Distribución bilineal de tiempo y frecuencia

Las distribuciones bilineales de tiempo-frecuencia , o distribuciones cuadráticas de tiempo-frecuencia , surgen en un subcampo del análisis y procesamiento de señales llamado procesamiento de señales de tiempo-frecuencia y, en el análisis estadístico de datos de series temporales . Dichos métodos se utilizan cuando se necesita lidiar con una situación en la que la composición de frecuencia de una señal puede cambiar con el tiempo; ^[1] este subcampo solía llamarse análisis de señales de tiempo-frecuencia, y ahora se denomina más a menudo procesamiento de señales de tiempo-frecuencia debido al progreso en el uso de estos métodos para una amplia gama de problemas de procesamiento de señales.

Fondo

Los métodos para analizar series temporales, tanto en el análisis de señales como en el análisis de series temporales , se han desarrollado como metodologías esencialmente independientes que se aplican y se basan en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia . Se requiere un enfoque mixto en las técnicas de análisis de tiempo-frecuencia que son especialmente eficaces para analizar señales no estacionarias, cuya distribución de frecuencia y magnitud varían con el tiempo. Ejemplos de estas son las señales acústicas . Las clases de "distribuciones de tiempo-frecuencia cuadráticas" (o distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales") se utilizan para el análisis de señales de tiempo-frecuencia. Esta clase es similar en formulación a la función de distribución de clases de Cohen que se utilizó en 1966 en el contexto de la mecánica cuántica. Esta función de distribución es matemáticamente similar a una representación de tiempo-frecuencia generalizada que utiliza transformaciones bilineales. En comparación con otras técnicas de análisis de tiempo-frecuencia , como la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT), la transformación bilineal (o distribuciones de tiempo-frecuencia cuadráticas) puede no tener mayor claridad para la mayoría de las señales prácticas, pero proporciona un marco alternativo para investigar nuevas definiciones y nuevos métodos. Si bien sufre de una contaminación cruzada inherente al analizar señales de múltiples componentes, al usar una función de ventana cuidadosamente elegida (s), la interferencia se puede mitigar significativamente, a expensas de la resolución. Todas estas distribuciones bilineales son interconvertibles entre sí, cf. transformación entre distribuciones en análisis de tiempo-frecuencia .

Distribución de Wigner-Ville

La distribución de Wigner-Ville es una forma cuadrática que mide una energía de tiempo-frecuencia local dada por:

${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)f^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }\,d\tau }$

La distribución de Wigner–Ville sigue siendo real, ya que es la transformada de Fourier de f ( u  +  τ /2)· f *( u  −  τ /2), que tiene simetría hermítica en τ . También se puede escribir como una integración de frecuencias aplicando la fórmula de Parseval:

${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}\left(\xi +{\tfrac {\gamma }{2}}\right){\hat {f}}^{*}\left(\xi -{\tfrac {\gamma }{2}}\right)e^{i\gamma u}\,d\gamma }$

Proposición 1. para cualquier f en L ² (R)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2}}$

Teorema de Moyal. Para f y g en L ² (R),

${\displaystyle 2\pi \left|\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g^{*}(t)\,dt\right|^{2}=\iint {P_{V}f(u,\xi )}P_{V}g(u,\xi )\,du\,d\xi }$

Proposición 2 (soporte tiempo-frecuencia). Si f tiene un soporte compacto, entonces para todo ξ el soporte de a lo largo de u es igual al soporte de f . De manera similar, si tiene un soporte compacto, entonces para todo u el soporte de a lo largo de ξ es igual al soporte de . ${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Proposición 3 (frecuencia instantánea). Si entonces ${\displaystyle f_{a}(t)=a(t)e^{i\phi (t)}}$

${\displaystyle \phi '(u)={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }\xi P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }{\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }}}$

Interferencia

Sea una señal compuesta. Podemos escribir: ${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}}$

${\displaystyle P_{V}f=P_{V}f_{1}+P_{V}f_{2}+P_{V}\left[f_{1},f_{2}\right]+P_{V}\left[f_{2},f_{1}\right]}$

dónde

${\displaystyle P_{V}[h,g](u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }h\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)g^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }d\tau }$

es la distribución cruzada de Wigner-Ville de dos señales. El término de interferencia

${\displaystyle I[f_{1},f_{2}]=P_{V}[f_{1},f_{2}]+P_{V}[f_{2},f_{1}]}$

es una función real que crea valores distintos de cero en posiciones inesperadas (cerca del origen) en el plano. Los términos de interferencia presentes en una señal real se pueden evitar calculando la parte analítica . ${\displaystyle (u,\xi )}$ ${\displaystyle f_{a}(t)}$

