Método de características cuánticas

Las características cuánticas son trayectorias en el espacio de fases que surgen en la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica a través de la transformada de Wigner de los operadores de Heisenberg de coordenadas y momentos canónicos. Estas trayectorias obedecen a las ecuaciones de Hamilton en forma cuántica y desempeñan el papel de características en términos de las cuales se pueden expresar los símbolos de Weyl dependientes del tiempo de los operadores cuánticos. En el límite clásico , las características cuánticas se reducen a trayectorias clásicas. El conocimiento de las características cuánticas es equivalente al conocimiento de la dinámica cuántica.

Regla de asociación de Weyl-Wigner

En la dinámica hamiltoniana , los sistemas clásicos con grados de libertad se describen mediante coordenadas y momentos canónicos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$

${\displaystyle \xi ^{i}=(x^{1},\ldots ,x^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})\in \mathbb {R} ^{2n},}$

que forman un sistema de coordenadas en el espacio de fases. Estas variables satisfacen las relaciones de corchetes de Poisson

${\displaystyle \{\xi ^{k},\xi ^{l}\}=-I^{kl}.}$

La matriz antisimétrica , ${\displaystyle I^{kl}}$

${\displaystyle \left\|I\right\|={\begin{Vmatrix}0&-E_{n}\\E_{n}&0\end{Vmatrix}},}$

donde es la matriz identidad, define la 2-forma no degenerada en el espacio de fases. El espacio de fases adquiere así la estructura de una variedad simpléctica . El espacio de fases no es un espacio métrico, por lo que la distancia entre dos puntos no está definida. El corchete de Poisson de dos funciones puede interpretarse como el área orientada de un paralelogramo cuyos lados adyacentes son gradientes de estas funciones. Las rotaciones en el espacio euclidiano dejan invariante la distancia entre dos puntos. Las transformaciones canónicas en la variedad simpléctica dejan invariantes las áreas. ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

En mecánica cuántica, las variables canónicas están asociadas a operadores de coordenadas y momentos canónicos. ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}=({\hat {x}}^{1},\ldots ,{\hat {x}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})\in \operatorname {Op} (L^{2}(\mathbb {R} ^{n})).}$

Estos operadores actúan en el espacio de Hilbert y obedecen relaciones de conmutación.

${\displaystyle [{\hat {\xi }}^{k},{\hat {\xi }}^{l}]=-i\hbar I^{kl}.}$

La regla de asociación de Weyl ^[1] extiende la correspondencia a funciones y operadores arbitrarios del espacio de fases. ${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}}$

Expansión de Taylor

Weyl formuló inicialmente una regla de asociación unilateral con la ayuda de la expansión de Taylor de funciones de operadores de las variables canónicas. ${\displaystyle f(\xi )\to {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}=f({\hat {\xi }})\equiv \sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}{\hat {\xi }}^{i_{1}}\ldots {\hat {\xi }}^{i_{s}}.}$

Los operadores no conmutan, por lo que la expansión de Taylor no está definida de forma única. La prescripción anterior utiliza los productos simetrizados de los operadores. Las funciones reales corresponden a los operadores hermíticos. La función se denomina símbolo de Weyl del operador . ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

Bajo la asociación inversa , la matriz de densidad se convierte en la función de Wigner . ^[2] Las funciones de Wigner tienen numerosas aplicaciones en la física cuántica de muchos cuerpos, la teoría cinética, la teoría de colisiones y la química cuántica. ${\displaystyle f(\xi )\leftarrow {\hat {f}}}$

^{Groenewold [3] y Stratonovich [4]} propusieron una versión refinada de la regla de asociación de Weyl-Wigner .

