Teorema de dilatación de Stinespring

En matemáticas , el teorema de dilatación de Stinespring , también llamado teorema de factorización de Stinespring , llamado así por W. Forrest Stinespring , es el resultado de la teoría del operador que representa cualquier aplicación completamente positiva en un álgebra C* A como una composición de dos aplicaciones completamente positivas, cada una de las cuales tiene una forma especial:

1. Una representación * de A en algún espacio auxiliar de Hilbert K seguida de
2. Un mapa de operadores de la forma T ↦ V*TV .

Además, el teorema de Stinespring es un teorema de estructura de un álgebra C* al álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert. Se muestra que los mapas completamente positivos son modificaciones simples de *-representaciones, o a veces llamados *-homomorfismos .

Formulación

En el caso de un álgebra C* unital , el resultado es el siguiente:

Teorema . Sea A un álgebra C* unital, H un espacio de Hilbert y B ( H ) los operadores acotados en H. Por cada completamente positivo

${\displaystyle \Phi :A\to B(H),}$

existe un espacio de Hilbert K y un homomorfismo * unital

${\displaystyle \pi :A\to B(K)}$

tal que

${\displaystyle \Phi (a)=V^{\ast }\pi (a)V,}$

donde es un operador acotado. Además, tenemos ${\displaystyle V:H\to K}$

${\displaystyle \|\Phi (1)\|=\|V\|^{2}.}$

Informalmente, se puede decir que cada mapa completamente positivo se puede " elevar " hasta un mapa de la forma . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle V^{*}(\cdot )V}$

Lo contrario del teorema es trivialmente cierto. Entonces el resultado de Stinespring clasifica mapas completamente positivos.

Bosquejo de prueba

Ahora esbocemos brevemente la prueba. Dejar . Para , define ${\displaystyle K=A\otimes H}$ ${\displaystyle a\otimes h,\ b\otimes g\in K}$

${\displaystyle \langle a\otimes h,b\otimes g\rangle _{K}:=\langle \Phi (b^{*}a)h,g\rangle _{H}=\langle h,\Phi (a^{*}b)g\rangle _{H}}$

y extender por semilinealidad a todo K . Esta es una forma sesquilineal hermitiana porque es compatible con la operación *. Luego se utiliza la positividad completa de para mostrar que esta forma sesquilineal es, de hecho, semidefinida positiva. Dado que las formas sesquilineales hermitianas semidefinidas positivas satisfacen la desigualdad de Cauchy-Schwarz, el subconjunto ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle K'=\{x\in K\mid \langle x,x\rangle _{K}=0\}\subset K}$

es un subespacio. Podemos eliminar la degeneración considerando el espacio del cociente . La finalización de este espacio cociente es entonces un espacio de Hilbert, también denotado por . A continuación defina y . Se puede comprobar eso y tener las propiedades deseadas. ${\displaystyle K/K'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$ ${\displaystyle Vh=1_{A}\otimes h}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle V}$

Observe que es solo la incrustación algebraica natural de H en K. Se puede comprobar que eso se cumple. En particular, se cumple que es una isometría si y sólo si . En este caso, H puede incrustarse, en el sentido del espacio de Hilbert, en K y , actuando sobre K , se convierte en la proyección sobre H. Simbólicamente podemos escribir ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\ast }(a\otimes h)=\Phi (a)h}$ ${\displaystyle V^{\ast }V=\Phi (1)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Phi (1)=1}$ ${\displaystyle V^{\ast }}$

${\displaystyle \Phi (a)=P_{H}\;\pi (a){\Big |}_{H}.}$

En el lenguaje de la teoría de la dilatación , esto quiere decir que es una compresión de . Por lo tanto, es un corolario del teorema de Stinespring que cada aplicación unital completamente positiva es la compresión de algún *-homomorfismo . ${\displaystyle \Phi (a)}$ ${\displaystyle \pi (a)}$

Minimalidad

El triple ( π , V , K ) se llama representación de Stinespring de Φ. Una pregunta natural ahora es si se puede reducir en algún sentido una representación dada de Stinespring.