Núcleo de positividad y suavizado

Los términos de interferencia son oscilatorios ya que las integrales marginales se desvanecen y pueden eliminarse parcialmente suavizando con un kernel  θ ${\displaystyle P_{V}f}$

${\displaystyle P_{\theta }f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }{\int _{-\infty }^{\infty }{P_{V}f(u',\xi ')}}\theta (u,u',\xi ,\xi ')\,du'\,d\xi '}$

La resolución de tiempo-frecuencia de esta distribución depende de la dispersión del núcleo θ en la vecindad de . Dado que las interferencias toman valores negativos, se puede garantizar que se eliminen todas las interferencias imponiendo que ${\displaystyle (u,\xi )}$

${\displaystyle P_{\theta }f(u,\xi )\geq 0,\qquad \forall (u,\xi )\in {{\mathbf {R} }^{2}}}$

El espectrograma y el escalograma son ejemplos de distribuciones de energía de tiempo-frecuencia positivas. Definamos una transformada lineal sobre una familia de átomos de tiempo-frecuencia . Para cualquier existe un átomo único centrado en tiempo-frecuencia en . La densidad de energía de tiempo-frecuencia resultante es ${\displaystyle Tf(\gamma )=\left\langle f,\phi _{\gamma }\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\{\phi _{\gamma }\right\}_{\gamma \in \Gamma }}$ ${\displaystyle (u,\xi )}$ ${\displaystyle \phi _{\gamma (u,\xi )}}$ ${\displaystyle (u,\xi )}$

${\displaystyle P_{T}f(u,\xi )=\left|\left\langle f,\phi _{\gamma (u,\xi )}\right\rangle \right|^{2}}$

De la fórmula de Moyal,

${\displaystyle P_{T}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u',\xi ')P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')\,du'\,d\xi '}$

que es el promedio de frecuencia temporal de una distribución de Wigner-Ville. El núcleo de suavizado puede escribirse así:

${\displaystyle \theta (u,u',\xi ,\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')}$

La pérdida de resolución tiempo-frecuencia depende de la dispersión de la distribución en la vecindad de . ${\displaystyle P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')}$ ${\displaystyle (u,\xi )}$

Ejemplo 1

Un espectrograma calculado con átomos de Fourier en ventana,

${\displaystyle \phi _{\gamma (u,\xi )}(t)=g(t-u)e^{i\xi t}}$

${\displaystyle \theta (u,u',\xi ,\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}g(u'-u,\xi '-\xi )}$

Para un espectrograma, el promedio de Wigner-Ville es, por lo tanto, una convolución bidimensional con . Si g es una ventana gaussiana, es una gaussiana bidimensional. Esto demuestra que el promedio con una gaussiana suficientemente amplia define una densidad de energía positiva. La clase general de distribuciones de tiempo-frecuencia obtenidas mediante la convolución con un núcleo arbitrario θ se denomina clase de Cohen, que se analiza a continuación. ${\displaystyle P_{V}g}$ ${\displaystyle P_{V}g}$ ${\displaystyle P_{V}f}$ ${\displaystyle P_{V}f}$

Teorema de Wigner. No existe distribución de energía cuadrática positiva Pf que satisfaga las siguientes integrales marginales de tiempo y frecuencia:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }Pf(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }Pf(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

Definición matemática

La definición de la clase de Cohen de distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales (o cuadráticas) es la siguiente:

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,}$

donde es la función de ambigüedad (AF), que se analizará más adelante; y es la función de núcleo de Cohen , que suele ser una función de paso bajo y normalmente sirve para enmascarar la interferencia. En la representación original de Wigner, . ${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )}$ ${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )}$ ${\displaystyle \Phi \equiv 1}$

Una definición equivalente se basa en una convolución de la función de distribución de Wigner (WD) en lugar de la AF:

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu =[W_{x}\ast \Pi ](t,f)}$

donde la función kernel se define en el dominio de tiempo-frecuencia en lugar del de ambigüedad. En la representación original de Wigner, . La relación entre los dos kernels es la misma que la existente entre la WD y la AF, es decir, dos transformadas de Fourier sucesivas (véase el diagrama). ${\displaystyle \Pi (t,f)}$ ${\displaystyle \Pi =\delta _{(0,0)}}$

${\displaystyle \Phi ={\mathcal {F}}_{t}{\mathcal {F}}_{f}^{-1}\Pi }$

es decir

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Pi (t,f)\exp(-j2\pi (t\eta -f\tau ))\,dt\,df,}$

o equivalentemente

${\displaystyle \Pi (t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau .}$

Función de ambigüedad

La clase de distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales (o cuadráticas) se puede entender más fácilmente en términos de la función de ambigüedad , cuya explicación se presenta a continuación.

