Variedad de Poisson

Estructura matemática en geometría diferencial

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , una variedad de Poisson es una variedad suave dotada de una estructura de Poisson. La noción de variedad de Poisson generaliza la de variedad simpléctica , que a su vez generaliza el espacio de fases de la mecánica hamiltoniana .

Una estructura de Poisson (o corchete de Poisson) en una variedad suave es una función en el espacio vectorial de funciones suaves en , lo que la convierte en un álgebra de Lie sujeta a una regla de Leibniz (también conocida como álgebra de Poisson ). Las estructuras de Poisson en variedades fueron introducidas por André Lichnerowicz en 1977 ^[1] y reciben su nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson , debido a su aparición temprana en sus trabajos sobre mecánica analítica . ^[2] ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Una estructura de Poisson en una variedad permite deformar el producto de funciones en un nuevo producto que normalmente no es conmutativo . Este proceso se conoce como cuantificación de deformación , ya que la mecánica clásica puede basarse en estructuras de Poisson, mientras que la mecánica cuántica implica anillos no conmutativos . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Introducción

De los espacios de fases de la mecánica clásica a las variedades simplécticas y de Poisson

En mecánica clásica, el espacio de fases de un sistema físico está formado por todos los valores posibles de la posición y de las variables de momento que admite el sistema. Está naturalmente dotado de una forma simpléctica/corchete de Poisson (véase más adelante), que permite formular las ecuaciones de Hamilton y describir la dinámica del sistema a través del espacio de fases en el tiempo.

Por ejemplo, una partícula que se mueve libremente en el espacio euclidiano de dimensión 1 (es decir, que tiene como espacio de configuración ) tiene un espacio de fases . Las coordenadas describen respectivamente las posiciones y los momentos generalizados. El espacio de observables , es decir, las funciones suaves en , está naturalmente dotado de una operación binaria llamada corchete de Poisson , definida como ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right).}$

Un corchete de este tipo satisface las propiedades estándar de un corchete de Lie , además de una compatibilidad adicional con el producto de funciones, es decir, la identidad de Leibniz . De manera equivalente, el corchete de Poisson en puede reformularse utilizando la forma simpléctica ${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}.}$

De hecho, si se considera el campo vectorial hamiltoniano

${\displaystyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q_{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}\partial _{p_{i}}}$

asociado a una función , entonces el corchete de Poisson se puede reescribir como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g}).}$

Un ejemplo estándar de una variedad simpléctica , y por lo tanto de una variedad de Poisson, es el fibrado cotangente de cualquier variedad suave de dimensión finita Las coordenadas de se interpretan como posiciones de partículas; el espacio de tangentes en cada punto forma el espacio de momentos conjugados (canónicamente). Si es -dimensional, es una variedad suave de dimensión puede considerarse como el espacio de fases asociado. El fibrado cotangente está naturalmente equipado con una forma simpléctica canónica , que, en coordenadas canónicas , coincide con la descrita anteriormente. En general, por el teorema de Darboux , cualquier variedad simpléctica arbitraria admite coordenadas especiales donde la forma y el corchete son equivalentes, respectivamente, a la forma simpléctica y al corchete de Poisson de . Por lo tanto, la geometría simpléctica es el entorno matemático natural para describir la mecánica hamiltoniana clásica. ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle 2n;}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Las variedades de Poisson son generalizaciones adicionales de las variedades simplécticas, que surgen de la axiomatización de las propiedades satisfechas por el corchete de Poisson en . Más precisamente, una variedad de Poisson consiste en una variedad suave (no necesariamente de dimensión par) junto con un corchete abstracto , también llamado corchete de Poisson, que no surge necesariamente de una forma simpléctica , pero satisface las mismas propiedades algebraicas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \omega }$

La geometría de Poisson está estrechamente relacionada con la geometría simpléctica: por ejemplo, cada corchete de Poisson determina una foliación de la variedad en subvariedades simplécticas . Sin embargo, el estudio de la geometría de Poisson requiere técnicas que normalmente no se emplean en la geometría simpléctica, como la teoría de los grupoides de Lie y los algebroides .

Además, hay ejemplos naturales de estructuras que deberían ser "moralmente" simplécticas, pero que presentan singularidades, es decir, se debería permitir que su "forma simpléctica" sea degenerada. Por ejemplo, el cociente suave de una variedad simpléctica por un grupo que actúa por simplectomorfismos es una variedad de Poisson, que en general no es simpléctica. Esta situación modela el caso de un sistema físico que es invariante bajo simetrías : el espacio de fases "reducido", obtenido cocientemente del espacio de fases original por las simetrías, en general ya no es simpléctico, sino que es de Poisson.

Historia

Aunque la definición moderna de la variedad de Poisson apareció recién en los años 70 y 80, su origen se remonta al siglo XIX. Alan Weinstein resumió la historia temprana de la geometría de Poisson de la siguiente manera:

"Poisson inventó sus paréntesis como herramienta para la dinámica clásica. Jacobi se dio cuenta de la importancia de estos paréntesis y dilucidó sus propiedades algebraicas, y Lie comenzó el estudio de su geometría". ^[3]

De hecho, Siméon Denis Poisson introdujo en 1809 lo que ahora llamamos corchete de Poisson para obtener nuevas integrales de movimiento , es decir, cantidades que se conservan a lo largo del movimiento. ^[4] Más precisamente, demostró que, si dos funciones y son integrales de movimiento, entonces hay una tercera función, denotada por , que también es una integral de movimiento. En la formulación hamiltoniana de la mecánica , donde la dinámica de un sistema físico se describe mediante una función dada (generalmente la energía del sistema), una integral de movimiento es simplemente una función que Poisson conmuta con , es decir, tal que . Lo que se conocerá como el teorema de Poisson puede formularse entonces como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \{f,h\}=0}$

