regla nacida

Regla de cálculo en mecánica cuántica.

La regla de Born es un postulado de la mecánica cuántica que da la probabilidad de que una medición de un sistema cuántico arroje un resultado determinado. ^[1] En su forma más simple, establece que la densidad de probabilidad de encontrar un sistema en un estado dado, cuando se mide, es proporcional al cuadrado de la amplitud de la función de onda del sistema en ese estado. Fue formulado y publicado por el físico alemán Max Born en julio de 1926.

Detalles

La regla de Born establece que un observable , medido en un sistema con función de onda normalizada (ver notación Bra-ket ), corresponde a un operador autoadjunto cuyo espectro es discreto si: ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle A}$

• el resultado medido será uno de los valores propios de , y ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$
• la probabilidad de medir un valor propio dado será igual a , donde es la proyección en el espacio propio de correspondiente a . ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

(En el caso de que el espacio propio de correspondiente a sea unidimensional y esté abarcado por el vector propio normalizado , sea igual a , entonces la probabilidad es igual a . Dado que el número complejo se conoce como la amplitud de probabilidad que el vector de estado asigna al vector propio , es común describir la regla de Born diciendo que la probabilidad es igual a la amplitud al cuadrado (en realidad, la amplitud multiplicada por su propio conjugado complejo ). De manera equivalente, la probabilidad se puede escribir como . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|}$ ${\displaystyle \langle \psi |P_{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\lambda _{i}\rangle }$ ${\displaystyle {\big |}\langle \lambda _{i}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$

En el caso de que el espectro de no sea totalmente discreto, el teorema espectral demuestra la existencia de una determinada medida valorada en proyección (PVM) , la medida espectral de . En este caso: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$

• la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en un conjunto mensurable está dada por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle \psi |Q(M)|\psi \rangle }$

Una función de onda para una sola partícula sin estructura en posición espacial implica que la función de densidad de probabilidad para una medición de la posición de las partículas en el tiempo es: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle p(x,y,z,t_{0})=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}.}$

En algunas aplicaciones, este tratamiento de la regla de Born se generaliza utilizando medidas valoradas por el operador positivo (POVM) . Un POVM es una medida cuyos valores son operadores semidefinidos positivos en un espacio de Hilbert . Los POVM son una generalización de las mediciones de von Neumann y, en consecuencia, las mediciones cuánticas descritas por los POVM son una generalización de las mediciones cuánticas descritas por observables autoadjuntos. En una analogía aproximada, un POVM es para un PVM lo que un estado mixto es para un estado puro . Se necesitan estados mixtos para especificar el estado de un subsistema de un sistema más grande (ver purificación del estado cuántico ); De manera análoga, los POVM son necesarios para describir el efecto en un subsistema de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande. Los POVM son el tipo de medición más general en mecánica cuántica y también pueden usarse en teoría cuántica de campos . ^[2] Se utilizan ampliamente en el campo de la información cuántica .

En el caso más simple, de un POVM con un número finito de elementos que actúan sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita , un POVM es un conjunto de matrices semidefinidas positivas en un espacio de Hilbert que suman la matriz identidad : ^{[3] : 90} ${\displaystyle \{F_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=I.}$

El elemento POVM está asociado al resultado de la medición , de modo que la probabilidad de obtenerlo al realizar una medición sobre el estado cuántico viene dada por: ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i}),}$

¿Dónde está el operador de seguimiento ? Esta es la versión POVM de la regla Born. Cuando el estado cuántico que se mide es un estado puro, esta fórmula se reduce a: ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle p(i)=\operatorname {tr} {\big (}|\psi \rangle \langle \psi |F_{i}{\big )}=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle .}$

La regla de Born, junto con la unitaridad del operador de evolución temporal (o, de manera equivalente, el hamiltoniano es hermitiano ), implica la unitaridad de la teoría, que se considera necesaria para mantener la coherencia. Por ejemplo, la unitaridad garantiza que las probabilidades de todos los resultados posibles sumen 1 (aunque no es la única opción para cumplir este requisito particular ^{[ se necesita aclaración ]} ). ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Historia

La regla de Born fue formulada por Born en un artículo de 1926. ^[4] En este artículo, Born resuelve la ecuación de Schrödinger para un problema de dispersión e, inspirado por Albert Einstein y la regla probabilística de Einstein para el efecto fotoeléctrico , ^[5] concluye, en una nota a pie de página, que la regla de Born da la única interpretación posible de la solución. (El cuerpo principal del artículo dice que la amplitud "da la probabilidad" [ bestimmt die Wahrscheinlichkeit ], mientras que la nota a pie de página añadida como prueba dice que la probabilidad es proporcional al cuadrado de su magnitud). En 1954, junto con Walther Bothe , Born recibió el Premio Nobel de Física por este y otros trabajos. ^[5] John von Neumann analizó la aplicación de la teoría espectral a la regla de Born en su libro de 1932. ^[6]

