Elemento positivo

En matemáticas , un elemento de un *-álgebra se llama positivo si es la suma de elementos de la forma . ^[1] ${\displaystyle a^{*}a}$

Definición

Sea un *-álgebra. Un elemento se dice positivo si hay un número finito de elementos , por lo que se cumple. ^[1] Esto también se denota por . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a_{k}\in {\mathcal {A}}\;(k=1,2,\ldots ,n)}$ ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{*}a_{k}}$ ${\displaystyle a\geq 0}$

El conjunto de elementos positivos se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$

Un caso especial de particular importancia es el caso en el que hay un *-álgebra normada completa , que satisface la identidad C* ( ), que se llama C*-álgebra . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$

Ejemplos

• El elemento unitario de un *-álgebra unital es positivo. ${\displaystyle e}$
• Para cada elemento , los elementos y son positivos por definición. ^[1] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a^{*}a}$ ${\displaystyle aa^{*}}$

En caso de que sea un álgebra C*, se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Sea un elemento normal , entonces para cada función positiva que es continua en el espectro del cálculo funcional continuo se define un elemento positivo . ^[3] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(a)}$
• Toda proyección , es decir, todo elemento para el que se cumple, es positivo. Para el espectro de un elemento tan idempotente , se cumple, como se puede ver en el cálculo funcional continuo . ^[3] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=a^{*}=a^{2}}$ ${\displaystyle \sigma (a)}$ ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$

Criterios

Sea un álgebra C* y . Entonces los siguientes son equivalentes: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$

• Porque el espectro se mantiene y es un elemento normal. ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq [0,\infty )}$ ${\displaystyle a}$
• Existe un elemento tal que . ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=bb^{*}}$
• Existe un elemento autoadjunto (único) tal que . ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a=c^{2}}$

Si es un álgebra unital * con elemento unitario , entonces además las siguientes afirmaciones son equivalentes: ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle e}$

• ${\displaystyle \left\|te-a\right\|\leq t}$para todos y es un elemento autoadjunto. ${\displaystyle t\geq \left\|a\right\|}$ ${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle \left\|te-a\right\|\leq t}$para algunos y es un elemento autoadjunto. ${\displaystyle t\geq \left\|a\right\|}$ ${\displaystyle a}$

Propiedades

En *-álgebras

Sea un *-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Si es un elemento positivo, entonces es autoadjunto. ^[6] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a}$
• El conjunto de elementos positivos es un cono convexo en el espacio vectorial real de los elementos autojuntos . Esto significa que eso es válido para todos y . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle \alpha a,a+b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}$
• Si es un elemento positivo, entonces también lo es para cada elemento . ^[7] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{*}ab}$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$
• Para el tramo lineal de lo siguiente se cumple: y . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {A}}_{+}\rangle ={\mathcal {A}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}={\mathcal {A}}_{sa}\cap {\mathcal {A}}^{2}}$

En C * -álgebras

Sea un C*-álgebra. Entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

• Usando el cálculo funcional continuo, para cada y hay un determinado unívocamente que satisface , es decir, una raíz -ésima única . En particular, existe una raíz cuadrada para cada elemento positivo. Dado que para cada elemento el elemento es positivo, esto permite definir un valor absoluto único : . ^[9] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle b^{n}=a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle b^{*}b}$ ${\textstyle |b|=(b^{*}b)^{\frac {1}{2}}}$
• Para cada número real hay un elemento positivo que vale para todos . El mapeo es continuo. También son posibles valores negativos para elementos invertibles . ^[7] ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ${\displaystyle a^{\alpha }\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$ ${\displaystyle \beta \in [0,\infty )}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto a^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$
• Los productos de elementos conmutativos positivos también son positivos. Entonces, si es positivo , entonces . ^[5] ${\displaystyle ab=ba}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle ab\in {\mathcal {A}}_{+}}$
• Cada elemento se puede representar de forma única como una combinación lineal de cuatro elementos positivos. Para hacer esto, primero se descompone en partes reales e imaginarias autoadjuntas y luego estas se descomponen en partes positivas y negativas utilizando el cálculo funcional continuo. ^[10] Porque se sostiene que , desde . ^[8] ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}={\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\mathcal {A}}}$
• Si ambos y son positivos se mantiene. ^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$ ${\displaystyle a=0}$
• Si es una subálgebra C* de , entonces . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{+}={\mathcal {B}}\cap {\mathcal {A}}_{+}}$
• Si es otro álgebra C* y es un homomorfismo * de a , entonces se cumple. ^[11] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {A}}_{+})=\Phi ({\mathcal {A}})\cap {\mathcal {B}}_{+}}$
• Si son elementos positivos para los cuales , conmutan y se mantienen. Estos elementos se llaman ortogonales y se escribe . ^[12] ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle ab=0}$ ${\displaystyle \left\|a+b\right\|=\max(\left\|a\right\|,\left\|b\right\|)}$ ${\displaystyle a\bot b}$