${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$

Los cálculos de Poisson ocuparon muchas páginas, y sus resultados fueron redescubiertos y simplificados dos décadas después por Carl Gustav Jacob Jacobi . ^[2] Jacobi fue el primero en identificar las propiedades generales del corchete de Poisson como una operación binaria. Además, estableció la relación entre el corchete (de Poisson) de dos funciones y el corchete (de Lie) de sus campos vectoriales hamiltonianos asociados , es decir, para reformular (y dar una prueba mucho más corta de) el teorema de Poisson sobre integrales de movimiento. ^[5] El trabajo de Jacobi sobre los corchetes de Poisson influyó en los estudios pioneros de Sophus Lie sobre simetrías de ecuaciones diferenciales , lo que llevó al descubrimiento de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . Por ejemplo, lo que ahora se denominan estructuras lineales de Poisson (es decir, corchetes de Poisson en un espacio vectorial que envían funciones lineales a funciones lineales) corresponden precisamente a las estructuras del álgebra de Lie. Además, la integrabilidad de una estructura de Poisson lineal (ver más abajo) está estrechamente relacionada con la integrabilidad de su álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie. $${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$

El siglo XX vio el desarrollo de la geometría diferencial moderna, pero recién en 1977 André Lichnerowicz introdujo las estructuras de Poisson como objetos geométricos en variedades suaves. ^[1] Las variedades de Poisson se estudiaron más a fondo en el artículo fundacional de 1983 de Alan Weinstein , donde se demostraron por primera vez muchos teoremas de estructura básicos. ^[6]

Estos trabajos ejercieron una enorme influencia en las décadas posteriores en el desarrollo de la geometría de Poisson, que hoy en día es un campo propio, y al mismo tiempo está profundamente enredado con muchos otros, incluyendo la geometría no conmutativa , los sistemas integrables , las teorías topológicas de campos y la teoría de la representación .

Definición formal

Hay dos puntos de vista principales para definir las estructuras de Poisson: es habitual y conveniente alternar entre ellos.

Como soporte

Sea una variedad suave y sea el álgebra real de funciones suaves de valor real en , donde la multiplicación se define puntualmente. Un corchete de Poisson (o estructura de Poisson ) en es una función bilineal - ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

definiendo una estructura del álgebra de Poisson en , es decir, satisfaciendo las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

• Simetría oblicua : . ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$
• Identidad de Jacobi : . ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$
• Regla de Leibniz : . ${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$

Las dos primeras condiciones aseguran que define una estructura de álgebra de Lie en , mientras que la tercera garantiza que, para cada , la aplicación lineal es una derivación del álgebra , es decir, define un campo vectorial llamado campo vectorial hamiltoniano asociado a . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle f\in {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle f}$

Al elegir coordenadas locales , cualquier corchete de Poisson viene dado por para el corchete de Poisson de las funciones de coordenadas. ${\displaystyle (U,x^{i})}$ $${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$

Como bivector

Un bivector de Poisson en una variedad suave es un campo bivectorial que satisface la ecuación diferencial parcial no lineal , donde ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma {\big (}\wedge ^{2}TM{\big )}}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

denota el corchete de Schouten–Nijenhuis en campos multivectoriales. Al elegir coordenadas locales , cualquier bivector de Poisson está dado por para funciones suaves antisimétricas en . ${\displaystyle (U,x^{i})}$ $${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle U}$

Equivalencia de las definiciones

Sea un corchete bilineal antisimétrico (llamado "corchete casi de Lie") que satisface la regla de Leibniz; entonces la función puede describirse como para un único campo bivectorial liso . A la inversa, dado cualquier campo bivectorial liso en , la misma fórmula define un corchete casi de Lie que obedece automáticamente la regla de Leibniz. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle \{f,g\}}$ $${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$ ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Entonces las siguientes condiciones de integrabilidad son equivalentes:

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$satisface la identidad de Jacobi (por lo tanto es un corchete de Poisson);
• ${\displaystyle \pi }$satisface (por lo tanto es un bivector de Poisson); ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$
• El mapa es un homomorfismo del álgebra de Lie, es decir, los campos vectoriales hamiltonianos satisfacen ; ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$ ${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$
• El gráfico define una estructura de Dirac , es decir, un subfibrado lagrangiano que está cerrado bajo el corchete de Courant estándar . ${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi )\subset TM\oplus T^{*}M}$ ${\displaystyle D\subset TM\oplus T^{*}M}$

Una estructura de Poisson sin ninguno de los cuatro requisitos anteriores también se denomina estructura casi de Poisson . ^[5]

Estructuras de Poisson holomórficas

La definición de estructura de Poisson para variedades reales suaves también se puede adaptar al caso complejo.

Una variedad de Poisson holomorfa es una variedad compleja cuyo haz de funciones holomorfas es un haz de álgebras de Poisson. De manera equivalente, recordemos que un campo bivectorial holomorfo en una variedad compleja es una sección tal que . Entonces, una estructura de Poisson holomorfa en es un campo bivectorial holomorfo que satisface la ecuación . Las variedades de Poisson holomorfas se pueden caracterizar también en términos de estructuras de Poisson-Nijenhuis. ^[7] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\pi =0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

Muchos resultados para estructuras de Poisson reales, por ejemplo en lo que respecta a su integrabilidad, se extienden también a las holomorfas. ^{[8] [9]}

Las estructuras de Poisson holomorfas aparecen naturalmente en el contexto de estructuras complejas generalizadas : localmente, cualquier variedad compleja generalizada es el producto de una variedad simpléctica y una variedad de Poisson holomorfa. ^[10]

Cuantización de la deformación

La noción de variedad de Poisson surge naturalmente de la teoría de deformación de las álgebras asociativas . Para una variedad suavizada , las funciones suavizadas forman un álgebra conmutativa sobre los números reales , utilizando la suma y multiplicación puntual (lo que significa que para los puntos en ). Una deformación de orden th de esta álgebra se da mediante una fórmula ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f*g=fg+\epsilon B_{1}(f,g)+\cdots +\epsilon ^{n}B_{n}(f,g){\pmod {\epsilon ^{n+1}}}}$

para tal que el producto estrella es asociativo (módulo ), pero no necesariamente conmutativo. ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \epsilon ^{n+1}}$

Una deformación de primer orden de es equivalente a una estructura casi de Poisson como la definida anteriormente, es decir, un mapa de "corchetes" bilineal ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

que es antisimétrica y satisface la regla de Leibniz. ^[5] Explícitamente, se puede ir de la deformación al soporte mediante

