Tomografía cuántica

Reconstrucción de estados cuánticos a partir de mediciones.

La tomografía cuántica o tomografía de estados cuánticos es el proceso mediante el cual se reconstruye un estado cuántico mediante mediciones de un conjunto de estados cuánticos idénticos. ^[1] La fuente de estos estados puede ser cualquier dispositivo o sistema que prepare estados cuánticos de manera consistente en estados cuánticos puros o de otro modo en estados mixtos generales . Para poder identificar de forma unívoca el estado, las mediciones deben ser tomográficamente completas . Es decir, los operadores medidos deben formar una base de operadores en el espacio de Hilbert del sistema, proporcionando toda la información sobre el estado. Este conjunto de observaciones a veces se denomina quórum . El término tomografía se utilizó por primera vez en la literatura de física cuántica en un artículo de 1993 que presentaba la tomografía óptica homodina experimental. ^[2]

Figura 1: Un oscilador armónico representado en el espacio de fase por su momento y posición

Figura 2: Muchos osciladores idénticos representados en el espacio de fase por su momento y posición

Por otro lado, en la tomografía de procesos cuánticos se utilizan estados cuánticos conocidos para investigar un proceso cuántico y descubrir cómo se puede describir el proceso. De manera similar, la tomografía de medición cuántica sirve para saber qué medición se está realizando. Mientras que, la evaluación comparativa aleatoria obtiene de manera escalable una cifra de mérito de la superposición entre el proceso cuántico físico propenso a errores y su contraparte ideal.

El principio general detrás de la tomografía de estado cuántico es que al realizar repetidamente muchas mediciones diferentes en sistemas cuánticos descritos por matrices de densidad idénticas, se pueden usar recuentos de frecuencia para inferir probabilidades , y estas probabilidades se combinan con la regla de Born para determinar una matriz de densidad que se ajuste mejor con las observaciones.

Esto se puede entender fácilmente haciendo una analogía clásica. Considere un oscilador armónico (por ejemplo, un péndulo). La posición y el impulso del oscilador en cualquier punto dado se pueden medir y, por lo tanto, el movimiento se puede describir completamente mediante el espacio de fase . Esto se muestra en la figura 1. Al realizar esta medición para una gran cantidad de osciladores idénticos, obtenemos una distribución de probabilidad en el espacio de fase (figura 2). Esta distribución se puede normalizar (el oscilador en un momento dado tiene que estar en algún lugar) y la distribución debe ser no negativa. Así que hemos recuperado una función que da una descripción de la probabilidad de encontrar la partícula en un punto dado con un momento dado. ${\displaystyle W(x,p)}$

Para las partículas de la mecánica cuántica se puede hacer lo mismo. La única diferencia es que no se debe violar el principio de incertidumbre de Heisenberg , lo que significa que no podemos medir el momento y la posición de la partícula al mismo tiempo. El momento de la partícula y su posición se denominan cuadraturas (consulte Espacio de fase óptico para obtener más información) en estados relacionados con lo cuántico. Medir una de las cuadraturas de un gran número de estados cuánticos idénticos nos dará una densidad de probabilidad correspondiente a esa cuadratura en particular. Esto se llama distribución marginal o ( ver figura 3). En el siguiente texto veremos que esta densidad de probabilidad es necesaria para caracterizar el estado cuántico de la partícula, que es el objetivo de la tomografía cuántica. ${\displaystyle \mathrm {pr} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} (P)}$

Figura 3: Distribución marginal

¿Para qué se utiliza la tomografía de estado cuántico?

La tomografía cuántica se aplica a una fuente de sistemas para determinar el estado cuántico de la salida de esa fuente. A diferencia de una medición en un solo sistema, que determina el estado actual del sistema después de la medición (en general, el acto de realizar una medición altera el estado cuántico), la tomografía cuántica funciona para determinar el estado o estados previos a las mediciones.

