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Cálculo funcional continuo

En matemáticas , particularmente en teoría de operadores y teoría de álgebra C* , el cálculo funcional continuo es un cálculo funcional que permite la aplicación de una función continua a elementos normales de un álgebra C*.

En teoría avanzada, las aplicaciones de este cálculo funcional son tan naturales que a menudo ni siquiera se mencionan. No es exagerado decir que el cálculo funcional continuo marca la diferencia entre las C*-álgebras y las álgebras de Banach generales , en las que solo existe un cálculo funcional holomorfo .

Motivación

Si se quiere extender el cálculo funcional natural para polinomios en el espectro de un elemento de un álgebra de Banach a un cálculo funcional para funciones continuas en el espectro, parece obvio aproximar una función continua por polinomios según el teorema de Stone-Weierstrass , insertar el elemento en estos polinomios y mostrar que esta secuencia de elementos converge a . Las funciones continuas en se aproximan por polinomios en y , es decir, por polinomios de la forma . Aquí, denota la conjugación compleja , que es una involución en los números complejos . [1] Para poder insertar en lugar de en este tipo de polinomio, se consideran *-álgebras de Banach , es decir, álgebras de Banach que también tienen una involución *, y se inserta en lugar de . Para obtener un homomorfismo , es necesaria una restricción a los elementos normales, es decir, elementos con , ya que el anillo polinomial es conmutativo . Si es una sucesión de polinomios que converge uniformemente a una función continua , debe asegurarse la convergencia de la sucesión en a un elemento . Un análisis detallado de este problema de convergencia muestra que es necesario recurrir a las C*-álgebras. Estas consideraciones conducen al llamado cálculo funcional continuo.

Teorema

cálculo funcional continuo  —  Sea un elemento normal del C*-álgebra con elemento unidad y sea el C*-álgebra conmutativa de funciones continuas en , el espectro de . Entonces existe exactamente un *-homomorfismo con para y para la identidad . [2]

La aplicación se denomina cálculo funcional continuo del elemento normal . Generalmente se establece de manera sugestiva . [3]

Debido a la propiedad de *-homomorfismo, las siguientes reglas de cálculo se aplican a todas las funciones y escalares : [4]

Por lo tanto, podemos imaginarnos insertando los elementos normales en funciones continuas; las operaciones algebraicas obvias se comportan como se espera.

El requisito de un elemento unitario no es una restricción significativa. Si es necesario, se puede añadir un elemento unitario , obteniéndose la C*-álgebra ampliada . Entonces, si y con , se sigue que y . [5]

La existencia y unicidad del cálculo funcional continuo se demuestran por separado:

En el análisis funcional, el cálculo funcional continuo para un operador normal es a menudo de interés, es decir, el caso donde es el C*-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert . En la literatura, el cálculo funcional continuo a menudo solo se demuestra para operadores autoadjuntos en este contexto. En este caso, la prueba no necesita la representación de Gelfand. [8]

Otras propiedades del cálculo funcional continuo

El cálculo funcional continuo es un isomorfismo isométrico en la subálgebra C* generada por y , es decir: [7]

Dado que es un elemento normal de , la subálgebra C* generada por y es conmutativa. En particular, es normal y todos los elementos de un cálculo funcional conmutan. [9]

El cálculo funcional holomórfico se extiende mediante el cálculo funcional continuo de forma inequívoca . [10] Por lo tanto, para polinomios el cálculo funcional continuo corresponde al cálculo funcional natural para polinomios: para todos con . [3]

Para una secuencia de funciones que converge uniformemente a una función , converge a . [11] Para una serie de potencias , que converge de manera absolutamente uniforme a , por lo tanto se cumple. [12]

Si y , entonces se cumple para su composición . [5] Si son dos elementos normales con y es la función inversa de en ambos y , entonces , ya que . [13]

El teorema de mapeo espectral se aplica: para todo . [7]

Si se cumple para , entonces también se cumple para todos los , es decir, si conmuta con , entonces también con los elementos correspondientes del cálculo funcional continuo . [14]

Sea un *-homomorfismo unital entre C*-álgebras y . Entonces conmuta con el cálculo funcional continuo. Se cumple lo siguiente: para todo . En particular, el cálculo funcional continuo conmuta con la representación de Gelfand . [4]

Con el teorema de mapeo espectral, las funciones con ciertas propiedades pueden relacionarse directamente con ciertas propiedades de elementos de C*-álgebras: [15]

Estos se basan en afirmaciones sobre el espectro de ciertos elementos, que se muestran en la sección Aplicaciones.

