Mecánica clásica de Koopman-von Neumann

Formulación de la mecánica clásica en términos de espacios de Hilbert

La teoría de Koopman-von Neumann (KvN) es una descripción de la mecánica clásica como una teoría operacional similar a la mecánica cuántica , basada en un espacio de Hilbert de funciones de onda complejas e integrables al cuadrado . Como sugiere su nombre, la teoría KvN está vagamente relacionada con el trabajo de Bernard Koopman y John von Neumann en 1931 y 1932, respectivamente. ^{[1] [2] [3]} Sin embargo, como se explica en esta entrada, los orígenes históricos de la teoría y su nombre son complicados.

Historia

La mecánica estadística describe los sistemas macroscópicos en términos de conjuntos estadísticos , como las propiedades macroscópicas de un gas ideal . La teoría ergódica es una rama de las matemáticas que surge del estudio de la mecánica estadística.

Teoría ergódica

Los orígenes de la teoría de Koopman-von Neumann están estrechamente relacionados con el surgimiento ^{[ ¿cuándo? ]} de la teoría ergódica como rama independiente de las matemáticas, en particular con la hipótesis ergódica de Boltzmann .

En 1931, Koopman y André Weil ^{[ cita requerida ]} observaron de forma independiente que el espacio de fases del sistema clásico se puede convertir en un espacio de Hilbert. Según esta formulación, las funciones que representan observables físicos se convierten en vectores, con un producto interno definido en términos de una regla de integración natural sobre la densidad de probabilidad del sistema en el espacio de fases. Esta reformulación permite extraer conclusiones interesantes sobre la evolución de los observables físicos a partir del teorema de Stone , que se había demostrado poco antes. Este hallazgo inspiró a von Neumann a aplicar el nuevo formalismo al problema ergódico. Posteriormente, publicó varios resultados seminales en la teoría ergódica moderna, incluida la prueba de su teorema ergódico medio .

Atribución histórica errónea

La teoría de Koopman-von Neumann se utiliza a menudo hoy en día para referirse a una reformulación de la mecánica clásica en la que la densidad de probabilidad de un sistema clásico en el espacio de fases se expresa en términos de una función de onda subyacente, lo que significa que los vectores del espacio de Hilbert clásico son funciones de onda, en lugar de observables físicos.

Este enfoque no se originó con Koopman o von Neumann, para quienes el espacio de Hilbert clásico consistía en observables físicos, en lugar de funciones de onda. De hecho, como señalaron en 1961 Thomas F. Jordan y EC George Sudarshan :

Koopman demostró cómo las transformaciones dinámicas de la mecánica clásica, consideradas como transformaciones que preservan la medida del espacio de fases, inducen transformaciones unitarias en el espacio de Hilbert de funciones que son integrables al cuadrado con respecto a una función de densidad en el espacio de fases. Esta formulación del espacio de Hilbert de la mecánica clásica fue desarrollada posteriormente por von Neumann. Cabe señalar que este espacio de Hilbert no corresponde al espacio de vectores de estado de la mecánica cuántica, sino al espacio de Hilbert de operadores en los vectores de estado (eligiendo como producto escalar la traza del producto de dos operadores). ^[4]

La práctica de expresar distribuciones de probabilidad clásicas en el espacio de fases en términos de funciones de onda subyacentes se remonta al menos al trabajo de 1952-1953 de Mário Schenberg sobre mecánica estadística. ^{[5] [6]} Este método fue desarrollado independientemente varias veces más, por Angelo Loinger en 1962, ^[7] por Giacomo Della Riccia y Norbert Wiener en 1966, ^[8] y por el propio EC George Sudarshan en 1976. ^[9]

El nombre "teoría de Koopman-von Neumann" para representar sistemas clásicos basados ​​en espacios de Hilbert compuestos por funciones de onda clásicas es, por tanto, un ejemplo de la ley de epónimo de Stigler . Esta atribución errónea parece haber aparecido por primera vez en un artículo de Danilo Mauro en 2002. ^[10]

