Análisis de tiempo y frecuencia

En el procesamiento de señales , el análisis de tiempo-frecuencia comprende aquellas técnicas que estudian una señal en los dominios de tiempo y frecuencia simultáneamente, utilizando varias representaciones de tiempo-frecuencia . En lugar de ver una señal unidimensional (una función, real o de valor complejo, cuyo dominio es la línea real) y alguna transformada (otra función cuyo dominio es la línea real, obtenida a partir del original mediante alguna transformada), el análisis de tiempo-frecuencia estudia una señal bidimensional: una función cuyo dominio es el plano real bidimensional, obtenido a partir de la señal mediante una transformada de tiempo-frecuencia. ^{[1] [2]}

La motivación matemática de este estudio es que las funciones y su representación en forma de transformada están estrechamente relacionadas y se pueden entender mejor estudiándolas en conjunto, como un objeto bidimensional, en lugar de por separado. Un ejemplo simple es que la periodicidad cuádruple de la transformada de Fourier (y el hecho de que la transformada de Fourier doble invierte la dirección) se puede interpretar considerando la transformada de Fourier como una rotación de 90° en el plano de tiempo-frecuencia asociado: 4 de esas rotaciones dan como resultado la identidad y 2 de esas rotaciones simplemente invierten la dirección ( reflexión a través del origen ).

La motivación práctica para el análisis tiempo-frecuencia es que el análisis de Fourier clásico supone que las señales son infinitas en el tiempo o periódicas, mientras que muchas señales en la práctica son de corta duración y cambian sustancialmente a lo largo de su duración. Por ejemplo, los instrumentos musicales tradicionales no producen sinusoides de duración infinita, sino que comienzan con un ataque y luego decaen gradualmente. Esto está mal representado por los métodos tradicionales, lo que motiva el análisis tiempo-frecuencia.

Una de las formas más básicas de análisis de tiempo-frecuencia es la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT), pero se han desarrollado técnicas más sofisticadas, en particular métodos de análisis espectral de wavelets y mínimos cuadrados para datos espaciados de manera desigual.

Motivación

En el procesamiento de señales , el análisis de tiempo-frecuencia ^[3] es un conjunto de técnicas y métodos utilizados para caracterizar y manipular señales cuyas estadísticas varían en el tiempo, como las señales transitorias .

Se trata de una generalización y un perfeccionamiento del análisis de Fourier para el caso en que las características de frecuencia de la señal varían con el tiempo. Dado que muchas señales de interés (como el habla, la música, las imágenes y las señales médicas) tienen características de frecuencia cambiantes, el análisis de tiempo-frecuencia tiene un amplio alcance de aplicaciones.

Si bien la técnica de la transformada de Fourier se puede extender para obtener el espectro de frecuencia de cualquier señal localmente integrable de crecimiento lento , este enfoque requiere una descripción completa del comportamiento de la señal a lo largo de todo el tiempo. De hecho, se puede pensar en los puntos del dominio de frecuencia (espectral) como si estuvieran uniendo información de todo el dominio del tiempo. Si bien esta técnica es matemáticamente elegante, no es apropiada para analizar una señal con un comportamiento futuro indeterminado. Por ejemplo, se debe presuponer cierto grado de comportamiento futuro indeterminado en cualquier sistema de telecomunicaciones para lograr una entropía distinta de cero (si uno ya sabe lo que dirá la otra persona, no puede aprender nada).

Para aprovechar el poder de una representación de frecuencia sin la necesidad de una caracterización completa en el dominio del tiempo, primero se obtiene una distribución de tiempo-frecuencia de la señal, que representa la señal en los dominios del tiempo y de la frecuencia simultáneamente. En una representación de este tipo, el dominio de la frecuencia solo reflejará el comportamiento de una versión localizada temporalmente de la señal. Esto permite hablar con sensatez sobre señales cuyas frecuencias componentes varían en el tiempo.

Por ejemplo, en lugar de utilizar distribuciones templadas para transformar globalmente la siguiente función en el dominio de la frecuencia, se podrían utilizar estos métodos para describirla como una señal con una frecuencia que varía en el tiempo.

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}}$

Una vez generada dicha representación, se pueden aplicar otras técnicas de análisis de tiempo-frecuencia a la señal para extraer información de la señal, separar la señal del ruido o de las señales interferentes, etc.