Sea K ₁ el tramo lineal cerrado de π ( A ) VH . Por propiedad de las representaciones * en general, K ₁ es un subespacio invariante de π ( a ) para todo a . Además, K ₁ contiene VH . Definir

${\displaystyle \pi _{1}(a)=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}.}$

Podemos calcular directamente

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}(a)\pi _{1}(b)&=\pi (a){\Big |}_{K_{1}}\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (a)\pi (b){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi (ab){\Big |}_{K_{1}}\\&=\pi _{1}(ab)\end{aligned}}}$$

y si k y ℓ se encuentran en K ₁

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \pi _{1}(a^{*})k,\ell \rangle &=\langle \pi (a^{*})k,\ell \rangle \\&=\langle \pi (a)^{*}k,\ell \rangle \\&=\langle k,\pi (a)\ell \rangle \\&=\langle k,\pi _{1}(a)\ell \rangle \\&=\langle \pi _{1}(a)^{*}k,\ell \rangle .\end{aligned}}}$$

Entonces ( π ₁ , V , K ₁ ) también es una representación de Stinespring de Φ y tiene la propiedad adicional de que K ₁ es el tramo lineal cerrado de π ( A ) VH . Esta representación se denomina representación mínima de Stinespring .

Unicidad

Sean ( π ₁ , V ₁ , K ₁ ) y ( π ₂ , V ₂ , K ₂ ) dos representaciones de Stinespring de un Φ dado. Defina una isometría parcial W  : K ₁ → K ₂ por

${\displaystyle \;W\pi _{1}(a)V_{1}h=\pi _{2}(a)V_{2}h.}$

En V ₁ H ⊂ K ₁ , esto da la relación de entrelazamiento

${\displaystyle \;W\pi _{1}=\pi _{2}W.}$

En particular, si ambas representaciones de Stinespring son mínimas, W es unitario . Por tanto, las representaciones mínimas de Stinespring son únicas hasta una transformación unitaria.

Algunas consecuencias

Mencionamos algunos de los resultados que pueden verse como consecuencias del teorema de Stinespring. Históricamente, algunos de los resultados siguientes precedieron al teorema de Stinespring.

Construcción GNS

La construcción Gelfand – Naimark – Segal (GNS) es la siguiente. Sea H en el teorema de Stinespring unidimensional, es decir, los números complejos . Entonces Φ ahora es un funcional lineal positivo en A. Si suponemos que Φ es un estado , es decir, Φ tiene norma 1, entonces la isometría está determinada por ${\displaystyle V:H\to K}$

${\displaystyle V1=\xi }$

para algunos de la norma unitaria . Entonces ${\displaystyle \xi \in K}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (a)=V^{*}\pi (a)V&=\langle V^{*}\pi (a)V1,1\rangle _{H}\\&=\langle \pi (a)V1,V1\rangle _{K}\\&=\langle \pi (a)\xi ,\xi \rangle _{K}\end{aligned}}}$$

y hemos recuperado la representación GNS de los estados. Esta es una forma de ver que las aplicaciones completamente positivas, en lugar de las meramente positivas, son las verdaderas generalizaciones de los funcionales positivos .

Un funcional positivo lineal en un álgebra C* es absolutamente continuo con respecto a otro funcional similar (llamado funcional de referencia) si es cero en cualquier elemento positivo en el que el funcional positivo de referencia sea cero. Esto conduce a una generalización no conmutativa del teorema de Radon-Nikodym . El operador de densidad habitual de estados en las álgebras matriciales con respecto a la traza estándar no es más que la derivada de Radón-Nikodym cuando se elige que la función de referencia sea traza. Belavkin introdujo la noción de continuidad absoluta completa de un mapa completamente positivo con respecto a otro mapa (de referencia) y demostró una variante del operador del teorema no conmutativo de Radon-Nikodym para mapas completamente positivos. Un caso particular de este teorema correspondiente a un mapa de referencia traza completamente positivo en las álgebras matriciales conduce al operador Choi como una derivada de Radón-Nikodym de un mapa CP con respecto a la traza estándar (ver Teorema de Choi).

teorema de choi

Choi demostró que si es completamente positivo, donde G y H son espacios de Hilbert de dimensión finita de dimensiones n y m respectivamente, entonces Φ toma la forma: ${\displaystyle \Phi :B(G)\to B(H)}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