Definición y dinámica

Derivación a partir de la ecuación de Liouville

En el enfoque de Koopman y von Neumann (KvN), la dinámica en el espacio de fases se describe mediante una densidad de probabilidad (clásica), recuperada de una función de onda subyacente –la función de onda de Koopman–von Neumann– como el cuadrado de su valor absoluto (más precisamente, como la amplitud multiplicada por su propio conjugado complejo ). Esto es análogo a la regla de Born en mecánica cuántica. En el marco KvN, los observables se representan mediante operadores autoadjuntos conmutativos que actúan sobre el espacio de Hilbert de las funciones de onda KvN. La conmutatividad implica físicamente que todos los observables son medibles simultáneamente. Contraste esto con la mecánica cuántica, donde los observables no necesitan conmutar, lo que subraya el principio de incertidumbre , el teorema de Kochen–Specker y las desigualdades de Bell . ^[11]

Se postula que la función de onda KvN evoluciona exactamente según la misma ecuación de Liouville que la densidad de probabilidad clásica. A partir de este postulado se puede demostrar que, efectivamente, se recupera la dinámica de la densidad de probabilidad.

Dinámica de la densidad de probabilidad (prueba)

En la mecánica estadística clásica, la densidad de probabilidad (con respecto a la medida de Liouville ) obedece a la ecuación de Liouville ^{[12] [13]} con el liouvilliano autoadjunto donde denota el hamiltoniano clásico (es decir, el liouvilliano es veces el campo vectorial hamiltoniano considerado como un operador diferencial de primer orden). La misma ecuación dinámica se postula para la función de onda KvN, por lo tanto , y para su conjugado complejo. De ello se sigue usando la regla del producto que lo que demuestra que la dinámica de la densidad de probabilidad se puede recuperar a partir de la función de onda KvN. $${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p,t)={\hat {L}}\rho (x,p,t)}$$ $${\displaystyle {\hat {L}}=-i{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}},}$$ ${\displaystyle H(x,p)}$ ${\displaystyle i}$ $${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,p,t)={\hat {L}}\psi (x,p,t),}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\psi (x,p,t),}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ^{*}(x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\psi ^{*}(x,p,t).}$$ $${\displaystyle \rho (x,p,t)=\psi ^{*}(x,p,t)\psi (x,p,t)}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p,t)=\left[-{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial p}}\right]\rho (x,p,t)}$$

Observación

El último paso de esta derivación se basa en el operador de Liouville clásico que contiene solo derivadas de primer orden en la coordenada y el momento; este no es el caso de la mecánica cuántica, donde la ecuación de Schrödinger contiene derivadas de segundo orden.

^{[12] [13]}

Derivación a partir de axiomas de operadores

Por el contrario, es posible partir de postulados de operadores, similares a los axiomas del espacio de Hilbert de la mecánica cuántica , y derivar la ecuación de movimiento especificando cómo evolucionan los valores esperados. ^[14]

Los axiomas relevantes son que, como en la mecánica cuántica (i) los estados de un sistema están representados por vectores normalizados de un espacio de Hilbert complejo, y los observables están dados por operadores autoadjuntos que actúan en ese espacio, (ii) el valor esperado de un observable se obtiene de la misma manera que el valor esperado en la mecánica cuántica , (iii) las probabilidades de medir ciertos valores de algunos observables se calculan mediante la regla de Born , y (iv) el espacio de estados de un sistema compuesto es el producto tensorial de los espacios del subsistema.

Forma matemática de los axiomas del operador

Los axiomas anteriores (i) a (iv), con el producto interno escrito en notación entre corchetes , son

1. ${\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =1}$,
2. El valor esperado de un observable en el tiempo es ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \langle A(t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {A}}|\Psi (t)\rangle .}$
3. La probabilidad de que una medición de un observable en el tiempo dé como resultado es , donde . (Este axioma es un análogo de la regla de Born en mecánica cuántica. ^[15] ) ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left|\langle A|\Psi (t)\rangle \right|^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}|A\rangle =A|A\rangle }$
4. (ver Producto tensorial de los espacios de Hilbert ).

Estos axiomas nos permiten recuperar el formalismo tanto de la mecánica clásica como de la cuántica. ^[14] En concreto, bajo el supuesto de que los operadores clásicos de posición y momento conmutan , la ecuación de Liouville para la función de onda KvN se recupera a partir de las leyes de movimiento de Newton promediadas . Sin embargo, si la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica , se obtiene la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica.

