En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama positivo si es la suma de elementos de la forma .
Definición
Sea una *-álgebra. Un elemento se llama positivo si hay un número finito de elementos , por lo que se cumple. Esto también se denota por .
El conjunto de elementos positivos se denota por .
Un caso especial de particular importancia es el caso donde es un *-álgebra normada completa , que satisface la C*-identidad ( ), que se llama un C*-álgebra .
Ejemplos
- El elemento unidad de un *-álgebra unital es positivo.
- Para cada elemento , los elementos y son positivos por definición.
En el caso de que sea un C*-álgebra, se cumple lo siguiente:
- Sea un elemento normal , entonces para cada función positiva que sea continua en el espectro del cálculo funcional continuo se define un elemento positivo .
- Toda proyección , es decir, todo elemento para el que se cumple , es positiva. Para el espectro de un elemento idempotente de este tipo , se cumple , como se puede ver a partir del cálculo funcional continuo.
Criterios
Sea una C*-álgebra y . Entonces las siguientes son equivalentes:
- Porque el espectro se cumple y es un elemento normal.
- Existe un elemento , tal que .
- Existe un elemento autoadjunto (único) tal que .
Si es una *-álgebra unitaria con elemento unidad , entonces además las siguientes afirmaciones son equivalentes:
- para cada y es un elemento autoadjunto.
- Para algunos y es un elemento autoadjunto.
Propiedades
En *-álgebras
Sea una *-álgebra. Entonces:
- Si es un elemento positivo, entonces es autoadjunto.
- El conjunto de elementos positivos es un cono convexo en el espacio vectorial real de los elementos autoadjuntos . Esto significa que se cumple para todos y .
- Si es un elemento positivo, entonces también es positivo para cada elemento .
- Para el intervalo lineal de lo siguiente se cumple: y .
En álgebras C*
Sea una C*-álgebra. Entonces:
- Utilizando el cálculo funcional continuo, para cada y existe un determinado de forma única que satisface , es decir, una raíz -ésima única . En particular, existe una raíz cuadrada para cada elemento positivo. Dado que para cada el elemento es positivo, esto permite la definición de un valor absoluto único : .
- Para cada número real existe un elemento positivo para el cual se cumple para todo . La aplicación es continua. Los valores negativos para también son posibles para elementos invertibles .
- Los productos de elementos positivos conmutativos también son positivos. Por lo tanto, si se cumple para , entonces .
- Cada elemento puede representarse de forma única como una combinación lineal de cuatro elementos positivos. Para ello, primero se descompone en las partes reales e imaginarias autoadjuntas y estas se descomponen luego en partes positivas y negativas utilizando el cálculo funcional continuo . Porque se cumple que , ya que .
- Si tanto y son positivos se cumple.
- Si es una C*-subálgebra de , entonces .
- Si es otra C*-álgebra y es un *-homomorfismo de a , entonces se cumple.
- Si son elementos positivos para los cuales , conmutan y se cumplen. Dichos elementos se denominan ortogonales y se escriben .
Orden parcial
Sea una *-álgebra. La propiedad de ser un elemento positivo define un orden parcial invariante de traslación en el conjunto de elementos autoadjuntos . Si se cumple para , se escribe o .
Este orden parcial cumple las propiedades y para todos con y .
Si es un C*-álgebra, el orden parcial también tiene las siguientes propiedades para :
- Si se cumple, entonces es cierto para cada . Para cada que conmuta con y se cumple.
- Si se cumple, entonces .
- Si se cumple, entonces se cumple para todos los números reales .
- Si es invertible y se cumple, entonces es invertible y para las inversas se cumple.
Véase también
Citas
Referencias
Bibliografía
- Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de las álgebras C* y las álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. ISBN 3-540-28486-9.
- Dixmier, Jacques (1977). C*-álgebras . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: North-Holland. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
- Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la teoría de álgebras de operadores. Volumen 1 Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
- Palmer, Theodore W. (2001). Álgebras de Banach y teoría general de las *-álgebras: Volumen 2, *-álgebras . Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0.