La tomografía cuántica se puede utilizar para caracterizar señales ópticas, incluida la medición de la ganancia y pérdida de señal de dispositivos ópticos, ^[3] así como en computación cuántica y teoría de la información cuántica para determinar de manera confiable los estados reales de los qubits . ^{[4] [5]} Uno puede imaginar una situación en la que una persona Bob prepara muchos objetos idénticos (partículas o campos) en los mismos estados cuánticos y luego se los da a Alice para que los mida. Al no estar segura de la descripción del estado que hizo Bob, es posible que Alice desee realizar una tomografía cuántica para clasificar el estado ella misma.

Métodos de tomografía de estado cuántico.

inversión lineal

Utilizando la regla de Born , se puede derivar la forma más simple de tomografía cuántica. Generalmente no se sabe de antemano estar en estado puro y un estado puede ser mixto. En este caso, deberán realizarse muchos tipos diferentes de mediciones, muchas veces cada una. Para reconstruir completamente la matriz de densidad para un estado mixto en un espacio de Hilbert de dimensión finita , se puede utilizar la siguiente técnica.

La regla de Born establece , donde es un proyector de resultados de medición particular y es la matriz de densidad del sistema. Dado un histograma de observaciones para cada medición, se tiene una aproximación a para cada . ${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )=\mathrm {Trace} (E_{i}\rho )}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {P} (E_{i}|\rho )}$ ${\displaystyle E_{i}}$

Dados los operadores lineales y , defina el producto interno. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle S\cdot T=\mathrm {Tr} [S^{\dagger }T]={\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$

donde es la representación del operador como un vector columna y un vector fila tal que es el producto interno de los dos. ${\displaystyle {\vec {T}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\vec {S}}^{\dagger }{\vec {T}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Defina la matriz como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }\\\vdots \end{pmatrix}}}$.

Aquí E _i es una lista fija de mediciones individuales (con resultados binarios), y A realiza todas las mediciones a la vez.

Luego, aplicando esto se obtienen las probabilidades : ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$

${\displaystyle A{\vec {\rho }}={\begin{pmatrix}{\vec {E}}_{1}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{2}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\{\vec {E}}_{3}^{\dagger }{\vec {\rho }}\\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{1}\cdot \rho \\E_{2}\cdot \rho \\E_{3}\cdot \rho \\\vdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {P} (E_{1}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{2}|\rho )\\\mathrm {P} (E_{3}|\rho )\\\vdots \end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\vdots \end{pmatrix}}={\vec {p}}}$.

La inversión lineal corresponde a invertir este sistema utilizando las frecuencias relativas observadas para derivar (que es isomorfo a ). ${\displaystyle {\vec {p}}}$ ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$ ${\displaystyle \displaystyle \rho }$

Este sistema no será cuadrado en general, ya que para cada medición que se realice generalmente habrá múltiples proyectores de resultados de medición . Por ejemplo, en un espacio de Hilbert 2-D con 3 mediciones , cada medición tiene 2 resultados, cada uno de los cuales tiene un proyector E _i , para 6 proyectores, mientras que la dimensión real del espacio de matrices de densidad es (2⋅2 ² ). /2=4, quedando 6 x 4. Para resolver el sistema, multiplica a la izquierda por : ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{T}}$

${\displaystyle A^{T}A{\vec {\rho }}=A^{T}{\vec {p}}}$.

Ahora resolviendo se obtiene el pseudoinverso : ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$

${\displaystyle {\vec {\rho }}=(A^{T}A)^{-1}A^{T}{\vec {p}}}$.

En general, esto sólo funciona si la lista de mediciones E _i está tomográficamente completa. De lo contrario, la matriz no será invertible . ${\displaystyle A^{T}A}$

Variables continuas y tomografía cuántica homodina.

En espacios de Hilbert de dimensión infinita , por ejemplo en mediciones de variables continuas como la posición, la metodología es algo más compleja. Un ejemplo notable es la tomografía de luz , conocida como tomografía óptica homodina . Utilizando mediciones homodinas equilibradas , se puede derivar la función de Wigner y una matriz de densidad para el estado de la luz . ^[6]

