En un experimento mental propuesto por el probabilista italiano Bruno de Finetti para justificar la probabilidad bayesiana , una serie de apuestas es coherente si no da como resultado un libro holandés .
Se debe fijar el precio de la promesa de pagar 1 dólar si John Smith gana las elecciones de mañana, y 0 dólares en caso contrario. Uno sabe que su oponente podrá elegir entre comprarle tal promesa al precio que uno ha establecido, o exigirle que le compre tal promesa, aún al mismo precio. En otras palabras: el jugador A establece las probabilidades, pero el jugador B decide qué lado de la apuesta tomar. El precio que se fija es la "probabilidad subjetiva operativa" que se asigna a la proposición por la que se apuesta.
Si se decide que John Smith tiene un 12,5% de probabilidades de ganar (una valoración arbitraria), entonces se podrían establecer unas probabilidades de 7 a 1 en contra. Esta valoración arbitraria -la "probabilidad subjetiva operativa"- determina el beneficio de una apuesta exitosa. 1 dólar apostado con estas probabilidades producirá una pérdida de 1 dólar (si Smith pierde) o una ganancia de 7 dólares (si gana Smith). Si el dólar se pone en garantía como condición de la apuesta, entonces el dólar también se devolverá al apostante, en caso de que gane la apuesta.
Se dice que una persona que ha fijado los precios de una serie de apuestas, de tal manera que obtendrá una ganancia neta independientemente del resultado, ha hecho un libro holandés . Cuando uno tiene un libro holandés, su oponente siempre pierde. Una persona que fija los precios de manera que le dé a su oponente un libro holandés no se comporta racionalmente. Así, los siguientes argumentos del libro holandés muestran que los agentes racionales deben tener probabilidades subjetivas que sigan las leyes comunes de la probabilidad.
Las reglas no prohíben un precio fijo superior a 1 dólar, pero un oponente prudente puede venderle un boleto de alto precio, de modo que el oponente salga ganando independientemente del resultado del evento en el que se realiza la apuesta. Las reglas tampoco prohíben un precio negativo, pero un oponente puede obtener una promesa pagada del apostante de pagarle más tarde en caso de que surja una determinada contingencia. En cualquier caso, quien fija los precios pierde. Estas situaciones de perder-perder son paralelas al hecho de que una probabilidad no puede exceder 1 (certidumbre) ni ser menor que 0 (ninguna posibilidad de ganar).
Ahora supongamos que se fija el precio de una promesa de pagar 1 dólar si los Medias Rojas de Boston ganan la Serie Mundial del año próximo, y también el precio de una promesa de pagar 1 dólar si ganan los Yankees de Nueva York, y finalmente el precio de una promesa de pagar 1 dólar. si ganan los Medias Rojas o los Yankees. Se pueden fijar los precios de tal manera que
Pero si se fija el precio del tercer billete por debajo de la suma de los dos primeros, un oponente prudente comprará ese billete y venderá los otros dos al que fija el precio. Al considerar los tres resultados posibles (Medias Rojas, Yankees, algún otro equipo), uno notará que independientemente de cuál de los tres resultados ocurra, uno perderá. Un destino análogo aguarda si se fija el precio del tercer billete por encima de la suma de los otros dos precios. Esto es paralelo al hecho de que las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes son aditivas (ver axiomas de probabilidad ).
Ahora imagina un escenario más complicado. Hay que fijar los precios de tres promesas:
Son posibles tres resultados: el juego se cancela; se juega el partido y los Medias Rojas pierden; Se juega el juego y ganan los Medias Rojas. Se pueden fijar los precios de tal manera que
(donde el segundo precio anterior es el de la apuesta que incluye el reembolso en caso de cancelación). (Nota: los precios aquí son los números adimensionales obtenidos al dividir por 1 dólar, que es el pago en los tres casos). Un oponente prudente escribe tres desigualdades lineales en tres variables. Las variables son los montos que invertirán en cada una de las tres promesas; el valor de uno de ellos es negativo si hacen que quien fija el precio compre esa promesa y positivo si la compra. Cada desigualdad corresponde a uno de los tres resultados posibles. Cada desigualdad establece que la ganancia neta de tu oponente es mayor que cero. Existe una solución si el determinante de la matriz no es cero. Ese determinante es:
Por lo tanto, un oponente prudente puede hacer que quien fija los precios sea un perdedor seguro a menos que fije sus precios de una manera que sea paralela a la caracterización convencional más simple de probabilidad condicional .
En la edición de 2015 del Derby de Kentucky , el favorito ("American Pharaoh") quedó como antepost con 5:2, el segundo favorito con 3:1 y el tercer favorito con 8:1. Todos los demás caballos tenían probabilidades en contra de 12:1 o más. Con estas probabilidades, una apuesta de $10 a cada uno de los 18 titulares resultaría en una pérdida neta si ganara el favorito o el segundo favorito.
Sin embargo, si se supone que ningún caballo con una cotización de 12:1 o superior ganará, y se apuesta $10 en cada uno de los tres primeros, se garantiza al menos una pequeña ganancia. El favorito (que ganó) resultaría en un pago de $25, más la apuesta devuelta de $10, dando un saldo final de $35 (un aumento neto de $5). Una victoria del segundo favorito produciría un pago de $30 más la apuesta original de $10, para un aumento neto de $10. Una victoria del tercer favorito otorga $80 más los $10 originales, para un aumento neto de $60.
Este tipo de estrategia, en la medida en que concierne sólo a los tres primeros, constituye un libro holandés. Sin embargo, si se consideran los dieciocho contendientes, entonces no existe ningún libro holandés para esta carrera.
Se puede demostrar que el conjunto de precios es coherente cuando satisfacen los axiomas de probabilidad y resultados relacionados como el principio de inclusión-exclusión .