Consideremos la conocida densidad espectral de potencia y la función de autocorrelación de la señal en el caso de un proceso estacionario. La relación entre estas funciones es la siguiente: ${\displaystyle P_{x}(f)}$ ${\displaystyle R_{x}(\tau )}$

${\displaystyle P_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle R_{x}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\,dt.}$

Para una señal no estacionaria , estas relaciones se pueden generalizar utilizando una densidad espectral de potencia dependiente del tiempo o, equivalentemente, la famosa función de distribución de Wigner de la siguiente manera: ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right).}$

Si la transformada de Fourier de la función de autocorrelación se toma con respecto a t en lugar de τ , obtenemos la función de ambigüedad de la siguiente manera:

${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j2\pi t\eta }\,dt.}$

La relación entre la función de distribución de Wigner, la función de autocorrelación y la función de ambigüedad se puede ilustrar mediante la siguiente figura.

Al comparar la definición de distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales (o cuadráticas) con la de la función de distribución de Wigner, se descubre fácilmente que esta última es un caso especial de la primera con . Alternativamente, las distribuciones de tiempo-frecuencia bilineales (o cuadráticas) pueden considerarse como una versión enmascarada de la función de distribución de Wigner si se elige una función kernel. Una función kernel elegida correctamente puede reducir significativamente el término cruzado indeseable de la función de distribución de Wigner. ${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=1}$ ${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )\neq 1}$

¿Cuál es el beneficio de la función kernel adicional? La siguiente figura muestra la distribución del término automático y del término cruzado de una señal de múltiples componentes tanto en la función de distribución de ambigüedad como en la de Wigner.

En general, en el caso de las señales multicomponentes, la distribución de su término automático y de su término cruzado dentro de su función de distribución de Wigner no suele ser predecible y, por lo tanto, el término cruzado no se puede eliminar fácilmente. Sin embargo, como se muestra en la figura, en el caso de la función de ambigüedad, el término automático de la señal multicomponente tenderá inherentemente a cerrar el origen en el plano ητ y el término cruzado tenderá a alejarse del origen. Con esta propiedad, el término cruzado se puede filtrar sin esfuerzo si se aplica una función kernel de paso bajo adecuada en el dominio ητ . El siguiente es un ejemplo que demuestra cómo se filtra el término cruzado.

Propiedades del kernel

La transformada de Fourier de es ${\displaystyle \theta (u,\xi )}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\tau ,\gamma )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\theta (u,\xi )e^{-i(u\gamma +\xi \tau )}\,du\,d\xi }$

La siguiente proposición proporciona condiciones necesarias y suficientes para garantizar que se satisfacen propiedades de energía marginal como las de la distribución de Wigner-Ville. ${\displaystyle P_{\theta }}$

Proposición: Las propiedades de energía marginal

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }f(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2},}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }f(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

están satisfechos para todos si y sólo si ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \forall (\tau ,\gamma )\in \mathbf {R} ^{2}:\qquad {\hat {\theta }}(\tau ,0)={\hat {\theta }}(0,\gamma )=1}$

Algunas distribuciones de tiempo-frecuencia

Función de distribución de Wigner

Como se mencionó anteriormente, la función de distribución de Wigner es un miembro de la clase de distribuciones de tiempo-frecuencia cuadráticas (QTFD) con la función kernel . La definición de la distribución de Wigner es la siguiente: ${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=1}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}$

Funciones de distribución de Wigner modificadas

Invariancia afín

Podemos diseñar distribuciones de energía tiempo-frecuencia que satisfagan la propiedad de escala

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {s}}}f\left({\tfrac {t}{s}}\right)\longleftrightarrow P_{V}f\left({\tfrac {u}{s}},s\xi \right)}$

como lo hace la distribución de Wigner-Ville. Si

${\displaystyle g(t)={\frac {1}{\sqrt {s}}}f\left({\tfrac {t}{s}}\right)}$

entonces

${\displaystyle P_{\theta }g(u,\xi )=P_{\theta }f\left({\tfrac {u}{s}},s\xi \right).}$

Esto equivale a imponer que

${\displaystyle \forall s\in \mathbf {R} ^{+}:\qquad \theta \left(su,{\tfrac {\xi }{s}}\right)=\theta (u,\xi ),}$

y por lo tanto

${\displaystyle \theta (u,\xi )=\theta (u\xi ,1)=\beta (u\xi )}$

Las distribuciones de Rihaczek y Choi-Williams son ejemplos de distribuciones de clase de Cohen invariantes afines.

Función de distribución de Choi-Williams

El núcleo de la distribución de Choi-Williams se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\exp(-\alpha (\eta \tau )^{2}),}$

donde α es un parámetro ajustable.