Un enfoque implica mediciones a lo largo de diferentes direcciones de rotación en el espacio de fase . Para cada dirección , se puede encontrar una distribución de probabilidad para la densidad de probabilidad de las mediciones en la dirección del espacio de fase que arroja el valor . El uso de una transformación inversa de radón (la retroproyección filtrada) conduce a la función Wigner , , ^[7] que puede convertirse mediante una transformada inversa de Fourier en la matriz de densidad para el estado en cualquier base. ^[5] Una técnica similar se utiliza a menudo en la tomografía médica . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle w(q,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle w(q,\theta )}$ ${\displaystyle \mathrm {W} (x,p)}$

Ejemplo: tomografía de estado de un solo qubit

La matriz de densidad de un solo qubit se puede expresar en términos de su vector de Bloch y el vector de Pauli : ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+r_{z}&r_{x}-\mathrm {i} r_{y}\\r_{x}+\mathrm {i} r_{y}&1-r_{z}\end{pmatrix}}}$.

La tomografía de estado de un solo qubit se puede realizar mediante mediciones de Pauli de un solo qubit: ^[8]

1. Primero, cree una lista de tres circuitos cuánticos, el primero midiendo el qubit en la base computacional ( base Z ), el segundo realizando una puerta de Hadamard antes de la medición (que realiza la medición en base X ) y el tercero uno que realiza la puerta de cambio de fase apropiada (es decir ) seguida de una puerta Hadamard antes de la medición (que realiza la medición en base Y ); ${\displaystyle {\sqrt {Z}}^{\dagger }=|0\rangle \langle 0|+\exp(-\mathrm {i} \pi /2)|1\rangle \langle 1|}$
2. Luego, ejecute estos circuitos (generalmente miles de veces) y los conteos en los resultados de medición del primer circuito producirán , el segundo circuito y el tercer circuito ; ${\displaystyle {\bar {z}}=(n_{z,+}-n_{z,-})/(n_{z,+}+n_{z,-})}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\bar {y}}}$
3. Finalmente, si , entonces se produce un vector de Bloch medido como , y la matriz de densidad medida es ; Si es , será necesario volver a normalizar el vector de Bloch medido como antes de usarlo para calcular la matriz de densidad medida. ${\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}\leq 1}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})}$ ${\displaystyle \rho _{m}={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {r}}_{m}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}$ ${\displaystyle {\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}>1}$ ${\displaystyle {\vec {r}}_{m}=({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})/{\sqrt {{\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2}}}}$

Este algoritmo es la base de la tomografía qubit y se utiliza en algunas rutinas de programación cuántica , como la de Qiskit . ^{[9] [10]}

Ejemplo: tomografía homodina.

Las amplitudes del campo electromagnético (cuadraturas) se pueden medir con alta eficiencia utilizando fotodetectores junto con selectividad de modo temporal. La tomografía homodina equilibrada es una técnica fiable para reconstruir estados cuánticos en el dominio óptico. Esta técnica combina las ventajas de la alta eficiencia de los fotodiodos en la medición de la intensidad o el número de fotones de la luz, junto con la medición de las características cuánticas de la luz mediante una configuración inteligente llamada detector de tomografía homodina .

La tomografía cuántica homodina se entiende con el siguiente ejemplo. Se dirige un láser a un divisor de haz al 50-50% , dividiendo el rayo láser en dos haces. Uno se utiliza como oscilador local (LO) y el otro se utiliza para generar fotones con un estado cuántico particular . La generación de estados cuánticos se puede realizar, por ejemplo, dirigiendo el rayo láser a través de un cristal de duplicación de frecuencia ^[11] y luego a un cristal paramétrico de conversión descendente . Este cristal genera dos fotones en un determinado estado cuántico. Uno de los fotones se utiliza como señal de activación para activar (iniciar) el evento de lectura del detector de tomografía homodina. El otro fotón se dirige al detector de tomografía homodina para reconstruir su estado cuántico. Dado que los fotones de disparo y de señal están entrelazados (esto se explica en el artículo sobre conversión descendente paramétrica espontánea ), es importante darse cuenta de que el modo óptico del estado de señal se crea de forma no local sólo cuando el fotón de disparo incide en el fotodetector (del disparador). módulo de lectura de eventos) y realmente se mide. Dicho de manera más simple, solo cuando se mide el fotón activador, el detector homodino puede medir el fotón de señal.