${\displaystyle f*g-g*f=\epsilon \{f,g\}{\pmod {\epsilon ^{2}}}.}$

Una deformación de primer orden también es equivalente a un campo bivectorial, es decir, una sección suave de . ${\displaystyle \wedge ^{2}TM}$

Un corchete satisface la identidad de Jacobi (es decir, es una estructura de Poisson) si y solo si la deformación de primer orden correspondiente de puede extenderse a una deformación de segundo orden. ^[5] Sorprendentemente, la fórmula de cuantificación de Kontsevich muestra que cada variedad de Poisson tiene una cuantificación de deformación . Es decir, si una deformación de primer orden de puede extenderse a segundo orden, entonces puede extenderse a orden infinito. ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Ejemplo: Para cualquier variedad lisa , el fibrado cotangente es una variedad simpléctica y, por lo tanto, una variedad de Poisson. La deformación no conmutativa correspondiente de está relacionada con el álgebra de operadores diferenciales lineales en . Cuando es la línea real , la no conmutatividad del álgebra de operadores diferenciales (conocida como álgebra de Weyl ) se deduce del cálculo que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(T^{*}M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}},x{\bigg ]}=1.}$

Hojas simplécticas

Una variedad de Poisson se divide naturalmente en variedades simplécticas regularmente inmersas de dimensiones posiblemente diferentes, llamadas hojas simplécticas . Estas surgen como las subvariedades integrales máximas de la foliación singular completamente integrable abarcada por los campos vectoriales hamiltonianos.

Rango de una estructura de Poisson

Recordemos que cualquier campo bivectorial puede considerarse un homomorfismo oblicuo, el morfismo musical . Por lo tanto, la imagen consta de los valores de todos los campos vectoriales hamiltonianos evaluados en cada . ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle {X_{f}}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$

El rango de en un punto es el rango de la función lineal inducida . Un punto se denomina regular para una estructura de Poisson en si y solo si el rango de es constante en un entorno abierto de ; de lo contrario, se denomina punto singular . Los puntos regulares forman un subespacio denso abierto ; cuando , es decir, la función es de rango constante, la estructura de Poisson se denomina regular . Los ejemplos de estructuras de Poisson regulares incluyen estructuras triviales y no degeneradas (ver a continuación). ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }=M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$ ${\displaystyle \pi }$

El caso regular

Para una variedad de Poisson regular, la imagen es una distribución regular ; es fácil comprobar que es involutiva, por lo tanto, por el teorema de Frobenius , admite una partición en hojas. Además, el bivector de Poisson se restringe perfectamente a cada hoja, que por lo tanto se convierten en variedades simplécticas. ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle M}$

El caso no regular

Para una variedad de Poisson no regular la situación es más complicada, ya que la distribución es singular , es decir, los subespacios vectoriales tienen diferentes dimensiones. ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$ ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$

Una subvariedad integral para es una subvariedad conexa por caminos que satisface para todo . Las subvariedades integrales de son variedades automáticamente regularmente inmersas, y las subvariedades integrales máximas de se denominan hojas de . ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$ ${\displaystyle S\subseteq M}$ ${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Además, cada hoja lleva una forma simpléctica natural determinada por la condición para todos y . En consecuencia, se habla de las hojas simplécticas de . Además, tanto el espacio de puntos regulares como su complemento están saturados de hojas simplécticas, por lo que las hojas simplécticas pueden ser regulares o singulares. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$ ${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$ ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$

Teorema de división de Weinstein

Para demostrar la existencia de hojas simplécticas en el caso no regular, se puede utilizar el teorema de desdoblamiento de Weinstein (o teorema de Darboux-Weinstein). ^[6] Afirma que cualquier variedad de Poisson se desdobla localmente alrededor de un punto como el producto de una variedad simpléctica y una subvariedad transversal de Poisson que se desvanece en . Más precisamente, si , existen coordenadas locales tales que el bivector de Poisson se desdobla como la suma ${\displaystyle (M^{n},\pi )}$ ${\displaystyle x_{0}\in M}$ ${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$ ${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$ ${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$

Nótese que, cuando el rango de es máximo (por ejemplo, la estructura de Poisson no es degenerada, de modo que ), se recupera el teorema clásico de Darboux para estructuras simplécticas. ${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0.}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n=2k}$

Ejemplos

Estructuras triviales de Poisson

Toda variedad tiene la estructura trivial de Poisson , descrita de manera equivalente por el bivector . Por lo tanto, cada punto de es una hoja simpléctica de dimensión cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{f,g\}=0}$ ${\displaystyle \pi =0}$ ${\displaystyle M}$

Estructuras de Poisson no degeneradas

Un campo bivectorial se denomina no degenerado si es un isomorfismo de fibrado vectorial. Los campos bivectoriales de Poisson no degenerados son en realidad lo mismo que las variedades simplécticas . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

De hecho, existe una correspondencia biyectiva entre campos bivectoriales no degenerados y 2-formas no degeneradas , dada por el isomorfismo musical ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$

donde está codificado por . Además, es Poisson precisamente si y solo si es cerrado; en tal caso, el corchete se convierte en el corchete de Poisson canónico de la mecánica hamiltoniana: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,\quad v\mapsto \omega (v,\cdot )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{f},X_{g}).}$

Las estructuras de Poisson no degeneradas tienen una sola hoja simpléctica, es decir, ella misma, y ​​su álgebra de Poisson se convierte en un anillo de Poisson . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{\infty }(M),\{\cdot ,\cdot \})}$

Estructuras lineales de Poisson

Una estructura de Poisson en un espacio vectorial se denomina lineal cuando el corchete de dos funciones lineales sigue siendo lineal. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle V}$