Derivación de principios más básicos

El teorema de Gleason muestra que la regla de Born se puede derivar de la representación matemática habitual de las mediciones en física cuántica junto con el supuesto de no contextualidad . Andrew M. Gleason demostró por primera vez el teorema en 1957, ^[7] impulsado por una pregunta planteada por George W. Mackey . ^{[8] [9]} Este teorema fue históricamente significativo por el papel que desempeñó al mostrar que amplias clases de teorías de variables ocultas son inconsistentes con la física cuántica. ^[10]

Varios otros investigadores también han intentado derivar la regla de Born a partir de principios más básicos. Se han propuesto varias derivaciones en el contexto de la interpretación de muchos mundos . Estos incluyen el enfoque de la teoría de la decisión iniciado por David Deutsch ^[11] y posteriormente desarrollado por Hilary Greaves ^[12] y David Wallace; ^[13] y un enfoque de "envariancia" de Wojciech H. Zurek . ^[14] Estas pruebas, sin embargo, han sido criticadas por ser circulares. ^{[15] En 2018, Charles Sebens y} Sean M. Carroll sugirieron un enfoque basado en la incertidumbre de autolocalización ; ^[16] esto también ha sido criticado. ^[17] Simon Saunders , en 2021, produjo una derivación de conteo de ramas de la regla de Born. La característica crucial de este enfoque es definir las ramas para que todas tengan la misma magnitud o norma 2 . Las proporciones del número de ramas así definidas dan las probabilidades de los distintos resultados de una medición, de acuerdo con la regla de Born. ^[18]

En 2019, Lluís Masanes, Thomas Galley y Markus Müller propusieron una derivación basada en postulados que incluían la posibilidad de estimación del estado. ^{[19] [20]}

También se ha afirmado que la teoría de la onda piloto se puede utilizar para derivar estadísticamente la regla de Born, aunque esto sigue siendo controvertido. ^[21]

Dentro de la interpretación QBista de la teoría cuántica, la regla de Born se considera una extensión del principio normativo de coherencia , que garantiza la autoconsistencia de las evaluaciones de probabilidad en todo un conjunto de evaluaciones de este tipo. Se puede demostrar que un agente que piensa que está apostando por los resultados de las mediciones en un sistema suficientemente cuántico pero se niega a utilizar la regla de Born al hacer sus apuestas es vulnerable a un libro holandés . ^[22]