Derivación de la mecánica clásica a partir de los axiomas del operador

Partimos de las siguientes ecuaciones para los valores esperados de la coordenada x y el momento p

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\qquad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\langle -U'(x)\rangle ,}$

También conocidas como leyes de Newton del movimiento promediadas sobre el conjunto. Con la ayuda de los axiomas del operador, se pueden reescribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {x}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|-U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}}$

Observe una estrecha similitud con los teoremas de Ehrenfest en mecánica cuántica. Las aplicaciones de la regla del producto conducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle d\Psi /dt|{\hat {x}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {x}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |{\hat {p}}/m|\Psi \rangle ,\\\langle d\Psi /dt|{\hat {p}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {p}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |-U'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$

en el que sustituimos una consecuencia del teorema de Stone y obtenemos ${\displaystyle i|d\Psi (t)/dt\rangle ={\hat {L}}|\Psi (t)\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}im\langle \Psi (t)|[{\hat {L}},{\hat {x}}]|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\i\langle \Psi (t)|[{\hat {L}},{\hat {p}}]|\Psi (t)\rangle &=-\langle \Psi (t)|U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}}$

Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, se puede descartar el promedio y se deriva el sistema de ecuaciones del conmutador para la incógnita. ${\displaystyle {\hat {L}}}$

Supongamos que la coordenada y el momento conmutan . ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=0}$ Esta suposición significa físicamente que la coordenada y el momento de la partícula clásica se pueden medir simultáneamente, lo que implica la ausencia del principio de incertidumbre .

La solución no puede ser simplemente de la forma porque implicaría las contracciones y . Por lo tanto, debemos utilizar operadores adicionales y obedecer ${\displaystyle {\hat {L}}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}=L({\hat {x}},{\hat {p}})}$ ${\displaystyle im[L({\hat {x}},{\hat {p}}),{\hat {x}}]=0={\hat {p}}}$ ${\displaystyle i[L({\hat {x}},{\hat {p}}),{\hat {p}}]=0=-U'({\hat {x}})}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{p}}$

La necesidad de emplear estos operadores auxiliares surge porque todos los observables clásicos conmutan. Ahora buscamos en la forma . Utilizando el álgebra KvN , las ecuaciones del conmutador para L se pueden convertir en las siguientes ecuaciones diferenciales: ^{[14] [16]} ${\displaystyle {\hat {L}}}$ ${\displaystyle {\hat {L}}=L({\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x},{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p})}$

${\displaystyle mL'_{\lambda _{x}}(x,\lambda _{x},p,\lambda _{p})=p,\qquad L'_{\lambda _{p}}(x,\lambda _{x},p,\lambda _{p})=-U'(x).}$

De donde concluimos que la función de onda KvN clásica evoluciona de acuerdo con la ecuación de movimiento tipo Schrödinger. ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$

Demostremos explícitamente que la ecuación dinámica KvN es equivalente a la mecánica clásica de Liouville .

Dado que y conmutan, comparten los vectores propios comunes ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

con la resolución de la identidad Entonces, se obtiene de la ecuación ( álgebra KvN ) Proyectando la ecuación ( ecuación dinámica KvN ) sobre , obtenemos la ecuación de movimiento para la función de onda KvN en la representación xp ${\textstyle 1=\int dx\,dp\,|x,p\rangle \langle x,p|.}$ $${\displaystyle \langle x,p|{\hat {\lambda }}_{x}|\Psi \rangle =-i{\frac {\partial }{\partial x}}\langle x,p|\Psi \rangle ,\qquad \langle x,p|{\hat {\lambda }}_{p}|\Psi \rangle =-i{\frac {\partial }{\partial p}}\langle x,p|\Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle \langle x,p|}$

La cantidad es la amplitud de probabilidad de que una partícula clásica se encuentre en un punto con momento en el tiempo . Según los axiomas anteriores, la densidad de probabilidad está dada por . Utilizando la identidad así como ( ecuación dinámica KvN en xp ), recuperamos la ecuación clásica de Liouville ${\displaystyle \langle x,\,p|\Psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \rho (x,p;t)=\left|\langle x,p|\Psi (t)\rangle \right|^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (x,p;t)=\langle \Psi (t)|x,p\rangle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle x,p|\Psi (t)\rangle +\langle x,p|\Psi (t)\rangle \left({\frac {\partial }{\partial t}}\langle x,p|\Psi (t)\rangle \right)^{*}}$$