La clase de espacios vectoriales con estructuras lineales de Poisson coincide con la de los duales de las álgebras de Lie . El dual de cualquier álgebra de Lie de dimensión finita lleva un corchete de Poisson lineal, conocido en la literatura con los nombres de estructura de Lie-Poisson, Kirillov-Poisson o KKS ( Kostant - Kirillov - Souriau ): donde y las derivadas se interpretan como elementos del bivector . De manera equivalente, el bivector de Poisson se puede expresar localmente como donde son coordenadas en y son las constantes de estructura asociadas de , ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$ $${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$ ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle c_{k}^{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Por el contrario, cualquier estructura lineal de Poisson en debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura de álgebra de Lie natural inducida en cuyo corchete de Lie-Poisson se recupera . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Las hojas simplécticas de la estructura de Lie-Poisson en son las órbitas de la acción coadjunta de en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Estructuras de Poisson lineales por fibras

El ejemplo anterior se puede generalizar de la siguiente manera. Una estructura de Poisson en el espacio total de un fibrado vectorial se denomina lineal por fibras cuando el corchete de dos funciones suaves , cuyas restricciones a las fibras son lineales, da como resultado un corchete que es lineal cuando se restringe a las fibras. De manera equivalente, se le pide al campo bivectorial de Poisson que satisfaga para cualquier , donde es la multiplicación escalar . ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$ ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle m_{t}:E\to E}$ ${\displaystyle v\mapsto tv}$

La clase de fibrados vectoriales con estructuras de Poisson lineales coincide con la de los duales de los algebroides de Lie . El dual de cualquier algebroides de Lie lleva un corchete de Poisson lineal por fibras, ^[11] definido de forma única por donde es la evaluación por . De forma equivalente, el bivector de Poisson se puede expresar localmente como donde son coordenadas alrededor de un punto , son coordenadas de fibras en , duales a un marco local de , y y son la función de estructura de , es decir, las únicas funciones suaves que satisfacen . Inversamente, cualquier estructura de Poisson lineal por fibras en debe ser de esta forma, es decir, existe una estructura de algebroides de Lie natural inducida en cuyo backet de Lie-Poisson recupera . ^[12] ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle (A,[\cdot ,\cdot ])}$ $${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$ ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle y_{a}}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{a}^{i}}$ ${\displaystyle C_{ab}^{c}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A:=E^{*}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

Las hojas simplécticas de son los fibrados cotangentes de las órbitas algebroides ; equivalentemente, si es integrable a un grupoide de Lie , son los componentes conexos de las órbitas del grupoide cotangente . ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

Para uno se recuperan estructuras de Poisson lineales, mientras que para la estructura de Poisson lineal por fibras es la no degenerada dada por la estructura simpléctica canónica del fibrado cotangente . ${\displaystyle M=\{*\}}$ ${\displaystyle A=TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

Otros ejemplos y construcciones

• Cualquier campo bivector constante en un espacio vectorial es automáticamente una estructura de Poisson; de hecho, los tres términos del jacobiador son cero, siendo el corchete con una función constante.
• Cualquier campo bivectorial en una variedad bidimensional es automáticamente una estructura de Poisson; de hecho, es un campo trivectorial, que siempre es cero en dimensión 2. ${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$
• Dado cualquier campo bivectorial de Poisson en una variedad tridimensional , el campo bivectorial , para cualquier , es automáticamente Poisson. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\pi }$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$
• El producto cartesiano de dos variedades de Poisson es a su vez una variedad de Poisson. ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ ${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$ ${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$
• Sea una foliación (regular) de dimensión en y una foliación cerrada biforme para la cual la potencia no se anula en ninguna parte. Esto determina de manera única una estructura de Poisson regular en al requerir que las hojas simplécticas de sean las hojas de equipadas con la forma simpléctica inducida . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \omega ^{r}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega |_{S}}$
• Sea un grupo de Lie que actúa sobre una variedad de Poisson por difeomorfismos de Poisson. Si la acción es libre y propia , la variedad cociente hereda una estructura de Poisson de (es decir, es la única tal que la inmersión es una función de Poisson). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle \pi _{M/G}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$

Cohomología de Poisson

Los grupos de cohomología de Poisson de una variedad de Poisson son los grupos de cohomología del complejo de cocadena ${\displaystyle H^{k}(M,\pi )}$ $${\displaystyle \ldots \xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)\xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet +1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}}$$

donde el operador es el corchete de Schouten-Nijenhuis con . Nótese que dicha secuencia se puede definir para cada bivector en ; la condición es equivalente a , es decir, es Poisson. ${\displaystyle d_{\pi }=[\pi ,-]}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\pi }\circ d_{\pi }=0}$ ${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$ ${\displaystyle M}$

Utilizando el morfismo , se obtiene un morfismo del complejo de De Rham al complejo de Poisson , induciendo un homomorfismo de grupo . En el caso no degenerado, esto se convierte en un isomorfismo, de modo que la cohomología de Poisson de una variedad simpléctica recupera completamente su cohomología de De Rham . ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })}$ ${\displaystyle H_{dR}^{\bullet }(M)\to H^{\bullet }(M,\pi )}$

La cohomología de Poisson es difícil de calcular en general, pero los grupos de bajo grado contienen información geométrica importante sobre la estructura de Poisson:

• ${\displaystyle H^{0}(M,\pi )}$es el espacio de las funciones de Casimir , es decir, funciones suaves que conmutan por Poisson con todas las demás (o, equivalentemente, funciones suaves constantes en las hojas simplécticas);
• ${\displaystyle H^{1}(M,\pi )}$es el espacio de los campos vectoriales de Poisson módulo los campos vectoriales hamiltonianos;
• ${\displaystyle H^{2}(M,\pi )}$es el espacio de las deformaciones infinitesimales de la estructura de Poisson módulo deformaciones triviales;
• ${\displaystyle H^{3}(M,\pi )}$es el espacio de las obstrucciones para extender deformaciones infinitesimales a deformaciones reales.