Base del operador

El conjunto de operadores que actúan en el espacio de Hilbert es cerrado bajo la multiplicación de operadores por números y la suma. Tal conjunto constituye un espacio vectorial . La regla de asociación formulada con el uso de la expansión de Taylor preserva las operaciones sobre los operadores. La correspondencia puede ilustrarse con el siguiente diagrama: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}\left.{\begin{array}{ccc}f(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}\\g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {g}}\\c\times f(\xi )&\longleftrightarrow &c\times {\hat {f}}\\f(\xi )+g(\xi )&\longleftrightarrow &{\hat {f}}+{\hat {g}}\end{array}}\right\}\;{\text{vector space}}\;\;\mathbb {V} \end{array}}\\{\begin{array}{ccc}{f(\xi )\star g(\xi )}&{\longleftrightarrow }&\;\;{{\hat {f}}{\hat {g}}}\end{array}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}}\right\}{\text{algebra}}}$

Aquí, y son funciones y y son los operadores asociados. ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle g(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

Los elementos de la base de están etiquetados por variables canónicas . La base de Groenewold-Stratonovich comúnmente utilizada se ve así ${\displaystyle \mathbb {V} }$ ${\displaystyle \xi ^{i}\in (-\infty ,+\infty )}$

${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )=\int {\frac {d^{2n}\eta }{(2\pi \hbar )^{n}}}\exp(-{\frac {i}{\hbar }}\eta _{k}(\xi -{\hat {\xi }})^{k})\in \mathbb {V} .}$

La regla de asociación bilateral de Weyl-Wigner para función y operador tiene la forma ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle f(\xi )=\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}],}$

${\displaystyle {\hat {f}}=\int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}f(\xi ){\hat {B}}(\xi ).}$

La función proporciona las coordenadas del operador en la base . La base es completa y ortogonal: ${\displaystyle f(\xi )}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$

${\displaystyle \int {\frac {d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^{n}}}{\hat {B}}(\xi )\operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]={\hat {f}},}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {B}}(\xi ^{\prime })]=(2\pi \hbar )^{n}\delta ^{2n}(\xi -\xi ^{\prime }).}$

También se analizan bases de operadores alternativas. ^[5] La libertad en la elección de la base de operadores se conoce mejor como el problema de ordenamiento de operadores. Las coordenadas de las trayectorias de partículas en el espacio de fases dependen de la base de operadores.

Producto estrella

El conjunto de operadores Op( L ² (R ⁿ )) es cerrado bajo la multiplicación de operadores. El espacio vectorial está dotado por tanto de una estructura de álgebra asociativa. Dadas dos funciones ${\displaystyle \mathbb {V} }$

${\displaystyle f(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}]~~\mathrm {and} ~~g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {g}}],}$

se puede construir una tercera función,

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {f}}{\hat {g}}]}$

llamado -producto. ^[3] Se da explícitamente por ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp({\frac {i\hbar }{2}}{\mathcal {P}})g(\xi ),}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {P}}=-{I}^{kl}{\overleftarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{k}}}}{\overrightarrow {\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}}}$

es el operador de Poisson. El producto se divide en partes simétricas y antisimétricas, ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle f\star g=f\circ g+{\frac {i\hbar }{2}}f\wedge g.}$

En el límite clásico, el α-producto se convierte en el producto escalar . La parte antisimétrica se conoce como corchete de Moyal . ^[6] Este es el símbolo de Weyl del conmutador. En el límite clásico, el corchete de Moyal se convierte en el corchete de Poisson. El corchete de Moyal es una deformación cuántica del corchete de Poisson. El α-producto es asociativo, mientras que el α-producto y el corchete de Moyal no lo son. ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle f\wedge g}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$

Caracteristicas cuánticas

La correspondencia muestra que las transformaciones de coordenadas en el espacio de fases están acompañadas de transformaciones de operadores de coordenadas y momentos canónicos y viceversa . Sea el operador de evolución, ${\displaystyle \xi \leftrightarrow {\hat {\xi }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {U}} }$

${\displaystyle {\hat {U}}=\exp {\Bigl (}-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\tau {\Bigr )},}$

y sea el hamiltoniano. Consideremos el siguiente esquema, ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\,\xi {\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,{\acute {\xi }}\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\updownarrow \\&{}\,{\hat {\xi }}{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}{\acute {\hat {\xi }}}\end{aligned}}}$