Funciones de distribución de tiempo y frecuencia

Formulaciones

Hay varias formas diferentes de formular una función de distribución de tiempo-frecuencia válida, lo que da como resultado varias distribuciones de tiempo-frecuencia bien conocidas, como:

• Transformada de Fourier de corta duración (incluida la transformada de Gabor ),
• Transformada wavelet ,
• Función de distribución de tiempo-frecuencia bilineal ( función de distribución de Wigner o WDF),
• Función de distribución de Wigner modificada , función de distribución de Gabor-Wigner, etc. (véase transformada de Gabor-Wigner ).
• Transformada de Hilbert-Huang

Puede encontrar más información sobre la historia y la motivación del desarrollo de la distribución tiempo-frecuencia en la entrada Representación tiempo-frecuencia .

Función de distribución TF ideal

Una función de distribución de tiempo-frecuencia idealmente tiene las siguientes propiedades: ^{[ cita requerida ]}

1. Alta resolución tanto en tiempo como en frecuencia, para facilitar su análisis e interpretación.
2. Sin términos cruzados para evitar confundir componentes reales con artefactos o ruido.
3. Una lista de propiedades matemáticas deseables para garantizar que dichos métodos beneficien la aplicación en la vida real.
4. Una menor complejidad computacional para garantizar el tiempo necesario para representar y procesar una señal en un plano de tiempo-frecuencia permite implementaciones en tiempo real.

A continuación se presenta una breve comparación de algunas funciones de distribución de tiempo-frecuencia seleccionadas. ^[4]

Para analizar bien las señales, es importante elegir una función de distribución de tiempo-frecuencia adecuada. La función de distribución de tiempo-frecuencia que se debe utilizar depende de la aplicación que se esté considerando, como se muestra al revisar una lista de aplicaciones. ^[5] La alta claridad de la función de distribución de Wigner (WDF) obtenida para algunas señales se debe a la función de autocorrelación inherente a su formulación; sin embargo, esta última también causa el problema de los términos cruzados. Por lo tanto, si queremos analizar una señal de un solo término, usar la WDF puede ser el mejor enfoque; si la señal está compuesta de múltiples componentes, otros métodos como la transformada de Gabor, la distribución de Gabor-Wigner o las funciones de distribución B modificada pueden ser mejores opciones.

A modo de ilustración, las magnitudes del análisis de Fourier no localizado no pueden distinguir las señales:

${\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(2\pi t);&t>20\end{cases}}}$

${\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}\cos(\pi t);&t<10\\\cos(2\pi t);&10\leq t<20\\\cos(3\pi t);&t>20\end{cases}}}$

Pero el análisis de tiempo-frecuencia sí puede.

Análisis de TF y procesos aleatorios[6]

Para un proceso aleatorio x(t), no podemos encontrar el valor explícito de x(t).

El valor de x(t) se expresa como una función de probabilidad.

Procesos aleatorios generales

• Función de autocovarianza (ACF) ${\displaystyle R_{x}(t,\tau )}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

En general, suponemos que para cualquier t, ${\displaystyle E[x(t)]=0}$

${\displaystyle E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]}$

${\displaystyle =\iint x(t+\tau /2,\xi _{1})x^{*}(t-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$

(definición alternativa de la función de autocovarianza)

${\displaystyle {\overset {\land }{R_{x}}}(t,\tau )=E[x(t)x(t+\tau )]}$

• Densidad espectral de potencia (PSD) ${\displaystyle S_{x}(t,f)}$

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

• Relación entre la WDF (Función de Distribución de Wigner) y la PSD

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )\cdot e^{-j2\pi f\tau }\cdot d\tau }$ ${\displaystyle =S_{x}(t,f)}$

• Relación entre la función de ambigüedad y la ACF

${\displaystyle E[A_{X}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }E[x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)]e^{-j2\pi t\eta }dt}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi t\eta }dt}$

Procesos aleatorios estacionarios

• Proceso aleatorio estacionario : las propiedades estadísticas no cambian con t. Su función de autocovarianza:

${\displaystyle R_{x}(t_{1},\tau )=R_{x}(t_{2},\tau )=R_{x}(\tau )}$ Para cualquier , Por lo tanto, PSD, Ruido blanco: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R_{x}(\tau )=E[x(\tau /2)x^{*}(-\tau /2)]}$ ${\displaystyle =\iint x(\tau /2,\xi _{1})x^{*}(-\tau /2,\xi _{2})P(\xi _{1},\xi _{2})d\xi _{1}d\xi _{2}}$ ${\displaystyle S_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$

${\displaystyle S_{x}(f)=\sigma }$ , donde es alguna constante. ${\displaystyle \sigma }$

• Cuando x(t) es estacionario,

${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]=S_{x}(f)}$ , (invariante con ) ${\displaystyle t}$

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )\cdot e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$ ${\displaystyle =R_{x}(\tau )\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi t\eta }\cdot dt}$ ${\displaystyle =R_{x}(\tau )\delta (\eta )}$ , (distinto de cero sólo cuando ) ${\displaystyle \eta =0}$

Ruido blanco aditivo

• Para el ruido blanco aditivo (AWN),

${\displaystyle E[W_{g}(t,f)]=\sigma }$

${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]=\sigma \delta (\tau )\delta (\eta )}$

• Diseño de filtro para una señal en ruido blanco aditivo

${\displaystyle E_{x}}$:energía de la señal

${\displaystyle A}$  :área de la distribución de frecuencia temporal de la señal

La PSD del ruido blanco es ${\displaystyle S_{n}(f)=\sigma }$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\iint \limits _{(t,f)\in {\text{signal part}}}S_{x}(t,f)dtdf}}}$

${\displaystyle SNR\approx 10\log _{10}{\frac {E_{x}}{\sigma \mathrm {A} }}}$

Procesos aleatorios no estacionarios

• Si varía con y es distinto de cero cuando , entonces es un proceso aleatorio no estacionario. ${\displaystyle E[W_{x}(t,f)]}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle E[A_{x}(\eta ,\tau )]}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle x(t)}$
• Si
  1. ${\displaystyle h(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+x_{3}(t)+......+x_{k}(t)}$
  2. ${\displaystyle x_{n}(t)}$Los 's tienen media cero para todos los 's ${\displaystyle t}$
  3. ${\displaystyle x_{n}(t)}$Los 's son mutuamente independientes para todos los 's y 's ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau }$

entonces:

${\displaystyle E[x_{m}(t+\tau /2)x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=E[x_{m}(t+\tau /2)]E[x_{n}^{*}(t-\tau /2)]=0}$

• Si , entonces ${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle E[W_{h}(t,f)]=\sum _{n=1}^{k}E[W_{x_{n}}(t,f)]}$

${\displaystyle E[A_{h}(\eta ,\tau )]=\sum _{n=1}^{k}E[A_{x_{n}}(\eta ,\tau )]}$

Transformada de Fourier de corta duración

• Proceso aleatorio para STFT (Transformada de Fourier de Tiempo Corto)

${\displaystyle E[x(t)]\neq 0}$ debe cumplirse. De lo contrario, para un proceso aleatorio de media cero, ${\displaystyle E[X(t,f)]=E[\int _{t-B}^{t+B}x(\tau )w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau ]}$ ${\displaystyle =\int _{t-B}^{t+B}E[x(\tau )]w(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau }$ ${\displaystyle E[X(t,f)]=0}$

• Descomponer por la transformada de Fourier fraccionaria y la transformada de Fourier fraccionaria. Cualquier proceso aleatorio no estacionario se puede expresar como una suma de la transformada de Fourier fraccionaria (o multiplicación de chirp) del proceso aleatorio estacionario.

Aplicaciones

Las siguientes aplicaciones no solo necesitan las funciones de distribución de tiempo-frecuencia, sino también algunas operaciones con la señal. La transformada canónica lineal (LCT) es realmente útil. Mediante las LCT, la forma y la ubicación en el plano de tiempo-frecuencia de una señal pueden tener la forma arbitraria que queramos. Por ejemplo, las LCT pueden desplazar la distribución de tiempo-frecuencia a cualquier ubicación, dilatarla en dirección horizontal y vertical sin cambiar su área en el plano, cortarla (o torcerla) y rotarla ( transformada de Fourier fraccionaria ). Esta poderosa operación, LCT, hace que sea más flexible analizar y aplicar las distribuciones de tiempo-frecuencia.

