Formulación del espacio de fases

Formulación de la mecánica cuántica

La formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica coloca las variables de posición y momento en igualdad de condiciones en el espacio de fases . En contraste, la imagen de Schrödinger utiliza las representaciones de posición o momento (véase también espacio de posición y momento ). Las dos características clave de la formulación del espacio de fases son que el estado cuántico se describe mediante una distribución de cuasiprobabilidad (en lugar de una función de onda , un vector de estado o una matriz de densidad ) y la multiplicación de operadores se reemplaza por un producto estrella .

La teoría fue desarrollada completamente por Hilbrand Groenewold en 1946 en su tesis doctoral, ^[1] e independientemente por Joe Moyal , ^[2] cada uno basándose en ideas anteriores de Hermann Weyl ^[3] y Eugene Wigner . ^[4]

La principal ventaja de la formulación del espacio de fases es que hace que la mecánica cuántica parezca lo más similar posible a la mecánica hamiltoniana al evitar el formalismo del operador, "liberando" así la cuantización de la "carga" del espacio de Hilbert . ^[5] Esta formulación es de naturaleza estadística y ofrece conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica , lo que permite una comparación natural entre las dos (véase límite clásico ). La mecánica cuántica en el espacio de fases suele favorecerse en ciertas aplicaciones de óptica cuántica (véase espacio de fases óptico ), o en el estudio de la decoherencia y una variedad de problemas técnicos especializados, aunque por lo demás el formalismo se emplea con menos frecuencia en situaciones prácticas. ^[6]

Las ideas conceptuales que subyacen al desarrollo de la mecánica cuántica en el espacio de fases se han ramificado en derivaciones matemáticas como la deformación-cuantización de Kontsevich (véase la fórmula de cuantificación de Kontsevich ) y la geometría no conmutativa .

Distribución en el espacio de fases

La distribución del espacio de fases f ( x ,  p ) de un estado cuántico es una distribución de cuasiprobabilidad. En la formulación del espacio de fases, la distribución del espacio de fases puede considerarse como la descripción fundamental y primitiva del sistema cuántico, sin ninguna referencia a funciones de onda o matrices de densidad. ^[7]

Hay varias formas diferentes de representar la distribución, todas interrelacionadas. ^{[8] [9]} La más notable es la representación de Wigner , W ( x ,  p ) , descubierta primero. ^[4] Otras representaciones (en orden aproximadamente descendente de prevalencia en la literatura) incluyen las representaciones de Glauber–Sudarshan P , ^{[10] [11]} Husimi Q , ^[12] Kirkwood–Rihaczek, Mehta, Rivier y Born–Jordan. ^{[13] [14]} Estas alternativas son más útiles cuando el hamiltoniano toma una forma particular, como el orden normal para la representación P de Glauber–Sudarshan. Dado que la representación de Wigner es la más común, este artículo generalmente se ceñirá a ella, a menos que se especifique lo contrario.

La distribución del espacio de fases posee propiedades similares a la densidad de probabilidad en un espacio de fases de 2 n dimensiones. Por ejemplo, tiene valores reales , a diferencia de la función de onda, que generalmente tiene valores complejos. Podemos entender la probabilidad de estar dentro de un intervalo de posición, por ejemplo, integrando la función de Wigner sobre todos los momentos y sobre el intervalo de posición:

${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.}$

Si  ( x ,  p ) es un operador que representa un observable, puede mapearse al espacio de fases como A ( x , p ) a través de la transformada de Wigner . A la inversa, este operador puede recuperarse mediante la transformada de Weyl .

El valor esperado del observable con respecto a la distribución del espacio de fases es ^{[2] [15]}

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.}$

Sin embargo, una advertencia: a pesar de la similitud en apariencia, W ( x ,  p ) no es una distribución de probabilidad conjunta genuina , porque las regiones bajo ella no representan estados mutuamente excluyentes, como lo requiere el tercer axioma de la teoría de la probabilidad . Además, puede, en general, tomar valores negativos incluso para estados puros, con la única excepción de estados coherentes (opcionalmente comprimidos ) , en violación del primer axioma .

Se puede demostrar que las regiones de ese valor negativo son "pequeñas": no pueden extenderse a regiones compactas mayores que unos pocos ħ y, por lo tanto, desaparecen en el límite clásico . Están protegidas por el principio de incertidumbre , que no permite una localización precisa dentro de regiones del espacio de fases menores que ħ y, por lo tanto, hace que esas "probabilidades negativas" sean menos paradójicas. Si el lado izquierdo de la ecuación se debe interpretar como un valor esperado en el espacio de Hilbert con respecto a un operador, entonces, en el contexto de la óptica cuántica, esta ecuación se conoce como el teorema de equivalencia óptica . (Para obtener detalles sobre las propiedades y la interpretación de la función de Wigner, consulte su artículo principal ).