La evolución cuántica transforma vectores en el espacio de Hilbert y, según el mapa de asociación de Wigner, coordenadas en el espacio de fases. En la representación de Heisenberg , los operadores de las variables canónicas se transforman como

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$

Las coordenadas del espacio de fases que corresponden a los nuevos operadores en la base antigua están dadas por ${\displaystyle {\acute {\xi }}^{i}}$ ${\displaystyle {\acute {{\hat {\xi }}^{i}}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}(\xi )}$

${\displaystyle \xi ^{i}\rightarrow {\acute {\xi }}^{i}=q^{i}(\xi ,\tau )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}],}$

con las condiciones iniciales

${\displaystyle q^{i}(\xi ,0)=\xi ^{i}.}$

Las funciones especifican el flujo de fase cuántico . En el caso general, es canónico hasta el primer orden en τ . ^[7] ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$

Funciones estelares

El conjunto de operadores de variables canónicas es completo en el sentido de que cualquier operador puede representarse como una función de operadores . Transformaciones ${\displaystyle {\hat {\xi }}}$

${\displaystyle {\hat {f}}\rightarrow {\acute {\hat {f}}}={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}}$

inducir, bajo la regla de asociación de Wigner, transformaciones de funciones del espacio de fases,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}f(\xi ){\stackrel {q}{\longrightarrow }}{\acute {f}}(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}]\\&{}\updownarrow \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\updownarrow \\&{}{\hat {f}}\;\;\;\;{\stackrel {\hat {U}}{\longrightarrow }}\,{\acute {\hat {f}}}\;\;\;\;\;={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}\end{aligned}}}$

Utilizando la expansión de Taylor, se puede encontrar que la transformación de la función bajo evolución es ${\displaystyle f(\xi )}$

${\displaystyle f(\xi )\rightarrow {\acute {f}}(\xi )\equiv \mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {U^{\dagger }}}f({\hat {\xi }}){\hat {U}}]=\sum _{s=0}^{\infty }{\frac {1}{s!}}{\frac {\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi ^{i_{1}}\ldots \partial \xi ^{i_{s}}}}q^{i_{1}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{s}}(\xi ,\tau )\equiv f(\star q(\xi ,\tau )).}$

La función compuesta definida de esta manera se llama -función. ${\displaystyle \star }$

La ley de composición difiere de la clásica. Sin embargo, la expansión semiclásica de alrededor está formalmente bien definida e involucra incluso potencias de solamente. Esta ecuación muestra que, dada la forma en que se construyen las características cuánticas, los observables físicos se pueden encontrar sin mayor referencia al hamiltoniano. Las funciones juegan el papel de características, ^[8] de manera similar a las características clásicas utilizadas para resolver la ecuación clásica de Liouville . ${\displaystyle f(\star q(\xi ,\tau ))}$ ${\displaystyle f(q(\xi ,\tau ))}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$

La ecuación cuántica de Liouville

La transformada de Wigner de la ecuación de evolución para la matriz de densidad en la representación de Schrödinger conduce a una ecuación cuántica de Liouville para la función de Wigner. La transformada de Wigner de la ecuación de evolución para operadores en la representación de Heisenberg,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\hat {f}}=-{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {f}},{\hat {H}}],}$

conduce a la misma ecuación con el signo opuesto (más) en el lado derecho:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}f(\xi ,\tau )=f(\xi ,\tau )\wedge H(\xi ).}$

${\displaystyle \star }$-La función resuelve esta ecuación en términos de características cuánticas:

${\displaystyle f(\xi ,\tau )=f(\star q(\xi ,\tau ),0).}$

De manera similar, la evolución de la función de Wigner en la representación de Schrödinger viene dada por