Referencias

1. La evolución temporal de un sistema cuántico es completamente determinista según la ecuación de Schrödinger . Es a través de la Regla de Nacimiento que la probabilidad entra en la teoría.
2. Peres, Aser ; Terno, Daniel R. (2004). "Información cuántica y teoría de la relatividad". Reseñas de Física Moderna . 76 (1): 93-123. arXiv : quant-ph/0212023 . Código Bib : 2004RvMP...76...93P. doi :10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID  7481797.
3. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000). Computación cuántica e información cuántica (1ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-63503-5. OCLC  634735192.
4. Nacido, Max (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge" [Sobre la mecánica cuántica de las colisiones]. Zeitschrift für Physik . 37 (12): 863–867. Código bibliográfico : 1926ZPhy...37..863B. doi :10.1007/BF01397477. S2CID  119896026.Reimpreso como Born, Max (1983). "Sobre la mecánica cuántica de las colisiones". En Wheeler, JA ; Zurek, WH (eds.). Teoría y medición cuántica . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 52–55. ISBN 978-0-691-08316-2.
5. Born, Max (11 de diciembre de 1954). "La interpretación estadística de la mecánica cuántica" (PDF) . www.premionobel.org . Premio Nobel.org . Consultado el 7 de noviembre de 2018 . De nuevo una idea de Einstein me dio la pista. Había intentado hacer comprensible la dualidad de partículas (cuantos de luz o fotones) y ondas interpretando el cuadrado de las amplitudes de las ondas ópticas como densidad de probabilidad de la aparición de fotones. Este concepto podría trasladarse inmediatamente a la función psi: |psi| ² debería representar la densidad de probabilidad de los electrones (u otras partículas).
6. Neumann (von), Juan (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica ]. Traducido por Beyer, Robert T. Princeton University Press (publicado en 1996). ISBN 978-0691028934.
7. Gleason, Andrew M. (1957). "Medidas sobre los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert". Revista de Matemáticas de la Universidad de Indiana . 6 (4): 885–893. doi : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . SEÑOR  0096113.
8. Mackey, George W. (1957). "Mecánica cuántica y espacio de Hilbert". El Mensual Matemático Estadounidense . 64 (8P2): 45–57. doi :10.1080/00029890.1957.11989120. JSTOR  2308516.
9. Chernoff, Paul R. (noviembre de 2009). "Andy Gleason y la mecánica cuántica" (PDF) . Avisos de la AMS . 56 (10): 1253-1259.
10. Mermin, N. David (1 de julio de 1993). "Variables ocultas y los dos teoremas de John Bell". Reseñas de Física Moderna . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Código Bib : 1993RvMP...65..803M. doi :10.1103/RevModPhys.65.803. S2CID  119546199.
11. Deutsch, David (8 de agosto de 1999). "Teoría Cuántica de la Probabilidad y las Decisiones". Actas de la Royal Society A. 455 (1988): 3129–3137. arXiv : quant-ph/9906015 . Código Bib : 1999RSPSA.455.3129D. doi :10.1098/rspa.1999.0443. S2CID  5217034 . Consultado el 5 de diciembre de 2022 .
12. Grebas, Hilary (21 de diciembre de 2006). "Probabilidad en la interpretación de Everett" (PDF) . Brújula de Filosofía . 2 (1): 109–128. doi : 10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x . Consultado el 6 de diciembre de 2022 .
13. Wallace, David (2010). "Cómo demostrar la regla nacida". En Kent, Adrián; Wallace, David; Barrett, Jonathan; Saunders, Simón (eds.). ¿Muchos mundos? Everett, teoría cuántica y realidad . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 227–263. arXiv : 0906.2718 . ISBN 978-0-191-61411-8.
14. Zurek, Wojciech H. (25 de mayo de 2005). "Probabilidades por entrelazamiento, regla de Born por variación". Revisión física A. 71 : 052105. arXiv : quant-ph/0405161 . doi : 10.1103/PhysRevA.71.052105 . Consultado el 6 de diciembre de 2022 .
15. Landsman, NP (2008). «La regla del Born y su interpretación» (PDF) . En Weinert, F.; Hentschel, K.; Greenberger, D.; Falkenburg, B. (eds.). Compendio de Física Cuántica . Saltador. ISBN 978-3-540-70622-9. La conclusión parece ser que hasta la fecha no se ha dado ninguna derivación generalmente aceptada de la regla de Born, pero esto no implica que dicha derivación sea imposible en principio.
16. Sebens, Charles T.; Carroll, Sean M. (marzo de 2018). "Incertidumbre de autolocalización y el origen de la probabilidad en la mecánica cuántica everettiana". La Revista Británica de Filosofía de la Ciencia . 69 (1): 25–74. arXiv : 1405.7577 . doi : 10.1093/bjps/axw004 .
17. Vaidman, Lev (2020). «Derivaciones de la Regla Nacida» (PDF) . Cuántica, Probabilidad, Lógica . Estudios de Jerusalén en Filosofía e Historia de la Ciencia. Saltador. págs. 567–584. doi :10.1007/978-3-030-34316-3_26. ISBN 978-3-030-34315-6. S2CID  156046920.
18. Saunders, Simon (24 de noviembre de 2021). "Recuento de ramas en la interpretación de Everett de la mecánica cuántica". Actas de la Royal Society A. 477 (2255): 1–22. arXiv : 2201.06087 . Código Bib : 2021RSPSA.47710600S. doi :10.1098/rspa.2021.0600. S2CID  244491576.
19. Masanes, Lluís; Galera, Tomás; Müller, Markus (2019). "Los postulados de medición de la mecánica cuántica son operativamente redundantes". Comunicaciones de la naturaleza . 10 (1): 1361. arXiv : 1811.11060 . Código Bib : 2019NatCo..10.1361M. doi :10.1038/s41467-019-09348-x. PMC 6434053 . PMID  30911009. 
20. Ball, Philip (13 de febrero de 2019). "Misteriosa regla cuántica reconstruida desde cero". Revista Quanta . Archivado desde el original el 13 de febrero de 2019.
21. Goldstein, Sheldon (2017). "Mecánica de Bohemia". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Laboratorio de Investigación en Metafísica, Universidad de Stanford.
22. DeBrota, John B.; Fuchs, Christopher A.; Pienaar, Jacques L.; Stacey, Blake C. (2021). "La regla de Born como una extensión cuántica de la coherencia bayesiana". Física. Rev. A. 104 (2). 022207. arXiv : 2012.14397 . Código Bib : 2021PhRvA.104b2207D. doi :10.1103/PhysRevA.104.022207.

enlaces externos

• La mecánica cuántica no está en peligro: los físicos confirman experimentalmente un principio clave de décadas de antigüedad ScienceDaily (23 de julio de 2010)