Ahora considere el detector de tomografía homodina como se muestra en la figura 4 (falta la figura). El fotón de señal (este es el estado cuántico que queremos reconstruir) interfiere con el oscilador local , cuando se dirigen a un divisor de haz al 50-50% . Dado que los dos haces provienen del mismo llamado láser maestro , tienen la misma relación de fase fija . El oscilador local debe ser intenso en comparación con la señal para que proporcione una referencia de fase precisa. El oscilador local es tan intenso que podemos tratarlo de forma clásica (a = α) y descuidar las fluctuaciones cuánticas. El campo de señal está controlado espacial y temporalmente por el oscilador local, que tiene una forma controlada. Cuando el oscilador local es cero, la señal se rechaza. Por lo tanto, tenemos selectividad del modo temporal-espacial de la señal. El divisor de haz redirige los dos haces a dos fotodetectores. Los fotodetectores generan una corriente eléctrica proporcional al número de fotones . Las dos corrientes del detector se restan y la corriente resultante es proporcional al operador del campo eléctrico en el modo de señal, dependiendo de la fase óptica relativa de la señal y del oscilador local.

Dado que la amplitud del campo eléctrico del oscilador local es mucho mayor que la de la señal, se pueden observar la intensidad o las fluctuaciones en el campo de la señal. El sistema de tomografía homodina funciona como un amplificador . El sistema puede verse como un interferómetro con un haz de referencia de tan alta intensidad (el oscilador local) que se puede medir el desequilibrio de la interferencia causada por un solo fotón en la señal. Esta amplificación está muy por encima del ruido de fondo de los fotodetectores .

La medición se reproduce un gran número de veces. Luego, la diferencia de fase entre la señal y el oscilador local se cambia para "escanear" un ángulo diferente en el espacio de fase . Esto se puede ver en la figura 4. La medición se repite nuevamente un gran número de veces y se recupera una distribución marginal de la diferencia actual. La distribución marginal se puede transformar en la matriz de densidad y/o la función de Wigner . Dado que la matriz de densidad y la función de Wigner dan información sobre el estado cuántico del fotón, hemos reconstruido el estado cuántico del fotón.

La ventaja de este método de detección equilibrado es que esta disposición es insensible a las fluctuaciones en la intensidad del láser .

Los cálculos cuánticos para recuperar el componente de cuadratura de la diferencia actual se realizan de la siguiente manera.

El operador del número de fotones para los haces que inciden en los fotodetectores después del divisor de haz viene dado por:

${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {a}}_{i}^{\dagger }{\hat {a}}_{i}}$,

donde i es 1 y 2, respectivamente para las vigas uno y dos. Los operadores de modo del campo que emergen de los divisores de haz están dados por:

${\displaystyle {\hat {a}}_{1}=2^{-1/2}({\hat {a}}-\alpha _{LO})}$

${\displaystyle {\hat {a}}_{2}=2^{-1/2}({\hat {a}}+\alpha _{LO})}$

El denota el operador de aniquilación de la señal y alfa la amplitud compleja del oscilador local. El número de diferencia de fotones es eventualmente proporcional a la cuadratura y está dado por: ${\displaystyle {\hat {a}}}$

${\displaystyle {\hat {n}}_{21}={\hat {n}}_{2}-{\hat {n}}_{1}=\alpha _{LO}^{*}{\hat {a}}+\alpha _{LO}{\hat {a}}^{\dagger }}$,

Reescribiendo esto con la relación:

${\displaystyle {\hat {q}}=2^{-1/2}({\hat {a}}^{\dagger }+{\hat {a}})}$

Resultados en la siguiente relación:

${\displaystyle {\hat {n}}_{21}=2^{1/2}|{\hat {\alpha }}_{LO}|{\hat {q}}_{\theta }}$,

donde vemos una relación clara entre la diferencia del número de fotones y el componente de cuadratura . Al realizar un seguimiento de la corriente suma, se puede recuperar información sobre la intensidad del oscilador local, ya que suele ser una cantidad desconocida, pero una cantidad importante para calcular la componente de cuadratura . ${\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {q}}_{\theta }}$

Problemas con la inversión lineal

Uno de los principales problemas al utilizar la inversión lineal para resolver la matriz de densidad es que, en general, la solución calculada no será una matriz de densidad válida. Por ejemplo, podría dar probabilidades negativas o probabilidades mayores que 1 a ciertos resultados de medición. Esto es particularmente un problema cuando se realizan menos mediciones.