Además, de acuerdo con los axiomas del operador y ( xp eigenvec ), Por lo tanto, la regla para calcular promedios de observables en la mecánica estadística clásica se ha recuperado de los axiomas del operador con el supuesto adicional . Como resultado, la fase de una función de onda clásica no contribuye a los promedios observables. Al contrario de la mecánica cuántica, la fase de una función de onda KvN es físicamente irrelevante. Por lo tanto, la inexistencia del experimento de doble rendija ^{[13] [17] [18]} así como el efecto Aharonov-Bohm ^[19] se establece en la mecánica KvN. $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &=\langle \Psi (t)|A({\hat {x}},{\hat {p}})|\Psi (t)\rangle =\int dx\,dp\,\langle \Psi (t)|x,p\rangle A(x,p)\langle x,p|\Psi (t)\rangle \\&=\int dx\,dp\,A(x,p)\langle \Psi (t)|x,p\rangle \langle x,p|\Psi (t)\rangle =\int dx\,dp\,A(x,p)\rho (x,p;t).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A(x,p)}$ ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=0}$

Proyectando la ecuación dinámica KvN sobre el vector propio común de los operadores y (es decir, -representación), se obtiene la mecánica clásica en el espacio de configuración duplicada, ^[20] cuya generalización conduce ^{[20] [21] [22] [23] [24]} a la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica . ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{p}}$ ${\displaystyle x\lambda _{p}}$

Derivación de la mecánica cuántica a partir de los axiomas del operador

Al igual que en la derivación de la mecánica clásica, partimos de las siguientes ecuaciones para promedios de la coordenada x y el momento p

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\qquad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\langle -U'(x)\rangle .}$

Con la ayuda de los axiomas del operador, se pueden reescribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {x}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle ,\\{\frac {d}{dt}}\langle \Psi (t)|{\hat {p}}|\Psi (t)\rangle &=\langle \Psi (t)|-U'({\hat {x}})|\Psi (t)\rangle .\end{aligned}}}$

Estos son los teoremas de Ehrenfest en mecánica cuántica. Las aplicaciones de la regla del producto conducen a

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle d\Psi /dt|{\hat {x}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {x}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |{\hat {p}}/m|\Psi \rangle ,\\\langle d\Psi /dt|{\hat {p}}|\Psi \rangle +\langle \Psi |{\hat {p}}|d\Psi /dt\rangle &=\langle \Psi |-U'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$

en el que sustituimos una consecuencia del teorema de Stone

${\displaystyle i\hbar |d\Psi (t)/dt\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ,}$

donde se introdujo como una constante de normalización para equilibrar la dimensionalidad. Dado que estas identidades deben ser válidas para cualquier estado inicial, se puede descartar el promedio y se deriva el sistema de ecuaciones del conmutador para el generador cuántico de movimiento desconocido. ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

${\displaystyle im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar U'({\hat {x}}).}$

Al contrario de lo que ocurre en la mecánica clásica, suponemos que los observables de la coordenada y el momento obedecen a la relación de conmutación canónica . Si se establece , las ecuaciones del conmutador se pueden convertir en ecuaciones diferenciales ^{[14] [16]} ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})}$

${\displaystyle mH'_{p}(x,p)=p,\qquad H'_{x}(x,p)=U'(x),}$

cuya solución es el familiar hamiltoniano cuántico

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+U({\hat {x}}).}$

Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger se derivó de los teoremas de Ehrenfest al suponer la relación de conmutación canónica entre la coordenada y el momento. Esta derivación, así como la derivación de la mecánica clásica KvN, muestra que la diferencia entre la mecánica cuántica y la clásica se reduce esencialmente al valor del conmutador . ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]}$

Medidas

En la formulación del espacio de Hilbert y del operador de la mecánica clásica, la función de onda de Koopman von Neumann toma la forma de una superposición de estados propios, y la medición colapsa la función de onda KvN al estado propio que está asociado al resultado de la medición, en analogía con el colapso de la función de onda de la mecánica cuántica.