Un enfoque alternativo del espacio de fases para la mecánica cuántica busca definir una función de onda (no solo una densidad de cuasiprobabilidad) en el espacio de fases, típicamente por medio de la transformada de Segal-Bargmann . Para ser compatible con el principio de incertidumbre, la función de onda del espacio de fases no puede ser una función arbitraria, o bien podría estar localizada en una región arbitrariamente pequeña del espacio de fases. En cambio, la transformada de Segal-Bargmann es una función holomorfa de . Existe una densidad de cuasiprobabilidad asociada a la función de onda del espacio de fases; es la representación Q de Husimi de la función de onda de posición. ${\displaystyle x+ip}$

Producto estrella

El operador binario no conmutativo fundamental en la formulación del espacio de fases que reemplaza al operador estándar multiplicación es el producto estrella , representado por el símbolo ★ . ^[1] Cada representación de la distribución del espacio de fases tiene un producto estrella característico diferente . Para ser más concretos, restringimos esta discusión al producto estrella relevante para la representación de Wigner-Weyl.

Para facilitar la notación, introducimos el concepto de derivadas izquierda y derecha . Para un par de funciones f y g , las derivadas izquierda y derecha se definen como

${\displaystyle {\begin{aligned}f{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}g&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)g,\\f{\vec {\partial }}_{x}g&=f\left({\frac {\partial g}{\partial x}}\right).\end{aligned}}}$

La definición diferencial del producto estrella es

${\displaystyle f\star g=f\,\exp {\left({\frac {i\hbar }{2}}\left({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x}\right)\right)}g,}$

donde el argumento de la función exponencial puede interpretarse como una serie de potencias . Relaciones diferenciales adicionales permiten escribir esto en términos de un cambio en los argumentos de f y g :

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}}$

También es posible definir el ★ -producto en forma integral de convolución, ^[16] esencialmente a través de la transformada de Fourier :

${\displaystyle (f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''.}$

(Así, por ejemplo, ^[7] las gaussianas se componen hiperbólicamente :

${\displaystyle \exp {\big (}{-a}(x^{2}+p^{2}){\big )}\star \exp {\big (}{-b}(x^{2}+p^{2}){\big )}={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left(-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2}ab}}(x^{2}+p^{2})\right),}$

o

${\displaystyle \delta (x)\star \delta (p)={\frac {2}{h}}\exp \left(2i{\frac {xp}{\hbar }}\right),}$

etc.)

Las distribuciones de energía de estados propios se conocen como stargenstates , ★ -genstates , stargenfunctions o ★ -genfunctions , y las energías asociadas se conocen como stargenvalues ​​o ★-genvalues . Estas se resuelven , de forma análoga a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo , mediante la ecuación ★ -genvalue, ^{[17] [18]}

${\displaystyle H\star W=E\cdot W,}$

donde H es el hamiltoniano, una función de espacio de fases simple, a menudo idéntica al hamiltoniano clásico.

Evolución del tiempo

La evolución temporal de la distribución del espacio de fases se da mediante una modificación cuántica del flujo de Liouville . ^{[2] [9] [19]} Esta fórmula resulta de aplicar la transformación de Wigner a la versión de matriz de densidad de la ecuación cuántica de Liouville , la ecuación de von Neumann .

En cualquier representación de la distribución del espacio de fases con su producto estrella asociado, esto es

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),}$

o, para la función de Wigner en particular,

${\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({\frac {\hbar }{2}}({\overset {_{\gets }}{\partial }}_{x}{\vec {\partial }}_{p}-{\overset {_{\gets }}{\partial }}_{p}{\vec {\partial }}_{x})\right)H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),}$

donde {{ , }} es el corchete de Moyal , la transformada de Wigner del conmutador cuántico, mientras que { , } es el corchete de Poisson clásico . ^[2]

Esto proporciona una ilustración concisa del principio de correspondencia : esta ecuación se reduce manifiestamente a la ecuación clásica de Liouville en el límite ħ  → 0. Sin embargo, en la extensión cuántica del flujo, la densidad de puntos en el espacio de fases no se conserva ; el fluido de probabilidad parece "difusivo" y compresible. ^[2] Por lo tanto, el concepto de trayectoria cuántica es aquí un tema delicado. ^[20] Vea la película sobre el potencial de Morse, a continuación, para apreciar la no localidad del flujo de fase cuántico.

NB Dadas las restricciones impuestas por el principio de incertidumbre a la localización, Niels Bohr negó enérgicamente la existencia física de tales trayectorias a escala microscópica. Mediante trayectorias formales en el espacio de fases, el problema de evolución temporal de la función de Wigner se puede resolver rigurosamente utilizando el método de la integral de trayectorias ^[21] y el método de las características cuánticas ^[22] , aunque existen graves obstáculos prácticos en ambos casos.

Ejemplos

Oscilador armónico simple

La función de Wigner para los estados numéricos a) n  = 0, b) n  = 1 y c) n  = 19. Las distribuciones marginales para x y p se recuperan integrando sobre p y x respectivamente.