Clase modular

La clase modular de una variedad de Poisson es una clase del primer grupo de cohomología de Poisson, que es la obstrucción a la existencia de una forma de volumen invariante bajo los flujos hamiltonianos. ^[13] Fue introducida por Koszul ^[14] y Weinstein. ^[15]

Recordemos que la divergencia de un campo vectorial respecto de una forma de volumen dada es la función definida por . El campo vectorial modular de una variedad de Poisson, respecto de una forma de volumen , es el campo vectorial definido por la divergencia de los campos vectoriales hamiltonianos: . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$

El campo vectorial modular es un 1-cociclo de Poisson, es decir, satisface . Además, dadas dos formas de volumen y , la diferencia es un campo vectorial hamiltoniano. En consecuencia, la clase de cohomología de Poisson no depende de la elección original de la forma de volumen , y se denomina clase modular de la variedad de Poisson. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{\lambda }}\pi =0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle X_{\lambda _{1}}-X_{\lambda _{2}}}$ ${\displaystyle [X_{\lambda }]_{\pi }\in H^{1}(M,\pi )}$ ${\displaystyle \lambda }$

Una variedad de Poisson se denomina unimodular si su clase modular se anula. Nótese que esto sucede si y solo si existe una forma de volumen tal que el campo vectorial modular se anule, es decir, para cada ; en otras palabras, es invariante bajo el flujo de cualquier campo vectorial hamiltoniano. Por ejemplo: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda }$

• Las estructuras simplécticas son siempre unimodulares, ya que la forma de Liouville es invariante bajo todos los campos vectoriales hamiltonianos;
• Para las estructuras lineales de Poisson, la clase modular es el carácter modular infinitesimal de , ya que el campo vectorial modular asociado a la medida de Lebesgue estándar en es el campo vectorial constante en . Entonces es unimodular como variedad de Poisson si y solo si es unimodular como álgebra de Lie; ^[16] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Para las estructuras regulares de Poisson, la clase modular está relacionada con la clase Reeb de la foliación simpléctica subyacente (un elemento del primer grupo de cohomología de hojas, que obstruye la existencia de una forma normal de volumen invariante por campos vectoriales tangentes a la foliación). ^[17]

Homología de Poisson

La cohomología de Poisson fue introducida en 1977 por el propio Lichnerowicz; ^[1] una década más tarde, Brylinski introdujo una teoría de homología para las variedades de Poisson, utilizando el operador . ^[18] ${\displaystyle \partial _{\pi }=[d,\iota _{\pi }]}$

Se han demostrado varios resultados que relacionan la homología y la cohomología de Poisson. ^[19] Por ejemplo, para variedades de Poisson unimodulares orientables , la homología de Poisson resulta ser isomorfa a la cohomología de Poisson: esto fue demostrado independientemente por Xu ^[20] y Evans-Lu-Weinstein. ^[16]

Mapas de Poisson

Un mapa suave entre variedades de Poisson se llama ${\displaystyle \varphi :M\to N}$Mapa de Poisson si respeta las estructuras de Poisson, es decir, se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes (compárese con las definiciones equivalentes de estructuras de Poisson anteriores):

• Los corchetes de Poisson satisfacen todas las funciones y son suaves . ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{M}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}_{N}}$ ${\displaystyle {\{f,g\}_{N}}(\varphi (x))={\{f\circ \varphi ,g\circ \varphi \}_{M}}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(N)}$
• Los campos bivectoriales y están relacionados, es decir ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi _{N}=\varphi _{*}\pi _{M}}$
• Los campos vectoriales hamiltonianos asociados a cada función suave están relacionados, es decir ${\displaystyle H\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X_{H}=\varphi _{*}X_{H\circ \phi }}$
• El diferencial es un morfismo de Dirac. ${\displaystyle d\varphi :(TM,{\rm {Graph}}(\pi _{M}))\to (TN,{\rm {Graph}}(\pi _{N}))}$

Un mapa anti-Poisson satisface condiciones análogas con un signo menos en un lado.

Las variedades de Poisson son los objetos de una categoría , con funciones de Poisson como morfismos. Si una función de Poisson es también un difeomorfismo, entonces lo llamamos difeomorfismo de Poisson . ${\displaystyle {\mathfrak {Poiss}}}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$

Ejemplos

• Dada la variedad de Poisson del producto , las proyecciones canónicas , para , son mapas de Poisson. ${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$ ${\displaystyle \mathrm {pr} _{i}:M_{0}\times M_{1}\to M_{i}}$ ${\displaystyle i\in \{0,1\}}$
• La función de inclusión de una hoja simpléctica, o de un subespacio abierto, es una función de Poisson.
• Dadas dos álgebras de Lie y , el dual de cualquier homomorfismo de álgebra de Lie induce un mapa de Poisson entre sus estructuras de Poisson lineales. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Dados dos algebroides de Lie y , el dual de cualquier morfismo del algebroide de Lie sobre la identidad induce un mapa de Poisson entre su estructura de Poisson lineal por fibras. ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle B\to M}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B^{*}\to A^{*}}$

Cabe señalar que el concepto de mapa de Poisson es fundamentalmente diferente al de mapa simpléctico . Por ejemplo, con sus estructuras simplécticas estándar, no existen mapas de Poisson , mientras que los mapas simplécticos abundan. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}}$

Realizaciones simplécticas

Una realización simpléctica en una variedad de Poisson M consiste en una variedad simpléctica junto con una función de Poisson que es una inmersión sobreyectiva. En términos generales, la función de una realización simpléctica es "desingularizar" una variedad de Poisson complicada (degenerada) pasándola a una más grande, pero más fácil (no degenerada). ${\displaystyle (P,\omega )}$ ${\displaystyle \phi :(P,\omega )\to (M,\pi )}$

Obsérvese que algunos autores definen las realizaciones simplécticas sin esta última condición (de modo que, por ejemplo, la inclusión de una hoja simpléctica en una variedad de Poisson es un ejemplo) y llaman completa a una realización simpléctica donde es una inmersión sobreyectiva. Algunos ejemplos de realizaciones simplécticas (completas) son los siguientes: ${\displaystyle \phi }$

• Para la estructura trivial de Poisson , se toma como fibrado cotangente , con su estructura simpléctica canónica , y como proyección . ${\displaystyle (M,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$
• Para una estructura de Poisson no degenerada se toma como la variedad misma y como la identidad . ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M\to M}$
• Para la estructura de Lie-Poisson en , se toma como el fibrado cotangente de un grupo de Lie que integra y como la función dual del diferencial en la identidad de la traslación (izquierda o derecha) . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T^{*}G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi :T^{*}G\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G\to G}$

