Partes positivas y negativas.

Descomposición de funciones de valor real

Partes positivas y negativas de f ( x ) = x ² − 4

En matemáticas , la parte positiva de una función real o extendida de valor real se define mediante la fórmula

$${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\text{ if }}f(x)>0\\0&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$$

Intuitivamente, la gráfica de se obtiene tomando la gráfica de , cortando la parte debajo del eje x y dejando que tome el valor cero allí. ${\displaystyle f^{+}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{+}}$

De manera similar, la parte negativa de f se define como

$${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\text{ if }}f(x)<0\\0&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}}$$

Tenga en cuenta que tanto f ⁺ como f ⁻ son funciones no negativas. Una peculiaridad de la terminología es que la "parte negativa" no es ni negativa ni una parte (como la parte imaginaria de un número complejo no es ni imaginaria ni una parte).

La función f se puede expresar en términos de f ⁺ y f ⁻ como

$${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$$

También tenga en cuenta que

$${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

Usando estas dos ecuaciones se pueden expresar las partes positiva y negativa como

$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&={\frac {|f|+f}{2}}\\f^{-}&={\frac {|f|-f}{2}}.\end{aligned}}}$$

Otra representación, usando el corchete de Iverson es

$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}&=[f>0]f\\f^{-}&=-[f<0]f.\end{aligned}}}$$

Se pueden definir la parte positiva y negativa de cualquier función con valores en un grupo ordenado linealmente .

La función de rampa unitaria es la parte positiva de la función de identidad .

Propiedades de la teoría de la medida

Dado un espacio medible ( X , Σ) , una función f extendida de valor real es medible si y sólo si sus partes positiva y negativa lo son. Por lo tanto, si dicha función f es medible, también lo es su valor absoluto | f | , siendo la suma de dos funciones medibles. Sin embargo, lo contrario no necesariamente se cumple: por ejemplo, tomar f como

$${\displaystyle f=1_{V}-{\frac {1}{2}},}$$

Vconjunto de Vitalif

La parte positiva y la parte negativa de una función se utilizan para definir la integral de Lebesgue para una función de valor real. De manera análoga a esta descomposición de una función, se puede descomponer una medida con signo en partes positivas y negativas; consulte el teorema de descomposición de Hahn .

Ver también

• Rectificador (redes neuronales)
• Funciones pares e impares
• Partes reales e imaginarias.

Referencias

• Jones, Frank (2001). Integración de Lebesgue en el espacio euclidiano (Rev. ed.). Sudbury, MA: Jones y Bartlett. ISBN 0-7637-1708-8.
• Cazador, John K; Nachtergaele, Bruno (2001). Análisis aplicado . Singapur; River Edge, Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
• Rana, Inder K (2002). Una introducción a la medida y la integración (2ª ed.). Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-2974-2.

enlaces externos

• Parte positiva en MathWorld