Fórmula de cuantificación de Kontsevich

En matemáticas, la fórmula de cuantificación de Kontsevich describe cómo construir un álgebra de operadores de ★-producto generalizada a partir de una variedad de Poisson de dimensión finita arbitraria dada . Esta álgebra de operadores equivale a la cuantificación de deformación del álgebra de Poisson correspondiente. Se debe a Maxim Kontsevich . ^[1]^[2]

Cuantización de deformación de un álgebra de Poisson

Dada un álgebra de Poisson $(A, {\cdot, \cdot})$ , una cuantificación de deformación es un producto unitario asociativo en el álgebra de series de potencias formales en $ħ$ $,$ $A$ $[[$ $ħ$ $]]$ , sujeto a los dos axiomas siguientes, ${\estilo de visualización \estrella}$

{\begin{aligned}f\star g&=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )\\{}[f,g]&=f\star gg\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O}}(\hbar ^{2})\end{aligned}}

Si se nos diera una variedad de Poisson $(M, {\cdot, \cdot})$ , podríamos preguntar, además, que

f\star g=fg+\sum _{k=1}^{\infty }\hbar ^{k}B_{k}(f\otimes g),

donde $B k$ son operadores bi diferenciales lineales de grado como máximo $k$ .

Se dice que dos deformaciones son equivalentes si están relacionadas por una transformación de calibre del tipo,

{\begin{casos}D:A[[\hbar ]]\to A[[\hbar ]]\\\sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{ k}\mapsto \sum _{k=0}^{\infty }\hbar ^{k}f_{k}+\sum _{n\geq 1,k\geq 0}D_{n}(f_{k) })\hbar ^{n+k}\end{casos}}

donde $D n$ son operadores diferenciales de orden $n$ como máximo . El producto inducido correspondiente, , es entonces ${\estilo de visualización \estrella}$ $\estrella '$

f\,{\star }'\,g=D\left(\left(D^{-1}f\right)\star \left(D^{-1}g\right)\right).

Como ejemplo arquetípico, podemos considerar el producto "Moyal-Weyl" original de Groenewold . ${\estilo de visualización \estrella}$

Gráficas de Kontsevich

Un grafo de Kontsevich es un grafo dirigido simple sin bucles en 2 vértices externos, denominados f y g ; y $n$ vértices internos, denominados $Π$ . De cada vértice interno se originan dos aristas. Todos los grafos (clases de equivalencia de) con $n$ vértices internos se acumulan en el conjunto $G n (2)$ .

Un ejemplo de dos vértices internos es el siguiente gráfico,

Operador bidiferencial asociado

Asociado a cada grafo $Γ$ , hay un operador bidiferencial $B Γ (f, g)$ definido de la siguiente manera. Para cada arista hay una derivada parcial en el símbolo del vértice de destino. Se contrae con el índice correspondiente del símbolo de origen. El término para el grafo $Γ$ es el producto de todos sus símbolos junto con sus derivadas parciales. Aquí f y g representan funciones suaves en la variedad, y $Π$ es el bivector de Poisson de la variedad de Poisson.

El término para el gráfico de ejemplo es

\Pi ^{i_{2}j_{2}}\parcial _{i_{2}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\parcial _{i_{1}}f\,\parcial _{j_{1}}\parcial _{j_{2}}g.

Peso asociado

Para sumar estos operadores bidiferenciales existen los pesos $w Γ$ del grafo $Γ$ . En primer lugar, para cada grafo existe una multiplicidad $m (Γ)$ que cuenta cuántas configuraciones equivalentes hay para un grafo. La regla es que la suma de las multiplicidades para todos los grafos con $n$ vértices internos es $(n (n + 1)) n$ . El grafo de ejemplo anterior tiene la multiplicidad $m (Γ) = 8$ . Para esto, es útil enumerar los vértices internos de 1 a $n$ .

Para calcular el peso tenemos que integrar los productos de los ángulos en el semiplano superior , H , de la siguiente manera. El semiplano superior es $\mathbb {C}$ , dotado de la métrica de Poincaré

ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}};

y, para dos puntos $z, w \in H$ con $z \neq w$ , medimos el ángulo $φ$ entre la geodésica de $z$ a $i \infty$ y de $z a$ w $en$ sentido antihorario. Esto es

\phi (z,w)={\frac {1}{2i}}\log {\frac {(zw)(z-{\bar {w}})}{({\bar {z} }-w)({\bar {z}}-{\bar {w}})}}.

El dominio de integración es C _n ( H ) el espacio

C_{n}(H):=\{(u_{1},\puntos ,u_{n})\en H^{n}:u_{i}\neq u_{j}\para todo i\neq j\}.

La fórmula asciende

w_{\Gamma }:={\frac {m(\Gamma )}{(2\pi )^{2n}n!}}\int _{C_{n}(H)}\bigwedge _ j=1}^{n}\mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t1(j)})\wedge \mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t2(j) })

donde t 1( j ) y t 2( j ) son el primer y segundo vértice objetivo del vértice interno $j$ . Los vértices f y g están en las posiciones fijas 0 y 1 en $H$ .

La fórmula

Dadas las tres definiciones anteriores, la fórmula de Kontsevich para un producto estrella es ahora

f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\sum _{\Gamma \in G_{n}(2)}w_{\Gamma }B_{\Gamma }(f\otimes g).

Fórmula explícita hasta segundo orden

Al aplicar la asociatividad del producto, es sencillo comprobar directamente que la fórmula de Kontsevich debe reducirse, a segundo orden en $ħ$ , a simplemente ${\estilo de visualización \estrella}$

{\begin{aligned}f\star g&=fg+{\tfrac {\hbar }{2}}\Pi ^{ij}\partial _{i}f\,\partial _{j}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{8}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{1}}\,\partial _{i_{2}}f\partial _{j_{1}}\,\partial _{j_{2}}g\\&-{\tfrac {\hbar ^{2}}{12}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}(\partial _{i_{1}}\partial _{i_{2}}f\,\partial _{j_{2}}g-\parcial _{i_{2}}f\,\parcial _{i_{1}}\parcial _{j_{2}}g)+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})\end{aligned}}

Referencias

^ M. Kontsevich (2003), Cuantización de deformación de variedades de Poisson, Cartas de física matemática 66 , págs. 157-216.
^ Cattaneo, Alberto ; Felder, Giovanni (2000). "Un enfoque de integral de trayectorias para la fórmula de cuantificación de Kontsevich". Communications in Mathematical Physics . 212 (3): 591–611. arXiv : math/9902090 . Código Bibliográfico :2000CMaPh.212..591C. doi :10.1007/s002200000229. S2CID 8510811.