Clasificación de mapas completamente positivos.
En matemáticas , el teorema de Choi sobre mapas completamente positivos es un resultado que clasifica mapas completamente positivos entre álgebras C* de dimensión finita (matriz) . Una generalización algebraica de dimensión infinita del teorema de Choi se conoce como teorema " Radón-Nikodym " de Belavkin para aplicaciones completamente positivas.
Declaración
El teorema de Choi. Sea un mapa lineal. Son equivalentes los siguientes:
- (i) Φ es n -positivo (es decir, es positivo siempre que sea positivo).
- (ii) La matriz con entradas de operadores
- es positivo, donde está la matriz con 1 en la entrada ij -ésima y 0 en el resto. (La matriz C Φ a veces se denomina matriz Choi de Φ ).
- (iii) Φ es completamente positivo.
Prueba
(i) implica (ii)
Observamos que si
entonces E = E * y E 2 = nE , entonces E = n −1 EE * que es positivo. Por lo tanto C Φ =( I n ⊗ Φ)( E ) es positivo por la n -positividad de Φ.
(iii) implica (i)
Esto es trivial.
(ii) implica (iii)
Esto implica principalmente buscar diferentes formas de ver C nm × nm :
Sea la descomposición del vector propio de C Φ
donde los vectores se encuentran en C nm . Por suposición, cada valor propio no es negativo, por lo que podemos absorber los valores propios en los vectores propios y redefinirlos de modo que
El espacio vectorial C nm puede verse como la suma directa compatible con la identificación anterior
y la base estándar de C n .
Si P k ∈ C m × nm es una proyección sobre la k -ésima copia de C m , entonces P k * ∈ C nm × m es la inclusión de C m como el k -ésimo sumando de la suma directa y
Ahora bien, si los operadores V i ∈ C m × n se definen en el k -ésimo vector de base estándar e k de C n por
entonces
Extendiendo por linealidad nos da
para cualquier A ∈ C n × n . Cualquier aplicación de esta forma es manifiestamente completamente positiva: la aplicación es completamente positiva y la suma (entre ) de operadores completamente positivos es nuevamente completamente positiva. Por lo tanto , el resultado deseado es completamente positivo.
Lo anterior es esencialmente la prueba original de Choi. También se conocen pruebas alternativas.
Consecuencias
Operadores Kraus
En el contexto de la teoría de la información cuántica , los operadores { V i } se denominan operadores Kraus (en honor a Karl Kraus ) de Φ. Observe que, dado un Φ completamente positivo, sus operadores Kraus no tienen por qué ser únicos. Por ejemplo, cualquier factorización de "raíz cuadrada" de la matriz de Choi C Φ = B ∗ B da un conjunto de operadores de Kraus.
Dejar
donde b i * son los vectores fila de B , entonces
Los operadores de Kraus correspondientes se pueden obtener exactamente con el mismo argumento de la prueba.
Cuando los operadores de Kraus se obtienen a partir de la descomposición de vectores propios de la matriz de Choi, debido a que los vectores propios forman un conjunto ortogonal, los operadores de Kraus correspondientes también son ortogonales en el producto interno de Hilbert-Schmidt . Esto no es cierto en general para los operadores de Kraus obtenidos a partir de factorizaciones de raíz cuadrada. (Las matrices semidefinidas positivas generalmente no tienen factorizaciones únicas de raíz cuadrada).
Si dos conjuntos de operadores de Kraus { A i } 1 nm y { B i } 1 nm representan el mismo mapa Φ completamente positivo, entonces existe una matriz de operadores unitarios
Esto puede verse como un caso especial del resultado que relaciona dos representaciones mínimas de Stinespring .
Alternativamente, existe una matriz escalar de isometría { u ij } ij ∈ C nm × nm tal que
Esto se desprende del hecho de que para dos matrices cuadradas M y N , MM* = NN* si y sólo si M = NU para alguna U unitaria .
Mapas completamente copositivos
Del teorema de Choi se deduce inmediatamente que Φ es completamente copositivo si y sólo si es de la forma
Mapas que conservan el Hermitian
La técnica de Choi se puede utilizar para obtener un resultado similar para una clase más general de mapas. Se dice que Φ preserva hermitiano si A es hermitiano implica que Φ ( A ) también es hermitiano. Se puede demostrar que Φ conserva el estilo hermitiano si y sólo si tiene la forma
donde λ i son números reales, los valores propios de C Φ , y cada V i corresponde a un vector propio de C Φ . A diferencia del caso completamente positivo, C Φ puede no ser positivo. Dado que las matrices hermitianas no admiten factorizaciones de la forma B*B en general, la representación de Kraus ya no es posible para un Φ dado.
Ver también
Referencias
- MARYLAND. Choi, Mapas lineales completamente positivos sobre matrices complejas , Álgebra lineal y sus aplicaciones, 10, 285–290 (1975).
- VP Belavkin, P. Staszewski, Teorema de radón-Nikodym para mapas completamente positivos, Informes sobre física matemática, v.24, n.º 1, 49–55 (1986).
- J. de Pillis, Transformaciones lineales que preservan los operadores hermitianos y semidefinidos positivos , Pacific Journal of Mathematics, 23, 129-137 (1967).