${\displaystyle W(\xi ,\tau )=W(\star q(\xi ,-\tau ),0).}$

El teorema de Liouville de la mecánica clásica falla en la medida en que, localmente, el volumen del espacio de fases no se conserva en el tiempo. De hecho, el flujo de fases cuántico no conserva todas las formas diferenciales definidas por potencias externas de . ${\displaystyle \omega ^{2s}}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=I^{kl}d\xi _{k}\curlywedge d\xi _{l}}$

La función de Wigner representa un sistema cuántico en una forma más general que la función de onda. Las funciones de onda describen estados puros, mientras que la función de Wigner caracteriza conjuntos de estados cuánticos. Cualquier operador hermítico puede diagonalizarse:

${\displaystyle {\hat {f}}=\sum _{s}\lambda _{s}|s\rangle \langle s|}$.

Los operadores cuyos valores propios no son negativos y suman un número finito pueden ser mapeados a matrices de densidad, es decir, a algunos estados físicos. La función de Wigner es una imagen de la matriz de densidad, por lo que las funciones de Wigner admiten una descomposición similar: ${\displaystyle \lambda _{s}}$

${\displaystyle W(\xi )=\sum _{s}\lambda _{s}W_{s}(\xi ),}$

con y ${\displaystyle \lambda _{s}\geq 0}$

${\displaystyle W_{s}(\xi )\star W_{r}(\xi )=\delta _{sr}W_{s}(\xi )}$.

Ecuaciones cuánticas de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton cuántico se pueden obtener aplicando la transformada de Wigner a las ecuaciones de evolución de los operadores de Heisenberg de coordenadas y momentos canónicos,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}q^{i}(\xi ,\tau )=\{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.}$

El lado derecho se calcula como en la mecánica clásica. Sin embargo, la función compuesta es una función . El producto viola la canonicidad del flujo de fases más allá del primer orden en . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \tau }$

Conservación del soporte Moyal

Los productos antisimetrizados de un número par de operadores de variables canónicas son c-números como consecuencia de las relaciones de conmutación. Estos productos se dejan invariantes mediante transformaciones unitarias, lo que conduce, en particular, a la relación

${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )\wedge q^{j}(\xi ,\tau )=\xi ^{i}\wedge \xi ^{j}=-I^{ij}.}$

En general, el producto antisimetrizado

${\displaystyle q^{[i_{1}}(\xi ,\tau )\star q^{i_{2}}(\xi ,\tau )\star \ldots \star q^{i_{2s}]}(\xi ,\tau )}$

también es invariante, es decir, no depende del tiempo y, además, no depende de la coordenada.

Las transformaciones del espacio de fases inducidas por el operador de evolución preservan el corchete de Moyal y no preservan el corchete de Poisson, por lo que el mapa de evolución

${\displaystyle \xi \rightarrow {\acute {\xi }}=q(\xi ,\tau ),}$

no es canónico más allá de O(τ). ^[8] El primer orden en τ define el álgebra del grupo de transformaciones. Como se señaló anteriormente, el álgebra de las transformaciones canónicas de la mecánica clásica coincide con el álgebra de las transformaciones unitarias de la mecánica cuántica. Sin embargo, estos dos grupos son diferentes porque las operaciones de multiplicación en la mecánica clásica y cuántica son diferentes.

Las propiedades de transformación de las variables canónicas y las funciones del espacio de fases bajo transformaciones unitarias en el espacio de Hilbert tienen distinciones importantes respecto del caso de las transformaciones canónicas en el espacio de fases.

Derecho de composición

Las características cuánticas difícilmente pueden ser tratadas visualmente como trayectorias a lo largo de las cuales se mueven partículas físicas. La razón reside en la ley de composición estelar.

${\displaystyle q(\xi ,\tau _{1}+\tau _{2})=q(\star q(\xi ,\tau _{1}),\tau _{2}),}$

que no es local y es distinta de la ley de composición puntual de la mecánica clásica.