Una realización simpléctica se denomina completa si, para cualquier campo vectorial hamiltoniano completo , el campo vectorial también es completo. Si bien siempre existen realizaciones simplécticas para cada variedad de Poisson (y hay varias demostraciones disponibles), ^{[6] [21] [22]} las completas no existen, y su existencia juega un papel fundamental en el problema de integrabilidad para variedades de Poisson (ver más abajo). ^[23] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle X_{H\circ \phi }}$

Integración de variedades de Poisson

Cualquier variedad de Poisson induce una estructura de algebroide de Lie en su fibrado cotangente , también llamado algebroide cotangente . La función de anclaje está dada por mientras que el corchete de Lie en se define como Varias nociones definidas para variedades de Poisson se pueden interpretar a través de su algebroide de Lie : ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle \Gamma (T^{*}M)=\Omega ^{1}(M)}$ $${\displaystyle [\alpha ,\beta ]:={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-\iota _{\pi ^{\sharp }(\beta )}d\alpha ={\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\alpha )}(\beta )-{\mathcal {L}}_{\pi ^{\sharp }(\beta )}(\alpha )-d\pi (\alpha ,\beta ).}$$ ${\displaystyle T^{*}M}$

• La foliación simpléctica es la foliación usual (singular) inducida por el ancla del algebroide de Lie;
• Las hojas simplécticas son las órbitas del algebroide de Lie;
• una estructura de Poisson es regular precisamente cuando el algebroide de Lie asociado es; ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$
• Los grupos de cohomología de Poisson coinciden con los grupos de cohomología algebroidal de Lie con coeficientes en la representación trivial; ${\displaystyle T^{*}M}$
• La clase modular de una variedad de Poisson coincide con la clase modular del algebroide de Lie asociado . ^[16] ${\displaystyle T^{*}M}$

Es de crucial importancia notar que el algebroide de Lie no siempre es integrable en un grupoide de Lie. ${\displaystyle T^{*}M}$

Grupoides simplécticos

AEl grupoide simpléctico es ungrupoide de Lie junto con una forma simplécticaque también es multiplicativa, es decir, satisface la siguiente compatibilidad algebraica con la multiplicación de grupoides:. De manera equivalente, se pide que el gráfico desea unasubvariedad lagrangianade. Entre las diversas consecuencias, la dimensión dees automáticamente el doble de la dimensión de. La noción de grupoide simpléctico fue introducida a fines de los años 80 de forma independiente por varios autores.^{[24][25][21][11]} ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle m^{*}\omega ={\rm {pr}}_{1}^{*}\omega +{\rm {pr}}_{2}^{*}\omega }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}}\times {\mathcal {G}},\omega \oplus \omega \oplus -\omega )}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle M}$

Un teorema fundamental establece que el espacio base de cualquier grupoide simpléctico admite una estructura de Poisson única tal que la función fuente y la función destino son, respectivamente, una función de Poisson y una función anti-Poisson. Además, el algebroide de Lie es isomorfo al algebroide cotangente asociado a la variedad de Poisson . ^[26] Por el contrario, si el fibrado cotangente de una variedad de Poisson es integrable a algún grupoide de Lie , entonces es automáticamente un grupoide simpléctico. ^[27] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle s:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ ${\displaystyle t:({\mathcal {G}},\omega )\to (M,\pi )}$ ${\displaystyle {\rm {Lie}}({\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

En consecuencia, el problema de integrabilidad de una variedad de Poisson consiste en encontrar un grupoide de Lie (simpléctico) que integre su algebroide cotangente; cuando esto sucede, la estructura de Poisson se denomina integrable .

Si bien cualquier variedad de Poisson admite una integración local (es decir, un grupoide simpléctico donde la multiplicación se define solo localmente), ^[26] existen obstrucciones topológicas generales a su integrabilidad, provenientes de la teoría de integrabilidad para álgebroides de Lie. ^[28] Usando tales obstrucciones, uno puede demostrar que una variedad de Poisson es integrable si y solo si admite una realización simpléctica completa. ^[23]

El candidato para el grupoide simpléctico que integra una variedad de Poisson dada se llama grupoide de homotopía de Poisson y es simplemente el grupoide de Weinstein del algebroide cotangente , que consiste en el cociente del espacio de Banach de una clase especial de caminos en por una relación equivalente adecuada. De manera equivalente, se puede describir como un cociente simpléctico de dimensión infinita . ^[29] ${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle T^{*}M\to M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle \Pi (M,\pi )}$

Ejemplos de integraciones

• La estructura trivial de Poisson es siempre integrable, siendo el grupoide simpléctico el fibrado de grupos abelianos (aditivos) con la forma simpléctica canónica. ${\displaystyle (M,0)}$ ${\displaystyle T^{*}M\rightrightarrows M}$
• Una estructura de Poisson no degenerada en es siempre integrable, siendo el grupoide simpléctico el grupoide de pares junto con la forma simpléctica (para ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle s^{*}\omega -t^{*}\omega }$ ${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1}}$
• Una estructura de Lie-Poisson en es siempre integrable, siendo el grupoide simpléctico el grupoide de acción ( coadjunto ) , para la integración simplemente conexa de , junto con la forma simpléctica canónica de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G\times {\mathfrak {g}}^{*}\rightrightarrows {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{*}G\cong G\times {\mathfrak {g}}^{*}}$
• Una estructura de Lie-Poisson en es integrable si y solo si el algebroide de Lie es integrable en un grupoide de Lie , siendo el grupoide simpléctico el grupoide cotangente con la forma simpléctica canónica. ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$

Subvariedades

Una subvariedad de Poisson de es una subvariedad sumergida tal que el mapa de inmersión es un mapa de Poisson. De manera equivalente, se pregunta que todo campo vectorial hamiltoniano , para , es tangente a . ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle N\subseteq M}$ ${\displaystyle (N,\pi _{\mid N})\hookrightarrow (M,\pi )}$ ${\displaystyle X_{f}}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle N}$

