Mapa completamente positivo

Mapeo de álgebra C* que preserva elementos positivos

En matemáticas, un mapa positivo es un mapa entre álgebras C* que envía elementos positivos a elementos positivos. Un mapa completamente positivo es aquel que satisface una condición más fuerte y robusta.

Definición

Sean y sean C*-álgebras . Una aplicación lineal se denomina aplicación positiva si asigna elementos positivos a elementos positivos: . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi :A\to B}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a\geq 0\implies \phi (a)\geq 0}$

Cualquier mapa lineal induce otro mapa. ${\displaystyle \phi :A\to B}$

${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}$

de forma natural. Si se identifica con el álgebra C* de matrices con entradas en , entonces actúa como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}$ ${\displaystyle A^{k\times k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle \phi }$se llama k-positivo si es un mapa positivo y completamente positivo si es k-positivo para todo k. ${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

Propiedades

• Los mapas positivos son monótonos, es decir, para todos los elementos autoadjuntos . ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}$
• Dado que para todos los elementos autoadjuntos , cada aplicación positiva es automáticamente continua con respecto a las normas C* y su norma operador es igual . Una afirmación similar con unidades aproximadas se aplica a las álgebras no unitarias. ${\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}$ ${\displaystyle a\in A_{sa}}$ ${\displaystyle \|\phi (1_{A})\|_{B}}$
• El conjunto de funcionales positivos es el cono dual del cono de elementos positivos de . ${\displaystyle \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

• Cada homomorfismo *- es completamente positivo. ^[1]
• Para cada operador lineal entre espacios de Hilbert, el mapa es completamente positivo. ^[2] El teorema de Stinespring dice que todos los mapas completamente positivos son composiciones de *-homomorfismos y estos mapas especiales. ${\displaystyle V:H_{1}\to H_{2}}$ ${\displaystyle L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }}$
• Cada funcional positivo (en particular cada estado ) es automáticamente completamente positivo. ${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$
• Dadas las álgebras y funciones continuas de valores complejos en espacios compactos de Hausdorff , cada aplicación positiva es completamente positiva. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle C(Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$
• La transposición de matrices es un ejemplo estándar de una aplicación positiva que no logra ser 2-positiva. Sea T este mapa en . La siguiente es una matriz positiva en : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}$
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$
  La imagen de esta matriz a continuación es ${\displaystyle I_{2}\otimes T}$
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$$
  lo cual claramente no es positivo, teniendo determinante −1. Además, los valores propios de esta matriz son 1,1,1 y −1. ( De hecho, esta matriz resulta ser la matriz Choi de T ).
  Por cierto, se dice que un mapa Φ es copositivo si la composición Φ T es positiva. El mapa de transposición en sí es un mapa copositivo. ${\displaystyle \circ }$

Ver también

• Teorema de Choi en mapas completamente positivos.

Referencias

1. KR Davidson: C*-Álgebras por ejemplo , Sociedad Matemática Estadounidense (1996), ISBN 0-821-80599-1, Thm. IX.4.1
2. RV Kadison , JR Ringrose : Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores II , Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, secc. 11.5.21