Otro problema es que en espacios de Hilbert de dimensiones infinitas , se requeriría un número infinito de resultados de medición. Hacer suposiciones sobre la estructura y utilizar una base de medición finita conduce a artefactos en la densidad del espacio de fase. ^[5]

Estimación de máxima verosimilitud

La estimación de máxima verosimilitud (también conocida como MLE o MaxLik) es una técnica popular para abordar los problemas de inversión lineal. Al restringir el dominio de las matrices de densidad al espacio adecuado y buscar la matriz de densidad que maximice la probabilidad de dar resultados experimentales, se garantiza que el estado sea teóricamente válido y al mismo tiempo se ajuste perfectamente a los datos. La probabilidad de un estado es la probabilidad que se asignaría a los resultados observados si el sistema hubiera estado en ese estado.

Supongamos que las mediciones se han observado con frecuencias . Entonces la probabilidad asociada con un estado es ${\displaystyle \{|y_{j}\rangle \langle y_{j}|\}}$ ${\displaystyle f_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

${\displaystyle L({\hat {\rho }})=\prod _{j}\langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle ^{f_{j}}}$

¿ Dónde está la probabilidad de resultado para el estado ? ${\displaystyle \langle y_{j}|{\hat {\rho }}|y_{j}\rangle }$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

Encontrar el máximo de esta función no es trivial y generalmente implica métodos iterativos. ^{[12] [13]} Los métodos son un tema activo de investigación.

Problemas con la estimación de máxima verosimilitud

La estimación de máxima verosimilitud adolece de algunos problemas menos obvios que la inversión lineal. Un problema es que hace predicciones sobre probabilidades que los datos no pueden justificar. Esto se ve más fácilmente analizando el problema de los valores propios cero . La solución calculada utilizando MLE a menudo contiene valores propios que son 0, es decir, tiene un rango deficiente . En estos casos, la solución se encuentra entonces en el límite de la esfera de Bloch de n dimensiones . Esto puede verse como relacionado con la inversión lineal que da estados que se encuentran fuera del espacio válido (la esfera de Bloch). En estos casos, MLE elige un punto cercano que sea válido y los puntos más cercanos generalmente están en el límite. ^[4]

Esto no es físicamente un problema, el estado real podría tener valores propios cero . Sin embargo, dado que ningún valor puede ser menor que 0, una estimación de un valor propio que sea 0 implica que el estimador está seguro de que el valor es 0; de lo contrario, habría estimado algo mayor que 0 con un pequeño grado de incertidumbre como la mejor estimación. Aquí es donde surge el problema, ya que no es lógico concluir con absoluta certeza después de un número finito de mediciones que cualquier valor propio (es decir, la probabilidad de un resultado particular) es 0. Por ejemplo, si se lanza una moneda 5 veces y cada vez que se observó cara, no significa que haya 0 probabilidad de obtener cruz, a pesar de que esa es la descripción más probable de la moneda. ^[4] ${\displaystyle \epsilon }$

métodos bayesianos

La estimación de la media bayesiana (BME) es un enfoque relativamente nuevo que aborda los problemas de la estimación de máxima verosimilitud. Se centra en encontrar soluciones óptimas que también sean honestas porque incluyen barras de error en la estimación. La idea general es comenzar con una función de probabilidad y una función que describa el conocimiento previo del experimentador (que podría ser una función constante), luego integrar todas las matrices de densidad utilizando el producto de la función de probabilidad y la función de conocimiento previo como peso.

Dada una función de conocimiento previo razonable, BME producirá un estado estrictamente dentro de la esfera de Bloch n-dimensional . En el caso de una moneda lanzada N veces para obtener N caras como se describe anteriormente, con una función de conocimiento previo constante, BME asignaría la probabilidad de que salga cruz. ^[4] ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{N+2}}}$

BME proporciona un alto grado de precisión ya que minimiza las divergencias operativas entre la estimación y el estado real. ^[4]

Métodos para datos incompletos.