Esta definición es muy natural y satisface varias propiedades buenas, por ejemplo, la intersección transversal de dos subvariedades de Poisson es nuevamente una subvariedad de Poisson. Sin embargo, también tiene algunos problemas:

• Las subvariedades de Poisson son raras: por ejemplo, las únicas subvariedades de Poisson de una variedad simpléctica son los conjuntos abiertos;
• La definición no se comporta funcionalmente: si es una función de Poisson transversal a una subvariedad de Poisson de , la subvariedad de no es necesariamente Poisson. ${\displaystyle \Phi :(M,\pi _{M})\to (N,\pi _{N})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}(Q)}$ ${\displaystyle M}$

Para superar estos problemas, a menudo se utiliza la noción de transversal de Poisson (originalmente llamada subvariedad cosimpléctica). ^[6] Esta puede definirse como una subvariedad que es transversal a cada hoja simpléctica y tal que la intersección es una subvariedad simpléctica de . De ello se deduce que cualquier transversal de Poisson hereda una estructura de Poisson canónica de . En el caso de una variedad de Poisson no degenerada (cuya única hoja simpléctica es ella misma), las transversales de Poisson son lo mismo que las subvariedades simplécticas. ${\displaystyle X\subseteq M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\cap S}$ ${\displaystyle (S,\omega _{S})}$ ${\displaystyle X\subseteq (M,\pi )}$ ${\displaystyle \pi _{X}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )}$ ${\displaystyle M}$

Las clases más generales de subvariedades juegan un papel importante en la geometría de Poisson, incluidas las subvariedades de Lie-Dirac, las subvariedades de Poisson-Dirac, las subvariedades coisotrópicas y las subvariedades pre-Poisson. ^[30]

