proyección

${\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

Propiedad energética

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df}$

Propiedad de recuperación

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left({\frac {t}{2}},f\right)e^{i2\pi ft}\,df&=x(t)x^{*}(0)\\\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left(t,{\frac {f}{2}}\right)e^{i2\pi ft}\,dt&=X(f)X^{*}(0)\end{aligned}}}$

Frecuencia media de condición y tiempo medio de condición

${\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

Propiedades del momento

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}}$

Propiedades reales

${\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}$

Propiedades de región

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t>t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t<t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t<t_{0}\end{aligned}}}$

Teorema de multiplicación

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t)h(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,\rho )W_{h}(t,f-\rho )\,d\rho \end{aligned}}}$

Teorema de convolución

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )h(\tau )\,d\tau \\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,f)W_{h}(t-\rho ,f)\,d\rho \end{aligned}}}$

Teorema de correlación

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )h^{*}(\tau )\,d\tau {\text{ then }}\\W_{y}(t,\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,\omega )W_{h}(-t+\rho ,\omega )\,d\rho \end{aligned}}}$

Covarianza de cambio de tiempo

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t-t_{0})\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t-t_{0},f)\end{aligned}}}$

Covarianza de modulación

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=e^{i2\pi f_{0}t}x(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})\end{aligned}}}$

Covarianza de escala

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&={\sqrt {a}}x(at){\text{ for some }}a>0{\text{ then }}\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(at,{\frac {f}{a}})\end{aligned}}}$

Función de distribución de Wigner con ventana

Cuando una señal no tiene un límite de tiempo, su función de distribución Wigner es difícil de implementar. Por lo tanto, agregamos una nueva función (máscara) a su parte de integración, de modo que solo tengamos que implementar parte de la función original en lugar de integrar desde el infinito negativo hasta el infinito positivo. Función original: Función con máscara: es real y por tiempo limitado ${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$ ${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$ ${\displaystyle w(\tau )}$

Implementación

Según la definición:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \\W_{x}(t,f)=2\int _{-\infty }^{\infty }w(2\tau ')x\left(t+\tau '\right)\cdot x^{*}\left(t-\tau '\right)e^{-j4\pi \tau 'f}\cdot d\tau '\\W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-\infty }^{\infty }w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

Supongamos que para y ${\displaystyle w(t)=0}$ ${\displaystyle |t|>B\rightarrow w(2p\Delta _{t})=0}$ ${\displaystyle p<-Q}$ ${\displaystyle p>Q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(n\Delta _{t},m\Delta _{f})=2\sum _{p=-Q}^{Q}w(2p\Delta _{t})x((n+p)\Delta _{t})x^{\ast }((n-p)\Delta _{t})e^{-j4\pi mp\Delta _{t}\Delta _{f}}\Delta _{t}\end{aligned}}}$

Tomamos como ejemplo ${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})+\delta (t-t_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau \,,\end{aligned}}}$

¿Dónde hay una función real? ${\displaystyle w(\tau )}$

Y luego comparamos la diferencia entre dos condiciones.

Ideal: ${\displaystyle W_{x}(t,f)=0,{\text{ for }}t\neq t_{2},t_{1}}$

Cuando la función de máscara , significa que no hay función de máscara. ${\displaystyle w(\tau )=1}$

${\displaystyle y(t,\tau )=x(t+{\frac {\tau }{2}})}$ ${\displaystyle y^{*}(t,-\tau )=x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t+{\frac {\tau }{2}}-t_{2})][\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{1})+\delta (t-{\frac {\tau }{2}}-t_{2})]e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

${\displaystyle =4\int _{-\infty }^{\infty }[\delta (2t+\tau -2t_{1})+\delta (2t+\tau -2t_{2})][\delta (2t-\tau -2t_{1})+\delta (2t-\tau -2t_{2})]e^{j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

3 condiciones

Luego consideramos la condición con función de máscara:

Podemos ver que tienen valor solo entre –B y B, por lo que realizar con puede eliminar el término cruzado de la función. Pero si x(t) no es una función Delta ni una función de frecuencia estrecha, es una función con frecuencia amplia u ondulación. Es posible que aún exista el borde de la señal entre –B y B, lo que aún causa el problema de términos cruzados. ${\displaystyle w(\tau )}$ ${\displaystyle w(\tau )}$

Por ejemplo:

Ver también

• Representación tiempo-frecuencia
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• espectrograma
• transformación de gabor
• Autocorrelación
• Transformada de Gabor-Wigner
• Función de distribución de Wigner modificada
• Teorema de equivalencia óptica
• Distribución polinómica de Wigner-Ville
• Función de distribución de clases de Cohen
• Distribución de cuasi probabilidad de Wigner
• Transformación entre distribuciones en análisis tiempo-frecuencia.
• Distribución bilineal tiempo-frecuencia

Referencias

1. F. Hlawatsch y P. Flandrin, "La estructura de interferencia de la distribución de Wigner y representaciones de señales de tiempo-frecuencia relacionadas", en W. Mecklenbräuker y F. Hlawatsch, La distribución de Wigner: teoría y aplicaciones en el procesamiento de señales
2. B. Boashah (Ed.), Análisis y procesamiento de señales de frecuencia de tiempo , Elsevier, 2003
3. P. Flandrin, Análisis de tiempo-frecuencia/escala de tiempo , Elsevier, 1998

Otras lecturas

• Wigner, E. (1932). "Sobre la corrección cuántica del equilibrio termodinámico" (PDF) . Revisión física . 40 (5): 749–759. Código bibliográfico : 1932PhRv...40..749W. doi : 10.1103/PhysRev.40.749. hdl :10338.dmlcz/141466.
• J. Ville, 1948. "Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique", Câbles et Transmission , 2 , 61–74.
• TACM Classen y WFG Mecklenbrauker, 1980. "La distribución de Wigner: una herramienta para el análisis de señales de tiempo-frecuencia; Parte I", Philips J. Res., vol. 35, págs. 217–250.
• L. Cohen (1989): Actas del IEEE 77 págs. 941–981, Distribuciones de tiempo-frecuencia: una revisión
• L. Cohen, Análisis de tiempo-frecuencia , Prentice-Hall, Nueva York, 1995. ISBN 978-0135945322 
• S. Qian y D. Chen, Análisis conjunto de tiempo-frecuencia: métodos y aplicaciones , cap. 5, Prentice Hall, Nueva Jersey, 1996.
• B. Boashash, "Nota sobre el uso de la distribución Wigner para el análisis de señales de frecuencia temporal", IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 36 , núm. 9, págs. 1518-1521, septiembre de 1988. doi :10.1109/29.90380. B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa , Elsevier Science, Oxford, 2003, ISBN 0-08-044335-4 . 
• F. Hlawatsch, GF Boudreaux-Bartels : "Representación de señal de tiempo-frecuencia lineal y cuadrática", Revista IEEE Signal Processing, págs. 21–67, abril de 1992.
• RL Allen y DW Mills, Análisis de señales: tiempo, frecuencia, escala y estructura , Wiley-Interscience, Nueva Jersey, 2004.
• Jian-Jiun Ding, Notas de clase sobre análisis de frecuencia de tiempo y transformada de ondas, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU), Taipei, Taiwán, 2015.
• Kakofengitis, D. y Steuernagel, O. (2017). "Corriente espacial de fase cuántica de Wigner en sistemas de dos estados débilmente anarmónicos y débilmente excitados" European Physical Journal Plus 14.07.2017

enlaces externos

• Sonograma Visible Speech bajo software gratuito con licencia GPL para la extracción visual de la distribución Wigner.