Orden parcial

Sea un *-álgebra. La propiedad de ser un elemento positivo define un orden parcial invariante de traducción en el conjunto de elementos autoadjuntos . Si es válido para , se escribe o . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle b-a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle b\geq a}$

Este orden parcial cumple las propiedades y para todos con y . ^[8] ${\displaystyle ta\leq tb}$ ${\displaystyle a+c\leq b+c}$ ${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

Si es un álgebra C*, el orden parcial también tiene las siguientes propiedades para : ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$

• Si se cumple, entonces es cierto para todos . Por cada cosa que conmuta e incluso se mantiene. ^[14] ${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle c^{*}ac\leq c^{*}bc}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ac\leq bc}$
• Si se mantiene, entonces . ^[15] ${\displaystyle -b\leq a\leq b}$ ${\displaystyle \left\|a\right\|\leq \left\|b\right\|}$
• Si se cumple, entonces se cumple para todos los números reales . ^[dieciséis] ${\displaystyle 0\leq a\leq b}$ ${\textstyle a^{\alpha }\leq b^{\alpha }}$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$
• Si es invertible y se cumple, entonces es invertible y para lo inverso se cumple. ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{-1}\leq a^{-1}}$

Ver también

• matriz no negativa
• Operador positivo (espacio de Hilbert)

Citas

Referencias

1. Palmer 2001, pag. 798.
2. Blackadar 2006, pag. 63.
3. Kadison y Ringrose 1983, pág. 271.
4. Kadison y Ringrose 1983, págs. 247-248.
5. Kadison y Ringrose 1983, pág. 245.
6. Palmer 2001, pag. 800.
7. Blackadar 2006, pág. 64.
8. Palmer 2001, pag. 802.
9. Blackadar 2006, págs. 63–65.
10. Kadison y Ringrose 1983, pág. 247.
11. Dixmier 1977, pag. 18.
12. Blackadar 2006, pag. 67.
13. Palmer 2001, pag. 799.
14. Kadison y Ringrose 1983, pág. 249.
15. Kadison y Ringrose 1983, pág. 250.
16. Blackadar 2006, pag. 66.

Bibliografía

• Blackadar, Bruce (2006). Álgebras de operadores. Teoría de C*-Álgebras y Álgebras de von Neumann . Berlín/Heidelberg: Springer. ISBN 3-540-28486-9.
• Dixmier, Jacques (1977). C*-álgebras . Traducido por Jellett, Francis. Ámsterdam/Nueva York/Oxford: Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0762-1.Traducción al inglés de Les C*-algèbres et leurs représentations (en francés). Gauthier-Villars. 1969.
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1983). Fundamentos de la Teoría de Álgebras de Operadores. Volumen 1 Teoría elemental . Nueva York/Londres: Academic Press. ISBN 0-12-393301-3.
• Palmer, Theodore W. (2001). Álgebras de Banach y la teoría general de * -álgebras: Volumen 2, * -álgebras . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-36638-0.