Función de distribución de Rihaczek

El núcleo de la distribución de Rihaczek se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\exp \left(-i2\pi {\frac {\eta \tau }{2}}\right),}$

Con este núcleo en particular, un cálculo simple demuestra que

${\displaystyle C_{x}(t,f)=x(t){\hat {x}}^{*}(f)e^{i2\pi tf}}$

Función de distribución en forma de cono

El núcleo de la función de distribución en forma de cono se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )={\frac {\sin(\pi \eta \tau )}{\pi \eta \tau }}\exp \left(-2\pi \alpha \tau ^{2}\right),}$

donde α es un parámetro ajustable. Véase Transformación entre distribuciones en análisis de tiempo-frecuencia . Se pueden encontrar más QTFD de este tipo y una lista completa en, por ejemplo, el texto citado de Cohen.

Espectro de procesos no estacionarios

Se define un espectro variable en el tiempo para procesos no estacionarios a partir de la distribución de Wigner-Ville esperada. Los procesos estacionarios locales aparecen en muchos sistemas físicos donde las fluctuaciones aleatorias son producidas por un mecanismo que cambia lentamente en el tiempo. Dichos procesos pueden aproximarse localmente mediante un proceso estacionario. Sea un proceso de media cero con valor real y covarianza ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle R(t,s)=E[X(t)X(s)]}$

El operador de covarianza K se define para cualquier señal determinista mediante ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle Kf(t)=\int _{-\infty }^{\infty }R(t,s)f(s)\,ds}$

Para los procesos localmente estacionarios, los vectores propios de K se aproximan bien mediante el espectro de Wigner-Ville.

Espectro de Wigner-Ville

Se estudian las propiedades de la covarianza en función de y : ${\displaystyle R(t,s)}$ ${\displaystyle \tau =t-s}$ ${\displaystyle u={\frac {t+s}{2}}}$

${\displaystyle R(t,s)=R\left(u+{\tfrac {\tau }{2}},u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)=C(u,\tau )}$

El proceso es estacionario en sentido amplio si la covarianza depende únicamente de : ${\displaystyle \tau =t-s}$

${\displaystyle Kf(t)=\int _{-\infty }^{\infty }C(t-s)f(s)\,ds=C*f(t)}$

Los vectores propios son los exponenciales complejos y los valores propios correspondientes están dados por el espectro de potencia. ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle P_{X}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }C(\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau }$

Para los procesos no estacionarios, Martin y Flandrin han introducido un espectro variable en el tiempo.

${\displaystyle P_{X}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }C(u,\tau )e^{-i\xi \tau }\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }E\left[X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right]e^{-i\xi \tau }\,d\tau }$

Para evitar problemas de convergencia, suponemos que X tiene soporte compacto, por lo que tiene soporte compacto en . De arriba podemos escribir ${\displaystyle C(u,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle P_{X}(u,\xi )=E[P_{V}X(u,\xi )]}$

lo que demuestra que el espectro variable en el tiempo es el valor esperado de la transformada de Wigner-Ville del proceso X. Aquí, la integral estocástica de Wigner-Ville se interpreta como una integral cuadrática media: ^[2]

${\displaystyle P_{V}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right\}e^{-i\xi \tau }\,d\tau }$

Referencias

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2. Un recorrido wavelet por el procesamiento de señales , Stephane Mallat

• L. Cohen, Análisis de tiempo-frecuencia, Prentice-Hall, Nueva York, 1995. ISBN  978-0135945322
• B. Boashash, editor, "Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa", Elsevier Science, Oxford, 2003.
• L. Cohen, "Distribuciones tiempo-frecuencia: una revisión", Actas del IEEE, vol. 77, núm. 7, págs. 941–981, 1989.
• S. Qian y D. Chen, Análisis conjunto de tiempo-frecuencia: métodos y aplicaciones, cap. 5, Prentice Hall, NJ, 1996.
• H. Choi y WJ Williams, "Representación mejorada de tiempo-frecuencia de señales multicomponentes utilizando núcleos exponenciales", IEEE. Trans. Acústica, habla, procesamiento de señales, vol. 37, núm. 6, págs. 862–871, junio de 1989.
• Y. Zhao, LE Atlas y RJ Marks, "El uso de núcleos en forma de cono para representaciones generalizadas de tiempo-frecuencia de señales no estacionarias", IEEE Trans. Acoustics, Speech, Signal Processing, vol. 38, no. 7, págs. 1084–1091, julio de 1990.
• B. Boashash, "Formulación heurística de distribuciones de tiempo-frecuencia", Capítulo 2, págs. 29-58, en B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa, Elsevier Science, Oxford, 2003.
• B. Boashash, "Teoría de TFD cuadráticos", Capítulo 3, págs. 59–82, en B. Boashash, editor, Análisis y procesamiento de señales de tiempo-frecuencia: una referencia completa, Elsevier, Oxford, 2003.