El número de mediciones necesarias para una tomografía de estado cuántico completo para un sistema de múltiples partículas aumenta exponencialmente con el número de partículas, lo que hace que dicho procedimiento sea imposible incluso para sistemas de tamaños modestos. De ahí que se hayan desarrollado varios métodos para realizar la tomografía cuántica con menos mediciones.

El concepto de finalización de matriz y detección comprimida se ha aplicado para reconstruir matrices de densidad a partir de un conjunto incompleto de mediciones (es decir, un conjunto de mediciones que no es un quórum). En general, esto es imposible, pero bajo supuestos (por ejemplo, si la matriz de densidad es un estado puro, o una combinación de sólo unos pocos estados puros), entonces la matriz de densidad tiene menos grados de libertad y puede ser posible reconstruir el estado de las mediciones incompletas. ^[14]

La tomografía cuántica permutacionalmente invariante ^[15] es un procedimiento que se ha desarrollado principalmente para estados cercanos a ser permutacionalmente simétricos, lo cual es típico en los experimentos actuales. Para partículas de dos estados, el número de mediciones necesarias aumenta sólo cuadráticamente con el número de partículas.^[16] Además del modesto esfuerzo de medición, el procesamiento de los datos medidos también se puede realizar de manera eficiente: es posible realizar el ajuste de una matriz de densidad física a los datos medidos incluso en sistemas grandes.^[17] La ​​tomografía cuántica permutacionalmente invariante se ha combinado con la detección comprimida en un experimento fotónico de seis qubits. ^[18]

Tomografía de medición cuántica

Se puede imaginar una situación en la que un aparato realiza alguna medición en sistemas cuánticos y determina qué medición particular se desea. La estrategia consiste en enviar sistemas de varios estados conocidos y utilizar estos estados para estimar los resultados de la medición desconocida. También conocidas como "estimación cuántica", las técnicas de tomografía son cada vez más importantes, incluidas las de tomografía de medición cuántica y la muy similar tomografía de estado cuántico. Dado que una medición siempre puede caracterizarse por un conjunto de POVM , el objetivo es reconstruir los POVM caracterizantes . El enfoque más simple es la inversión lineal. Como en la observación del estado cuántico, utilice ${\displaystyle \Pi _{l}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} [\Pi _{l}\rho _{m}]=\mathrm {P} (l|\rho _{m})}$.

Explotando la linealidad como se indicó anteriormente, esto se puede invertir para resolver el problema . ${\displaystyle \Pi _{l}}$

No es sorprendente que adolezca de los mismos inconvenientes que la tomografía de estado cuántico: es decir, resultados no físicos, en particular probabilidades negativas. Aquí los POVM no serán válidos , ya que no serán positivos. Se pueden utilizar métodos bayesianos y la estimación de máxima verosimilitud de la matriz de densidad para restringir a los operadores a resultados físicos válidos. ^[19] ${\displaystyle \Pi _{l}}$

Tomografía de proceso cuántico

La tomografía de proceso cuántico (QPT) se ocupa de identificar un proceso dinámico cuántico desconocido. El primer enfoque, introducido en 1996 y a veces conocido como tomografía de proceso cuántico estándar (SQPT, por sus siglas en inglés), implica preparar un conjunto de estados cuánticos y enviarlos a través del proceso, luego usar tomografía de estado cuántico para identificar los estados resultantes. ^[20] Otras técnicas incluyen la tomografía de proceso asistida por ancilla (AAPT) y la tomografía de proceso asistida por entrelazamiento (EAPT), que requieren una copia adicional del sistema. ^[21]

Cada una de las técnicas enumeradas anteriormente se conocen como métodos indirectos de caracterización de la dinámica cuántica, ya que requieren el uso de tomografía de estados cuánticos para reconstruir el proceso. Por el contrario, existen métodos directos como la caracterización directa de la dinámica cuántica (DCQD) que proporcionan una caracterización completa de los sistemas cuánticos sin ninguna tomografía de estado. ^[22]