Estimación de frecuencia instantánea

La definición de frecuencia instantánea es la tasa de cambio de fase en el tiempo, o

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dt}}\phi (t),}$

donde es la fase instantánea de una señal. Podemos conocer la frecuencia instantánea directamente desde el plano tiempo-frecuencia si la imagen es lo suficientemente clara. Debido a que la alta claridad es crítica, a menudo usamos WDF para analizarla. ${\displaystyle \phi (t)}$

Filtrado TF y descomposición de señales

El objetivo del diseño de filtros es eliminar el componente no deseado de una señal. Por lo general, podemos filtrar en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia de forma individual, como se muestra a continuación.

Los métodos de filtrado mencionados anteriormente no funcionan bien para todas las señales que pueden superponerse en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Al utilizar la función de distribución de tiempo-frecuencia, podemos filtrar en el dominio euclidiano de tiempo-frecuencia o en el dominio fraccionario empleando la transformada de Fourier fraccionaria . A continuación se muestra un ejemplo.

El diseño de filtros en el análisis de tiempo-frecuencia siempre trata con señales compuestas de múltiples componentes, por lo que no se puede utilizar la función de distribución de frecuencias múltiples debido a los términos cruzados. La transformada de Gabor, la función de distribución de Gabor-Wigner o la función de distribución de clases de Cohen pueden ser mejores opciones.

El concepto de descomposición de la señal se relaciona con la necesidad de separar un componente de los demás en una señal; esto se puede lograr mediante una operación de filtrado que requiere una etapa de diseño de filtro. Este filtrado se realiza tradicionalmente en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia; sin embargo, esto puede no ser posible en el caso de señales no estacionarias que sean multicomponentes ya que dichos componentes podrían superponerse tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia; en consecuencia, la única forma posible de lograr la separación de componentes y, por lo tanto, una descomposición de la señal es implementar un filtro de tiempo-frecuencia.

Teoría del muestreo

Mediante el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon , podemos concluir que el número mínimo de puntos de muestreo sin aliasing es equivalente al área de la distribución de tiempo-frecuencia de una señal. (En realidad, esto es solo una aproximación, porque el área de TF de cualquier señal es infinita). A continuación, se muestra un ejemplo antes y después de combinar la teoría de muestreo con la distribución de tiempo-frecuencia:

Se observa que el número de puntos de muestreo disminuye después de aplicar la distribución de tiempo-frecuencia.

Cuando utilizamos la WDF, puede darse el problema de los términos cruzados (también llamado interferencia). Por otro lado, el uso de la transformada de Gabor provoca una mejora en la claridad y legibilidad de la representación, mejorando así su interpretación y aplicación a problemas prácticos.

En consecuencia, cuando la señal que tendemos a muestrear está compuesta por un solo componente, utilizamos la WDF; sin embargo, si la señal consta de más de un componente, el uso de la transformada de Gabor, la función de distribución de Gabor-Wigner u otras TFD de interferencia reducida pueden lograr mejores resultados.

El teorema de Balian-Low formaliza esto y proporciona un límite para el número mínimo de muestras de tiempo-frecuencia necesarias.

Modulación y multiplexación

Tradicionalmente, la operación de modulación y multiplexación se concentra en el tiempo o en la frecuencia, por separado. Aprovechando la distribución tiempo-frecuencia, podemos hacer más eficiente la modulación y la multiplexación. Todo lo que tenemos que hacer es llenar el plano tiempo-frecuencia. Presentamos un ejemplo a continuación.

Como se ilustra en el ejemplo superior, utilizar el WDF no es inteligente ya que el serio problema de términos cruzados dificulta la multiplexación y la modulación.

Propagación de ondas electromagnéticas

Podemos representar una onda electromagnética en forma de una matriz de 2 por 1

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

que es similar al plano tiempo-frecuencia. Cuando la onda electromagnética se propaga a través del espacio libre, se produce la difracción de Fresnel . Podemos operar con la matriz 2x1

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

por LCT con matriz de parámetros

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}},}$

donde z es la distancia de propagación y es la longitud de onda. Cuando una onda electromagnética pasa a través de una lente esférica o se refleja en un disco, la matriz de parámetros debe ser ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}}$

respectivamente, donde ƒ es la distancia focal de la lente y R es el radio del disco. Estos resultados correspondientes se pueden obtener de

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.}$

Óptica, acústica y biomedicina

La luz es una onda electromagnética, por lo que el análisis de tiempo-frecuencia se aplica a la óptica de la misma manera que a la propagación general de ondas electromagnéticas.