Véase también

• Variedad Nambu-Poisson
• Grupo de Poisson-Lie
• Supervariedad de Poisson

Referencias

1. Lichnerowicz, A. (1977). "Les variétés de Poisson et leurs algèbres de Lie associées". J. Dif. Geom. 12 (2): 253–300. doi : 10.4310/jdg/1214433987 . SEÑOR  0501133.
2. Kosmann-Schwarzbach, Yvette (29 de noviembre de 2022). "Siete conceptos atribuidos a Siméon-Denis Poisson". SIGMA. Simetría, integrabilidad y geometría: métodos y aplicaciones . 18 : 092. arXiv : 2211.15946 . doi : 10.3842/SIGMA.2022.092 .
3. Weinstein, Alan (1 de agosto de 1998). "Geometría de Poisson". Geometría diferencial y sus aplicaciones . Geometría simpléctica. 9 (1): 213–238. doi : 10.1016/S0926-2245(98)00022-9 . ISSN  0926-2245.
4. Poisson, Siméon Denis (1809). "Sur la variación des constantes arbitraires dans les questions de mécanique" [Sobre la variación de constantes arbitrarias en las cuestiones de mecánica]. Journal de l'École polytechnique  [fr] (en francés). 15e cahier (8): 266–344 - vía HathiTrust .
5. Silva, Ana Cannas da; Weinstein, Alan (1999). Modelos geométricos para álgebras no conmutativas (PDF) . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0952-0.OCLC 42433917  .
6. Weinstein, Alan (1983-01-01). "La estructura local de las variedades de Poisson". Journal of Differential Geometry . 18 (3). doi : 10.4310/jdg/1214437787 . ISSN  0022-040X.
7. Laurent-Gengoux, C.; Stienon, M.; Xu, P. (8 de julio de 2010). "Variedades de Poisson holomorfas y álgebroides de Lie holomorfas". International Mathematics Research Notices . 2008 . arXiv : 0707.4253 . doi :10.1093/imrn/rnn088. ISSN  1073-7928.
8. Laurent-Gengoux, Camille; Stienon, Mathieu; Xu, Ping (1 de diciembre de 2009). "Integración de algebroides de Lie holomorfos". Annalen Matemáticas . 345 (4): 895–923. arXiv : 0803.2031 . doi :10.1007/s00208-009-0388-7. ISSN  1432-1807. S2CID  41629.
9. Broka, Damien; Xu, Ping (2022). "Realizaciones simplécticas de variedades de Poisson holomorfas". Mathematical Research Letters . 29 (4): 903–944. arXiv : 1512.08847 . doi : 10.4310/MRL.2022.v29.n4.a1 . ISSN  1945-001X.
10. Bailey, Michael (1 de agosto de 2013). "Clasificación local de estructuras complejas generalizadas". Journal of Differential Geometry . 95 (1). arXiv : 1201.4887 . doi : 10.4310/jdg/1375124607 . ISSN  0022-040X.
11. Coste, A.; Dazord, P.; Weinstein, A. (1987). "Groupoïdes symplectiques" [Grupoides simplécticos]. Publications du Département de mathématiques (Lyon) (en francés) (2A): 1–62. ISSN  2547-6300.
12. Courant, Theodore James (1990). "Variedades de Dirac". Transacciones de la American Mathematical Society . 319 (2): 631–661. doi : 10.1090/S0002-9947-1990-0998124-1 . ISSN  0002-9947.
13. Kosmann-Schwarzbach, Yvette (16 de enero de 2008). "Variedades de Poisson, álgebroides de Lie, clases modulares: un estudio". SIGMA. Simetría, integrabilidad y geometría: métodos y aplicaciones . 4 : 005. arXiv : 0710.3098 . Bibcode :2008SIGMA...4..005K. doi : 10.3842/SIGMA.2008.005 .
14. Koszul, Jean-Louis (1985). "Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie" [soporte y cohomología de Schouten-Nijenhuis]. Astérisque (en francés). S131 : 257–271.
15. Weinstein, Alan (1997-11-01). "El grupo de automorfismos modulares de una variedad de Poisson". Revista de geometría y física . 23 (3): 379–394. Bibcode :1997JGP....23..379W. doi :10.1016/S0393-0440(97)80011-3. ISSN  0393-0440.
16. Evens, Sam; Lu, Jiang-Hua; Weinstein, Alan (1999). "Medidas transversales, la clase modular y un emparejamiento de cohomología para álgebroides de Lie". The Quarterly Journal of Mathematics . 50 (200): 417–436. arXiv : dg-ga/9610008 . doi :10.1093/qjmath/50.200.417.
17. Abouqateb, Abdelhak; Boucetta, Mohamed (1 de julio de 2003). "La clase modular de una variedad de Poisson regular y la clase Reeb de su foliación simpléctica". Comptes Rendus Mathematique . 337 (1): 61–66. arXiv : math/0211405v1 . doi : 10.1016/S1631-073X(03)00254-1 . ISSN  1631-073X.
18. Brylinski, Jean-Luc (1988-01-01). "Un complejo diferencial para variedades de Poisson". Journal of Differential Geometry . 28 (1). doi : 10.4310/jdg/1214442161 . ISSN  0022-040X. S2CID  122451743.
19. Fernández, Marisa; Ibáñez, Raúl; León, Manuel de (1996). "Cohomología de Poisson y homología canónica de variedades de Poisson". Archivo matemático . 032 (1): 29–56. ISSN  0044-8753.
20. Xu, Ping (1999-02-01). "Álgebras de Gerstenhaber y álgebras BV en geometría de Poisson". Communications in Mathematical Physics . 200 (3): 545–560. arXiv : dg-ga/9703001 . Código Bibliográfico :1999CMaPh.200..545X. doi :10.1007/s002200050540. ISSN  1432-0916. S2CID  16559555.
21. Karasev, MV (30 de junio de 1987). "Análogos de los objetos de la teoría de grupos de Lie para corchetes de Poisson no lineales". Matemáticas de la URSS-Izvestia . 28 (3): 497–527. Código Bibliográfico :1987IzMat..28..497K. doi :10.1070/im1987v028n03abeh000895. ISSN  0025-5726.
22. Crainic, Marius ; Marcut, Ioan (2011). "Sobre la existencia de realizaciones simplécticas". Journal of Symplectic Geometry . 9 (4): 435–444. doi : 10.4310/JSG.2011.v9.n4.a2 . ISSN  1540-2347.
23. Crainic, Marius ; Fernandes, Rui (1 de enero de 2004). "Integrabilidad de los corchetes de Poisson". Journal of Differential Geometry . 66 (1). arXiv : math/0210152 . doi : 10.4310/jdg/1090415030 . ISSN  0022-040X.
24. Weinstein, Alan (1 de enero de 1987). "Grupoides simplécticos y variedades de Poisson". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 16 (1): 101–105. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15473-5 . ISSN  0273-0979.
25. Zakrzewski, S. (1990). "Pseudogrupos cuánticos y clásicos. II. Pseudogrupos diferenciales y simplécticos". Communications in Mathematical Physics . 134 (2): 371–395. doi :10.1007/BF02097707. ISSN  0010-3616. S2CID  122926678 – vía Project Euclid .
26. Albert, Claude; Dazord, Pierre (1991). Dazord, Pierre; Weinstein, Alan (eds.). "Groupoïdes de Lie et Groupoïdes Symplectiques" [Grupoides de Lie y grupoides simplécticos]. Geometría simpléctica, grupoides y sistemas integrables . Publicaciones del Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas (en francés). 20. Nueva York, NY: Springer US: 1–11. doi :10.1007/978-1-4613-9719-9_1. ISBN 978-1-4613-9719-9.
27. Liu, Z. -J.; Xu, P. (1996-01-01). "Bialgebroides de Lie exactos y grupoides de Poisson". Análisis geométrico y funcional . 6 (1): 138–145. doi :10.1007/BF02246770. ISSN  1420-8970. S2CID  121836719 – vía European Digital Mathematics Library.
28. Crainic, Marius ; Fernandes, Rui (1 de marzo de 2003). "Integrabilidad de los corchetes de Lie". Anales de Matemáticas . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . doi : 10.4007/annals.2003.157.575 . ISSN  0003-486X.
29. Cattaneo, Alberto S. ; Felder, Giovanni (2001). "Modelos sigma de Poisson y grupoides simplécticos". Cuantización de cocientes simplécticos singulares . Progress in Mathematics. Basilea: Birkhäuser: 61–93. arXiv : math/0003023 . doi :10.1007/978-3-0348-8364-1_4. ISBN 978-3-0348-8364-1.S2CID10248666  .​
30. Zambon, Marco (2011). Ebeling, Wolfgang; Hulek, Klaus; Smoczyk, Knut (eds.). "Subvariedades en geometría de Poisson: un estudio". Geometría compleja y diferencial . Springer Proceedings in Mathematics. 8 . Berlín, Heidelberg: Springer: 403–420. doi :10.1007/978-3-642-20300-8_20. ISBN 978-3-642-20300-8.

Libros y encuestas

• Bhaskara, KH; Viswanath, K. (1988). Álgebras de Poisson y variedades de Poisson . Longman. ISBN 0-582-01989-3.
• Cannas da Silva, Ana ; Weinstein, Alan (1999). Modelos geométricos para álgebras no conmutativas . AMS Berkeley Mathematics Lecture Notes, 10.
• Dufour, J.-P.; Zung, NT (2005). Estructuras de Poisson y sus formas normales . Vol. 242. Birkhäuser Progreso en Matemáticas.
• Crainic, Marius ; Loja Fernandes, Rui ; Mărcuț, Ioan (2021). Lecciones sobre geometría de Poisson. Estudios de posgrado en matemáticas . American Mathematical Society . ISBN 978-1-4704-6667-1.Versión anterior disponible en [1].
• Guillemin, Victor ; Sternberg, Shlomo (1984). Técnicas simplécticas en física . Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 0-521-24866-3.
• Libermann, Paulette ; Marle, C.-M. (1987). Geometría simpléctica y mecánica analítica . Dordrecht: Reidel. ISBN 90-277-2438-5.
• Vaisman, Izu (1994). Lecciones sobre la geometría de las variedades de Poisson . Birkhäuser.Véase también la reseña de Ping Xu en el Boletín de la AMS.
• Weinstein, Alan (1998). "Geometría de Poisson". Geometría diferencial y sus aplicaciones . 9 (1–2): 213–238. doi : 10.1016/S0926-2245(98)00022-9 .