Ecuaciones que involucran la traza de una matriz.
En matemáticas , una identidad de traza es cualquier ecuación que implique la traza de una matriz .
Propiedades
Las identidades de traza son invariantes bajo conjugación simultánea .
Usos
Se utilizan con frecuencia en la teoría de invariantes de matrices para encontrar los generadores y las relaciones del anillo de invariantes , y por tanto son útiles para responder preguntas similares a la que plantea el decimocuarto problema de Hilbert .![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
- El teorema de Cayley-Hamilton dice que toda matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico . Esto también implica que todas las matrices cuadradas satisfacen
![{\displaystyle \operatorname {tr} \left(A^{n}\right)-c_{n-1}\operatorname {tr} (A)\operatorname {tr} \left(A^{n-1}\ derecha)+\cdots +(-1)^{n}n\det(A)=0\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde los coeficientes están dados por los polinomios simétricos elementales de los valores propios de A.![{\displaystyle c_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Todas las matrices cuadradas satisfacen
![{\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} \left(A^{\mathsf {T}}\right).\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
- Traza la desigualdad : desigualdades que involucran operadores lineales en espacios de HilbertPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
Referencias
Rowen, Louis Halle (2008), Álgebra de posgrado: visión no conmutativa, Estudios de posgrado en Matemáticas , vol. 2, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, pág. 412, ISBN 9780821841532.