El hamiltoniano para el oscilador armónico simple en una dimensión espacial en la representación de Wigner-Weyl es

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.}$

La ecuación ★ -genvalue para la función estática de Wigner se lee entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\vec {\partial }}_{x}\right)^{2}\right)W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\vec {\partial }}_{x}^{2}\right)\right)W\\&\quad {}+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}}$

Consideremos, primero, la parte imaginaria de la ecuación ★ -genvalue,

${\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\vec {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\vec {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0}$

Esto implica que uno puede escribir los ★ -genstates como funciones de un solo argumento:

${\displaystyle W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).}$

Con este cambio de variables, es posible escribir la parte real de la ecuación ★ -genvalue en forma de una ecuación de Laguerre modificada (¡no la ecuación de Hermite !), cuya solución involucra los polinomios de Laguerre como ^[18]

${\displaystyle F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega },}$

Introducido por Groenewold, ^{[1] con} ★ -genvalues ​​asociados

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right).}$

Para el oscilador armónico, la evolución temporal de una distribución de Wigner arbitraria es sencilla. Una W ( x ,  p ;  t = 0) = F ( u ) inicial evoluciona mediante la ecuación de evolución anterior impulsada por el hamiltoniano del oscilador dado, simplemente rotando rígidamente en el espacio de fases , ^[1]

${\displaystyle W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0).}$

Función de Wigner de un oscilador armónico simple en diferentes niveles de excitación. Se reescalan para mostrar que la función de Wigner oscila dentro de ese radio y decae rápidamente fuera de él. ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}}$

Por lo general, un "bulto" (o estado coherente) de energía E ≫ ħω puede representar una cantidad macroscópica y aparecer como un objeto clásico que rota uniformemente en el espacio de fases, un oscilador mecánico simple (ver las figuras animadas). La integración sobre todas las fases (posiciones iniciales en t = 0) de tales objetos, una "empalizada" continua, produce una configuración independiente del tiempo similar a los ★ -genstates  estáticos anteriores F ( u ) , una visualización intuitiva del límite clásico para sistemas de gran acción. ^[6]

Las funciones propias también pueden caracterizarse por ser estados puros rotacionalmente simétricos (y por tanto invariantes en el tiempo). Es decir, son funciones de la forma que satisfacen . ${\displaystyle W(x,p)=f({\sqrt {x^{2}+p^{2}}})}$ ${\displaystyle W\star W=(2\pi \hbar )^{-1}W}$

Momento angular de la partícula libre

Supongamos que una partícula se encuentra inicialmente en un estado gaussiano mínimamente incierto , con los valores esperados de posición y momento centrados en el origen en el espacio de fases. La función de Wigner para un estado de este tipo que se propaga libremente es

${\displaystyle W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,}$

donde α es un parámetro que describe el ancho inicial de la gaussiana y τ = m / α ² ħ .

Inicialmente, la posición y los momentos no están correlacionados. Por lo tanto, en tres dimensiones, esperamos que los vectores de posición y momento tengan el doble de probabilidades de ser perpendiculares entre sí que paralelos.

Sin embargo, la posición y el momento se correlacionan cada vez más a medida que evoluciona el estado, porque las partes de la distribución más alejadas del origen en posición requieren que se alcance un momento mayor: asintóticamente,

${\displaystyle W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.}$

(Esta "compresión" relativa refleja la expansión del paquete de ondas libres en el espacio de coordenadas).

De hecho, es posible demostrar que la energía cinética de la partícula se vuelve asintóticamente radial solamente, de acuerdo con la noción estándar de la mecánica cuántica del momento angular distinto de cero del estado fundamental que especifica la independencia de la orientación: ^[24]

${\displaystyle K_{\text{rad}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)}$

${\displaystyle K_{\text{ang}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.}$

Potencial morse

El potencial Morse se utiliza para aproximar la estructura vibracional de una molécula diatómica.

La función de Wigner representa la evolución temporal del potencial de Morse U ( x ) = 20(1 − e ^{−0,16 x} ) ² en unidades atómicas (au). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano H ( x , p ) = p ² /2 + U ( x ) .

Tunelización cuántica

El efecto túnel es un efecto cuántico característico en el que una partícula cuántica, al no tener suficiente energía para volar por encima, atraviesa una barrera. Este efecto no existe en la mecánica clásica.

Función de Wigner para atravesar la barrera de potencial U ( x ) = 8 e ^{−0,25 x 2} en unidades atómicas (au). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano H ( x , p ) = p ² /2 + U ( x ).

Potencial cuártico

Evolución temporal de la función de Wigner para el potencial U ( x ) = 0,1 x ⁴ en unidades atómicas (au). Las líneas continuas representan el conjunto de niveles del hamiltoniano H ( x , p ) = p ² /2 + U ( x ).

Schrödingerestado del gato

Función de Wigner de dos estados coherentes que interfieren y evolucionan a través del hamiltoniano SHO. Las proyecciones de momento y coordenadas correspondientes se representan a la derecha y debajo del gráfico del espacio de fases.

Referencias

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