De manera similar, una característica de las señales acústicas es que sus componentes de frecuencia experimentan variaciones abruptas en el tiempo y, por lo tanto, no estarían bien representados por un análisis de un solo componente de frecuencia que cubra toda su duración.

Como las señales acústicas se utilizan como voz en la comunicación entre el emisor y el receptor humano, su transmisión sin retrasos en los sistemas de comunicación técnica es crucial, lo que hace que el uso de TFD más simples, como la transformada de Gabor, sea adecuado para analizar estas señales en tiempo real al reducir la complejidad computacional.

Si la velocidad del análisis de frecuencia no es una limitación, se debe realizar una comparación detallada de las características con criterios bien definidos antes de seleccionar un TFD en particular. Otro enfoque es definir un TFD dependiente de la señal que se adapte a los datos. En biomedicina, se puede utilizar la distribución de tiempo-frecuencia para analizar la electromiografía (EMG), la electroencefalografía (EEG), el electrocardiograma (ECG) o las emisiones otoacústicas (OEA).

Historia

Los primeros trabajos en análisis de tiempo-frecuencia se pueden ver en las wavelets de Haar (1909) de Alfréd Haar , aunque no se aplicaron significativamente al procesamiento de señales. Dennis Gabor realizó trabajos más sustanciales , como los átomos de Gabor (1947), una forma temprana de wavelets , y la transformada de Gabor , una transformada de Fourier de tiempo corto modificada . La distribución de Wigner-Ville (Ville 1948, en un contexto de procesamiento de señales) fue otro paso fundamental.

En particular, en las décadas de 1930 y 1940, los primeros análisis de tiempo-frecuencia se desarrollaron en conjunto con la mecánica cuántica (Wigner desarrolló la distribución de Wigner-Ville en 1932 en mecánica cuántica, y Gabor fue influenciado por la mecánica cuántica –ver átomo de Gabor ); esto se refleja en las matemáticas compartidas del plano de posición-momento y el plano de tiempo-frecuencia –como en el principio de incertidumbre de Heisenberg (mecánica cuántica) y el límite de Gabor (análisis de tiempo-frecuencia), que en última instancia reflejan ambos una estructura simpléctica .

Una de las primeras motivaciones prácticas para el análisis de tiempo-frecuencia fue el desarrollo del radar (véase función de ambigüedad) .

Véase también

• Movimientos en la distribución tiempo-frecuencia
• Análisis multiresolución
• Estimación de la densidad espectral
• Análisis de tiempo y frecuencia para señales musicales
• Análisis de wavelets

Referencias

1. L. Cohen, "Análisis de tiempo y frecuencia", Prentice-Hall , Nueva York, 1995. ISBN  978-0135945322
2. E. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, “Representación de características de tiempo-frecuencia utilizando concentración de energía: una descripción general de los avances recientes”, Procesamiento de señales digitales, vol. 19, n.º 1, págs. 153-183, enero de 2009.
3. P. Flandrin, "Análisis de tiempo-frecuencia/escala de tiempo", Análisis wavelet y sus aplicaciones , vol. 10 , Academic Press , San Diego, 1999.
4. Shafi, Imran; Ahmad, Jamil; Shah, Syed Ismail; Kashif, FM (9 de junio de 2009). "Técnicas para obtener una buena resolución y distribuciones de tiempo-frecuencia concentradas: una revisión". Revista EURASIP sobre avances en el procesamiento de señales . 2009 (1): 673539. Bibcode :2009EJASP2009..109S. doi : 10.1155/2009/673539 . hdl : 1721.1/50243 . ISSN  1687-6180.
5. A. Papandreou-Suppappola, Aplicaciones en el procesamiento de señales de tiempo-frecuencia (CRC Press, Boca Raton, Florida, 2002)
6. Ding, Jian-Jiun (2022). Análisis de frecuencia temporal y transformada wavelet. Notas de clase . Taipei, Taiwán: Instituto de Posgrado de Ingeniería de Comunicaciones, Universidad Nacional de Taiwán (NTU).