El número de configuraciones experimentales (preparaciones de estado y mediciones) necesarias para la tomografía de proceso cuántico completo crece exponencialmente con el número de partículas constituyentes de un sistema. En consecuencia, en general, QPT es una tarea imposible para sistemas cuánticos a gran escala. Sin embargo, bajo el supuesto de decoherencia débil, un mapa dinámico cuántico puede encontrar una representación escasa. El método de tomografía de proceso cuántico comprimido (CQPT) utiliza la técnica de detección comprimida y aplica el supuesto de escasez para reconstruir un mapa dinámico cuántico a partir de un conjunto incompleto de mediciones o preparaciones de estados de prueba. ^[23]

Mapas dinámicos cuánticos

Un proceso cuántico, también conocido como mapa dinámico cuántico, puede describirse mediante un mapa completamente positivo. ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{i}A_{i}\rho A_{i}^{\dagger }}$,

donde , los operadores acotados en el espacio de Hilbert ; con elementos de operación que satisfacen de modo que . ${\displaystyle \rho \in {\mathcal {B(H)}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}A_{i}^{\dagger }A_{i}\leq I}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$

Sea una base ortogonal para . Escribe los operadores en esta base. ${\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B(H)}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle \displaystyle A_{i}=\sum _{m}a_{im}E_{m}}$.

Esto lleva a

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=\sum _{m,n}\chi _{mn}E_{m}\rho E_{n}^{\dagger }}$,

dónde . ${\displaystyle \chi _{mn}=\sum _{i}a_{im}a_{in}^{*}}$

El objetivo entonces es resolver para , que es un superoperador positivo y se caracteriza completamente con respecto a la base. ^{[21] [22]} ${\displaystyle \displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle \displaystyle \{E_{i}\}}$

Tomografía de proceso cuántico estándar

SQPT aborda esto utilizando entradas linealmente independientes , donde es la dimensión del espacio de Hilbert . Para cada uno de estos estados de entrada , enviarlo a través del proceso da un estado de salida que puede escribirse como una combinación lineal de , es decir . Al enviar cada uno de ellos muchas veces, se puede utilizar la tomografía de estado cuántico para determinar los coeficientes de forma experimental. ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )}$ ${\displaystyle \rho _{k}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{k}c_{jk}\rho _{k}}$ ${\displaystyle \rho _{j}}$ ${\displaystyle c_{jk}}$

Escribir

${\displaystyle E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{k}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$,

donde es una matriz de coeficientes. Entonces ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \sum _{k}c_{jk}\rho _{k}={\mathcal {E}}(\rho _{j})=\sum _{m,n}\chi _{m,n}E_{m}\rho _{j}E_{n}^{\dagger }=\sum _{m,n}\sum _{k}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}\rho _{k}}$.

Dado que forman una base linealmente independiente, ${\displaystyle \rho _{k}}$

${\displaystyle \displaystyle c_{jk}=\sum _{m,n}\chi _{m,n}B_{m,n,j,k}}$.

La inversión da : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi _{m,n}=\sum _{j,k}B_{m,n,j,k}^{-1}c_{jk}}$.

Referencias

1. Tomografía de estado cuántico. "UIUC".
2. Smithey, DT; Beck, M.; Raymer, MG; Faridani, A. (1 de marzo de 1993). "Medición de la distribución de Wigner y la matriz de densidad de un modo de luz mediante tomografía óptica homodina: Aplicación a estados comprimidos y al vacío". Cartas de revisión física . 70 (9): 1244-1247. Código bibliográfico : 1993PhRvL..70.1244S. doi :10.1103/physrevlett.70.1244. ISSN  0031-9007. PMID  10054327.
3. D'Ariano, G Mauro; Laurentis, Martina De; París, Matteo GA; Porcio, Alberto; Solimeno, Salvatore (1 de junio de 2002). "La tomografía cuántica como herramienta para la caracterización de dispositivos ópticos". Journal of Optics B: Óptica cuántica y semiclásica . 4 (3): S127-S132. arXiv : quant-ph/0110110 . Código Bib : 2002JOptB...4S.127M. doi :10.1088/1464-4266/4/3/366. ISSN  1464-4266. S2CID  17185255.
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