Conservación de energía

La conservación de la energía implica

${\displaystyle H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau )),}$

dónde

${\displaystyle H(\xi )=\mathrm {Tr} [{\hat {B}}(\xi ){\hat {H}}]}$

es la función de Hamilton. En el sentido geométrico habitual, no se conserva a lo largo de las características cuánticas. ${\displaystyle H(\xi )}$

Resumen

El origen del método de las características se remonta a la mecánica matricial de Heisenberg . Supongamos que hemos resuelto en la mecánica matricial las ecuaciones de evolución de los operadores de las coordenadas y momentos canónicos en la representación de Heisenberg. Estos operadores evolucionan de acuerdo con

${\displaystyle {\hat {\xi }}^{i}\rightarrow {\hat {\xi }}^{i}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}^{i}{\hat {U}}.}$

Se sabe que para cualquier operador se puede encontrar una función f ( ξ ) mediante la cual se representa en la forma . El mismo operador en el instante τ es igual a ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ${\displaystyle f({\hat {\xi }})}$ ${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\tau )={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {f}}{\hat {U}}={\hat {U}}^{\dagger }f({\hat {\xi }}){\hat {U}}=f({\hat {U}}^{\dagger }{\hat {\xi }}{\hat {U}})=f({\hat {\xi }}(\tau )).}$

Esta ecuación muestra que son características que determinan la evolución de todos los operadores en Op( L ² (R ⁿ )). Esta propiedad se transfiere completamente al espacio de fases tras la cuantificación de la deformación y, en el límite de ħ → 0 , a la mecánica clásica . ${\displaystyle {\hat {\xi }}(\tau )}$

La tabla compara las propiedades de las características en la mecánica clásica y cuántica. Las EDP y las EDO indican ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones diferenciales ordinarias , respectivamente. La ecuación cuántica de Liouville es la transformada de Weyl-Wigner de la ecuación de evolución de von Neumann para la matriz de densidad en la representación de Schrödinger . Las ecuaciones cuánticas de Hamilton son las transformadas de Weyl-Wigner de las ecuaciones de evolución para los operadores de las coordenadas canónicas y los momentos en la representación de Heisenberg .

En los sistemas clásicos, las características suelen satisfacer ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (por ejemplo, las ecuaciones clásicas de Hamilton) y resolver ecuaciones diferenciales parciales de primer orden (por ejemplo, la ecuación clásica de Liouville). Las funciones también son características, a pesar de que ambas y obedecen ecuaciones diferenciales parciales de orden infinito. ${\displaystyle c^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle q^{i}(\xi ,\tau )}$ ${\displaystyle f(\xi ,\tau )}$

El flujo de fase cuántico contiene toda la información sobre la evolución cuántica. La expansión semiclásica de las características cuánticas y las funciones de las características cuánticas en una serie de potencias en ħ permite el cálculo de los valores promedio de los observables físicos dependientes del tiempo mediante la resolución de un sistema acoplado de orden finito de EDO para trayectorias del espacio de fase y campos de Jacobi. ^{[9] [10]} El orden del sistema de EDO depende del truncamiento de la serie de potencias. El efecto de tunelización no es perturbativo en ħ y no es capturado por la expansión. La densidad del fluido de probabilidad cuántica no se conserva en el espacio de fase, ya que el fluido cuántico se difunde. ^[6] Las características cuánticas deben distinguirse de las trayectorias de la teoría de De Broglie-Bohm , ^[11] las trayectorias del método de la integral de trayectorias en el espacio de fase para las amplitudes ^[12] y la función de Wigner, ^{[13] [14]} y las trayectorias de Wigner. ^[5] Hasta ahora, solo unos pocos sistemas cuánticos se han resuelto explícitamente utilizando el método de las características cuánticas. ^{[15] [16] [17]} ${\displaystyle \star }$

Véase también

• Método de características
• Transformada de Wigner-Weyl
• Teoría de la deformación
• Función de distribución de Wigner
• Función de distribución de Wigner modificada
• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner
• Probabilidad negativa

Referencias

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Libros de texto

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• MV Karasev y VP Maslov , Corchetes de Poisson no lineales. Geometría y cuantificación. Traducciones de monografías matemáticas, 119. (Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI, 1993).