En el caso especial que es el C*-álgebra de operadores acotados para un espacio de Hilbert , los vectores propios para el valor propio de un operador normal son también vectores propios para el valor propio del operador . Si , entonces también se cumple para todo . [18]

Aplicaciones

Las siguientes aplicaciones son ejemplos típicos y muy simples de las numerosas aplicaciones del cálculo funcional continuo:

Espectro

Sea un álgebra C* y un elemento normal. Entonces se aplica lo siguiente al espectro : [15]

Demostración. [3] El cálculo funcional continuo para el elemento normal es un *-homomorfismo con y por lo tanto es autoadjunto/unitario/una proyección si es también autoadjunto/unitario/una proyección. Exactamente entonces es autoadjunto si se cumple para todo , es decir, si es real. Exactamente entonces es unitario si se cumple para todo , por lo tanto . Exactamente entonces es una proyección si y solo si , es decir, para todo , es decir,

Raíces

Sea un elemento positivo de una C*-álgebra . Entonces para cada existe un elemento positivo determinado de manera única con , es decir, una raíz -ésima única . [19]

Demostración. Para cada , la función raíz es una función continua en . Si se define utilizando el cálculo funcional continuo, entonces se deduce de las propiedades del cálculo. Del teorema de aplicación espectral se deduce , es decir, es positivo. [19] Si es otro elemento positivo con , entonces se cumple, ya que la función raíz en los números reales positivos es una función inversa a la función . [13]

Si es un elemento autoadjunto, entonces al menos para cada impar hay un elemento autoadjunto determinado de forma única con . [20]

De manera similar, para un elemento positivo de un C*-álgebra , cada uno define un elemento positivo determinado de manera única de , tal que se cumple para todo . Si es invertible, esto también se puede extender a valores negativos de . [19]

Valor absoluto

Si , entonces el elemento es positivo, de modo que el valor absoluto puede definirse mediante el cálculo funcional continuo , ya que es continuo en los números reales positivos. [21]

Sea un elemento autoadjunto de un C*-álgebra , entonces existen elementos positivos , tales que con se cumple. Los elementos y también se denominan partes positiva y negativa . [22] Además, se cumple. [23]

Demostración. Las funciones y son funciones continuas en con y . Supongamos que y . De acuerdo con el teorema de mapeo espectral, y son elementos positivos para los cuales y se cumple. [22] Además, , tal que se cumple. [23]

Elementos unitarios

Si es un elemento autoadjunto de una C*-álgebra con elemento unidad , entonces es unitario, donde denota la unidad imaginaria . Por el contrario, si es un elemento unitario, con la restricción de que el espectro es un subconjunto propio del círculo unidad, es decir , existe un elemento autoadjunto con . [24]

Demostración. [24] Es con , ya que es autoadjunto, se sigue que , ie es una función en el espectro de . Como , utilizando el cálculo funcional se sigue, ie es unitario. Como para el otro enunciado hay un , tal que la función es una función continua de valor real en el espectro para , tal que es un elemento autoadjunto que satisface .

Teorema de descomposición espectral

Sea una C*-álgebra unital y un elemento normal. Sea el espectro formado por subconjuntos cerrados disjuntos por pares para todos los , es decir . Entonces existen proyecciones que tienen las siguientes propiedades para todos los : [25]

En particular, hay una descomposición para la cual se cumple para todo .

Demostración. [25] Como todas son cerradas, las funciones características son continuas en . Ahora sea definida usando la funcional continua. Como las son disjuntas por pares, y se cumple y por lo tanto satisfacen las propiedades reclamadas, como se puede ver a partir de las propiedades de la ecuación funcional continua. Para el último enunciado, sea .

Notas

  1. ^ Dixmier 1977, pág. 3.
  2. ^ Dixmier 1977, págs. 12-13.
  3. ^ abc Kadison y Ringrose 1983, pág. 272.
  4. ^ desde Dixmier 1977, pág. 5,13.
  5. ^ desde Dixmier 1977, pág. 14.
  6. ^ Dixmier 1977, pág. 11.
  7. ^ abcd Dixmier 1977, pág. 13.
  8. ^ Reed y Simon 1980, págs. 222-223.
  9. ^ Dixmier 1977, págs. 5, 13.
  10. ^ Kaniuth 2009, pág. 147.
  11. ^ Blackadar 2006, pág. 62.
  12. ^ Deitmar y Echterhoff 2014, pág. 55.
  13. ^ ab Kadison y Ringrose 1983, pág. 275.
  14. ^ Kadison y Ringrose 1983, pág. 239.
  15. ^ ab Kadison y Ringrose 1983, pág. 271.
  16. ^ Kaballo 2014, pág. 332.
  17. ^ Schmüdgen 2012, pág. 93.
  18. ^ Reed y Simon 1980, pág. 222.
  19. ^ abc Kadison y Ringrose 1983, págs. 248-249.
  20. ^ Blackadar 2006, pág. 63.
  21. ^ Blackadar 2006, págs. 64-65.
  22. ^ ab Kadison y Ringrose 1983, pág. 246.
  23. ^ desde Dixmier 1977, pág. 15.
  24. ^ ab Kadison y Ringrose 1983, págs.
  25. ^Ab Kaballo 2014, pág. 375.

Referencias

Enlaces externos