Esto se llama teorema de Choi en aplicaciones completamente positivas . Choi demostró esto usando técnicas de álgebra lineal, pero su resultado también puede verse como un caso especial del teorema de Stinespring: Sea ( π , V , K ) una representación mínima de Stinespring de Φ. Por minimalidad, K tiene una dimensión menor que la de . Entonces, sin pérdida de generalidad, K puede identificarse con ${\displaystyle C^{n\times n}\otimes C^{m}}$

${\displaystyle K=\bigoplus _{i=1}^{nm}C_{i}^{n}.}$

Cada uno es una copia del espacio de Hilbert de n dimensiones. A partir de , vemos que la identificación anterior de K se puede organizar de manera que P _i sea la proyección de K a . Dejar . Tenemos ${\displaystyle C_{i}^{n}}$ ${\displaystyle \pi (a)(b\otimes g)=ab\otimes g}$ ${\displaystyle \;P_{i}\pi (a)P_{i}=a}$ ${\displaystyle C_{i}^{n}}$ ${\displaystyle V_{i}=P_{i}V}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{i})(P_{i}\pi (a)P_{i})(P_{i}V)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}}$

y se prueba el resultado de Choi.

El resultado de Choi es un caso particular del teorema de radón-Nikodym no conmutativo para mapas completamente positivos (CP) correspondientes a un mapa de referencia trazal completamente positivo en las álgebras matriciales. En forma de operador fuerte, Belavkin demostró este teorema general en 1985, quien demostró la existencia del operador de densidad positiva que representa un mapa CP que es absolutamente continuo con respecto a un mapa CP de referencia. La unicidad de este operador de densidad en la representación de referencia de Steinspring simplemente se deriva de la minimalidad de esta representación. Por tanto, el operador de Choi es la derivada Radon-Nikodym de un mapa CP de dimensión finita con respecto a la traza estándar.

Obsérvese que, al demostrar el teorema de Choi, así como el teorema de Belavkin a partir de la formulación de Stinespring, el argumento no proporciona explícitamente los operadores de Kraus V _i , a menos que se haga explícita la identificación de espacios. Por otra parte, la prueba original de Choi implica el cálculo directo de esos operadores.

Teorema de dilatación de Naimark

El teorema de Naimark dice que cada medida aditiva débilmente contable y con valor B ( H ) en algún espacio compacto de Hausdorff X puede "levantarse" de modo que la medida se convierta en una medida espectral . Se puede demostrar combinando el hecho de que C ( X ) es un álgebra C* conmutativa y el teorema de Stinespring.

Teorema de dilatación de Sz.-Nagy

Este resultado establece que toda contracción en un espacio de Hilbert tiene una dilatación unitaria con la propiedad de minimalidad.

Solicitud

En la teoría de la información cuántica , los canales cuánticos u operaciones cuánticas se definen como mapas completamente positivos entre álgebras C*. Al ser una clasificación para todos estos mapas, el teorema de Stinespring es importante en ese contexto. Por ejemplo, la parte de unicidad del teorema se ha utilizado para clasificar ciertas clases de canales cuánticos.

Para comparar diferentes canales y calcular sus fidelidades e información mutuas, resulta útil otra representación de los canales mediante sus derivados "Radon-Nikodym" introducidos por Belavkin. En el caso de dimensión finita, el teorema de Choi como variante trazal del teorema de radón-Nikodym de Belavkin para aplicaciones completamente positivas también es relevante. Los operadores de la expresión. ${\displaystyle \{V_{i}\}}$

${\displaystyle \Phi (a)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}aV_{i}.}$

se denominan operadores de Kraus de Φ. La expresion

${\displaystyle \sum _{i=1}^{nm}V_{i}^{*}(\cdot )V_{i}}$

a veces se le llama representación de suma de operadores de Φ.

Referencias

• MARYLAND. Choi, Mapas lineales completamente positivos sobre matrices complejas , Álgebra lineal y sus aplicaciones, 10, 285–290 (1975).
• VP Belavkin, P. Staszewski, Teorema de radón-Nikodym para mapas completamente positivos , Informes sobre física matemática, v. 24, n.º 1, 49–55 (1986).
• V. Paulsen, Mapas completamente delimitados y álgebras de operadores , Cambridge University Press, 2003.
• WF Stinespring, Funciones positivas en álgebras C* , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense, 6, 211–216 (1955).