Transformación entre distribuciones en el análisis tiempo-frecuencia.

En el campo del análisis tiempo-frecuencia , se utilizan varias formulaciones de señales para representar la señal en un dominio conjunto tiempo-frecuencia. ^[1]

Existen varios métodos y transformaciones llamadas "distribuciones tiempo-frecuencia" (TFD), cuyas interconexiones fueron organizadas por Leon Cohen. ^{[2] [3] [4] [5]} Los métodos más útiles y populares forman una clase denominada distribuciones tiempo-frecuencia "cuadráticas" o bilineales . Un miembro principal de esta clase es la distribución Wigner-Ville (WVD), ya que todos los demás TFD se pueden escribir como versiones suavizadas o convolucionadas de WVD. Otro miembro popular de esta clase es el espectrograma , que es el cuadrado de la magnitud de la transformada de Fourier de corto tiempo (STFT). El espectrograma tiene la ventaja de ser positivo y fácil de interpretar, pero también tiene desventajas, como ser irreversible, lo que significa que una vez que se calcula el espectrograma de una señal, la señal original no se puede extraer del espectrograma. La teoría y metodología para definir un TFD que verifique ciertas propiedades deseables se proporciona en la "Teoría de los TFD cuadráticos". ^[6]

El objetivo de este artículo es ilustrar algunos elementos del procedimiento para transformar una distribución en otra. El método utilizado para transformar una distribución se toma prestado de la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica , aunque el tema de este artículo es el "procesamiento de señales". Teniendo en cuenta que una señal se puede recuperar de una distribución particular bajo ciertas condiciones, dado un cierto TFD ρ ₁ ( t , f ) que representa la señal en un dominio conjunto de tiempo-frecuencia, otro TFD ρ ₂ ( t , f ) diferente de se puede obtener la misma señal para calcular cualquier otra distribución, mediante simple suavizado o filtrado; Algunas de estas relaciones se muestran a continuación. En el libro de Cohen se puede dar un tratamiento completo de la cuestión.

clase general

Si usamos la variable ω = 2 πf , entonces, tomando prestadas las notaciones utilizadas en el campo de la mecánica cuántica, podemos demostrar que la representación tiempo-frecuencia, como la función de distribución de Wigner (WDF) y otras distribuciones bilineales tiempo-frecuencia , pueden ser expresado como

donde hay una función bidimensional llamada núcleo, que determina la distribución y sus propiedades (para conocer la terminología de procesamiento de señales y el tratamiento de esta cuestión, se remite al lector a las referencias ya citadas en la introducción). ${\displaystyle \phi (\theta ,\tau )}$

El núcleo de la función de distribución de Wigner (WDF) es uno. Sin embargo, no se le debe dar ningún significado particular, ya que es posible escribir la forma general de modo que el núcleo de cualquier distribución sea uno, en cuyo caso el núcleo de la función de distribución de Wigner (WDF) sería otra cosa.

Formulación de funciones características.

La función característica es la doble transformada de Fourier de la distribución. Mediante inspección de la ecuación. ( 1 ), podemos obtener que

dónde

y donde está la función de ambigüedad simétrica. La función característica puede denominarse apropiadamente función de ambigüedad generalizada. ${\displaystyle A(\theta ,\tau )}$

Transformación entre distribuciones

Para obtener esa relación supongamos que hay dos distribuciones, y , con núcleos correspondientes, y . Sus funciones características son ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

Divida una ecuación por la otra para obtener

Esta es una relación importante porque conecta las funciones características. Para que la división sea adecuada, el núcleo no puede ser cero en una región finita.

Para obtener la relación entre las distribuciones, tome la doble transformada de Fourier de ambos lados y use la ecuación. ( 2 )

Ahora exprese en términos de para obtener ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Esta relación se puede escribir como

con

Relación del espectrograma con otras representaciones bilineales.

Ahora nos especializamos en el caso en el que se transforma de una representación arbitraria al espectrograma. En la ecuación. ( 9 ), se establecen tanto para que sea el espectrograma como para que sea arbitrario. Además, para simplificar la notación, y se establecen y escriben como ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{SP}=\phi _{1},\phi =\phi _{2}}$ ${\displaystyle g_{SP}=g_{12}}$

El núcleo del espectrograma con ventana, es y por lo tanto ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle A_{h}(-\theta ,\tau )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}}){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{aligned}}}$$

Si sólo consideramos los núcleos para los cuales se cumple entonces y por lo tanto ${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$ $${\displaystyle g_{SP}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta =C_{h}(t,-\omega )}$$ $${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t'-t,\omega '-\omega )\,dt'\,d\omega '}$$

Así lo demostró Janssen. ^[4] Cuando no es igual a uno, entonces dónde ${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )}$ $${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t'',\omega '')C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t''+t'-t,-\omega ''+\omega -\omega ')\,dt'\,dt''\,d\omega '\,d\omega ''}$$ $${\displaystyle G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau }$$

Referencias

1. L. Cohen, "Análisis tiempo-frecuencia", Prentice-Hall , Nueva York, 1995. ISBN  978-0135945322
2. L. Cohen, "Funciones de distribución del espacio de fases generalizadas", J. Math. Física. , 7 (1966) págs. 781–786, doi:10.1063/1.1931206
3. L. Cohen, "Problema de cuantificación y principio de variación en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica", J. Math. Física. , 7 págs. 1863–1866, 1976.
4. AJEM Janssen, "Sobre el lugar y la propagación de funciones de pseudodensidad en el plano tiempo-frecuencia", Philips Journal of Research , vol. 37, págs. 79-110, 1982.
5. E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, “Representación de características de tiempo-frecuencia mediante concentración de energía: una descripción general de los avances recientes”, Procesamiento de señales digitales , vol. 19, núm. 1, págs. 153-183, enero de 2009.
6. B. Boashash, “Teoría de los TFD cuadráticos”, capítulo 3, págs. 59–82, en B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa, Elsevier, Oxford, 2003; ISBN 0-08-044335-4 .