En matemáticas , un anillo de Poisson es un anillo conmutativo en el que se define una operación binaria anticonmutativa y distributiva que satisface la identidad de Jacobi y la regla del producto . Dicha operación se conoce entonces como corchete de Poisson del anillo de Poisson.
Muchas operaciones y resultados importantes de la geometría simpléctica y la mecánica hamiltoniana pueden formularse en términos del corchete de Poisson y, por lo tanto, aplicarse también a las álgebras de Poisson . Esta observación es importante para estudiar el límite clásico de la mecánica cuántica : el álgebra no conmutativa de operadores en un espacio de Hilbert tiene como límite singular el álgebra de Poisson de funciones en una variedad simpléctica , y las propiedades del álgebra no conmutativa pasan a ser propiedades correspondientes del álgebra de Poisson.
El corchete de Poisson debe satisfacer las identidades
Para todos en el ring.
Un álgebra de Poisson es un anillo de Poisson que también es un álgebra sobre un cuerpo . En este caso, agregue el requisito adicional
para todos los escalares s .
Para cada g en un anillo de Poisson A , la operación definida como es una derivación . Si el conjunto genera el conjunto de derivaciones de A , entonces se dice que A es no degenerado .
Si un anillo de Poisson no degenerado es isomorfo como un anillo conmutativo al álgebra de funciones suaves en una variedad M , entonces M debe ser una variedad simpléctica y es el corchete de Poisson definido por la forma simpléctica .
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