Sin embargo, se puede demostrar que para la mecánica clásica de Koopman-von Neumann las mediciones no selectivas dejan la función de onda KvN sin cambios. ^[12]

Mecánica de KvN vs Liouville

La ecuación dinámica KvN ( KvN dynamical eq in xp ) y la ecuación de Liouville ( Liouville eq ) son ecuaciones diferenciales parciales lineales de primer orden . Se recuperan las leyes de movimiento de Newton aplicando el método de características a cualquiera de estas ecuaciones. Por lo tanto, la diferencia clave entre la mecánica KvN y la de Liouville radica en la ponderación de las trayectorias individuales: en la mecánica KvN se pueden utilizar pesos arbitrarios, subyacentes a la función de onda clásica, mientras que en la mecánica de Liouville solo se permiten pesos positivos, que representan la densidad de probabilidad (véase este esquema).

La distinción esencial entre la mecánica KvN y la mecánica de Liouville radica en la ponderación (coloración) de las trayectorias individuales: en la mecánica KvN se pueden utilizar pesos de cualquier tipo, mientras que en la mecánica de Liouville solo se permiten pesos positivos. Las partículas se mueven a lo largo de trayectorias newtonianas en ambos casos. (Para un ejemplo dinámico, véase más abajo).

Analogía cuántica

Al estar explícitamente basada en el lenguaje del espacio de Hilbert, la mecánica clásica KvN adopta muchas técnicas de la mecánica cuántica, por ejemplo, técnicas de perturbación y diagrama ^[25] así como métodos integrales funcionales . ^{[26] [27] [28]} El enfoque KvN es muy general y se ha extendido a sistemas disipativos , ^[29] mecánica relativista , ^[30] y teorías de campos clásicas . ^{[14] [31] [32] [33]}

El enfoque KvN es fructífero en estudios sobre la correspondencia cuántico-clásica ^{[14] [15] [34] [35] [36]} ya que revela que la formulación del espacio de Hilbert no es exclusivamente mecano-cuántica. ^[37] Incluso los espinores de Dirac no son excepcionalmente cuánticos ya que se utilizan en la generalización relativista de la mecánica KvN. ^{[30] De manera similar a la} formulación del espacio de fases más conocida de la mecánica cuántica, el enfoque KvN puede entenderse como un intento de llevar la mecánica clásica y cuántica a un marco matemático común. De hecho, la evolución temporal de la función de Wigner se aproxima, en el límite clásico, a la evolución temporal de la función de onda KvN de una partícula clásica. ^{[30] [38]} Sin embargo, una semejanza matemática con la mecánica cuántica no implica la presencia de efectos cuánticos distintivos. En particular, la imposibilidad del experimento de doble rendija ^{[13] [17] [18]} y el efecto Aharonov–Bohm ^[19] se demuestran explícitamente en el marco KvN.

Propagación KvN vs propagación Wigner

• La evolución temporal de la función de onda clásica KvN para el potencial de Morse : . Los puntos negros son partículas clásicas que siguen la ley de movimiento de Newton . Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano . Este vídeo ilustra la diferencia fundamental entre la mecánica KvN y la de Liouville. ${\displaystyle U(x)=20(1-e^{-0.16x})^{2}}$ ${\displaystyle H(x,p)=p^{2}/2+U(x)}$
• Contraparte cuántica de la propagación clásica KvN a la izquierda: la evolución temporal de la función de Wigner del potencial de Morse en unidades atómicas (UA). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano subyacente . Nótese que se utiliza la misma condición inicial para esta propagación cuántica y para la propagación KvN a la izquierda.

Véase también

• Portal de física

• Mecánica clásica
• Mecánica estadística
• Teorema de Liouville
• Mecánica cuántica
• Formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica
• Distribución de cuasiprobabilidad de Wigner
• Sistemas dinámicos
• Teoría ergódica

Referencias

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Lectura adicional

• Mauro, D. (2002). "Temas de la teoría de Koopman-von Neumann". arXiv : quant-ph/0301172 .Tesis doctoral, Università degli Studi di Trieste.
• HR Jauslin, D. Sugny, Dinámica de sistemas mixtos clásicos-cuánticos, cuantificación geométrica y estados coherentes ^{[ vínculo muerto permanente ]} , Serie de notas de conferencias, IMS, NUS, Vol. de revisión, 13 de agosto de 2009
• El legado de John von Neumann (Actas de simposios sobre matemáticas puras, vol. 50), editado por James Glimm, John Impagliazzo e Isadore Singer . — Amata Graphics, 2006. — ISBN 0821842196 
• U. Klein, De la teoría de Koopman-von Neumann a la teoría cuántica, Quantum Stud.: Math. Found. (2018) 5:219–227.[1]