Método de Frobenius

Método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

Algunas soluciones de una ecuación diferencial que tiene un punto singular regular con raíces indicales y . ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -1}$

En matemáticas , el método de Frobenius , llamado así en honor a Ferdinand Georg Frobenius , es una forma de encontrar una solución en serie infinita para una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden de la forma con y . $${\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0}$$ ${\textstyle u'\equiv {\frac {du}{dz}}}$ ${\textstyle u''\equiv {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}}$

en las proximidades del punto singular regular . ${\displaystyle z=0}$

Se puede dividir por para obtener una ecuación diferencial de la forma que no será solucionable con métodos de series de potencias regulares si p ( z )/ z o q ( z )/ z ² no es analítica en  z = 0 . El método de Frobenius permite crear una solución de serie de potencias para dicha ecuación diferencial, siempre que p ( z ) y q ( z ) sean analíticas en 0 o, siendo analíticas en otro lugar, ambos límites en 0 existan (y sean finitos). ${\displaystyle z^{2}}$ $${\displaystyle u''+{\frac {p(z)}{z}}u'+{\frac {q(z)}{z^{2}}}u=0}$$

Historia: Aportaciones reales de Frobenius

La contribución de Frobenius ^[1] no estuvo tanto en todas las formas posibles de las soluciones de las series involucradas (ver más abajo). Todas estas formas habían sido establecidas antes, ^[2] por Fuchs. ^{[3] [4]} El polinomio indicial (ver más abajo) y su papel también habían sido establecidos por Fuchs. ^[2]

Una primera contribución de Frobenius a la teoría fue mostrar que - en relación con una primera solución linealmente independiente, que entonces tiene la forma de una serie de potencias analíticas multiplicada por una potencia arbitraria r de la variable independiente (ver más abajo) - los coeficientes de la serie de potencias generalizadas obedecen a una relación de recurrencia , de modo que siempre pueden calcularse de manera directa.

Una segunda contribución de Frobenius fue mostrar que, en los casos en que las raíces de la ecuación indicial difieren en un entero, la forma general de la segunda solución linealmente independiente (ver más abajo) se puede obtener mediante un procedimiento que se basa en la diferenciación ^[5] con respecto al parámetro r , mencionado anteriormente.

Una gran parte de la publicación de Frobenius de 1873 ^[1] estuvo dedicada a las pruebas de convergencia de todas las series involucradas en las soluciones, así como a establecer los radios de convergencia de estas series.

Explicación del método de Frobenius: primera solución linealmente independiente

El método de Frobenius es buscar una solución en serie de potencias de la forma $${\displaystyle u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)}$$

Diferenciando: $${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}$$ $${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}$$

Sustituyendo la diferenciación anterior en nuestra EDO original: $${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\={}&\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}=0\end{aligned}}}$$

La expresión se conoce como polinomio indicial , que es cuadrático en  r . La definición general del polinomio indicial es el coeficiente de la potencia más baja de z en la serie infinita. En este caso, resulta que este es el coeficiente r -ésimo, pero es posible que el exponente más bajo posible sea r  − 2, r  − 1 o algo más, dependiendo de la ecuación diferencial dada. Es importante tener en cuenta este detalle. En el proceso de sincronizar todas las series de la ecuación diferencial para que comiencen en el mismo valor de índice (que en la expresión anterior es  k  = 1), uno puede terminar con expresiones complicadas. Sin embargo, al resolver las raíces indiciales, la atención se centra solo en el coeficiente de la potencia más baja de  z . $${\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)}$$

Usando esto, la expresión general del coeficiente de z ^{k + r} es $${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j},}$$

Estos coeficientes deben ser cero, ya que deben ser soluciones de la ecuación diferencial, por lo que

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=0\\[4pt]\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=-I(k+r)A_{k}\\[4pt]{1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}&=A_{k}\end{aligned}}}$$

La solución de la serie con A _k anterior, satisface $${\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$$ $${\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}}$$

Si elegimos una de las raíces del polinomio indicial para r en U _r ( z ) , obtenemos una solución para la ecuación diferencial. Si la diferencia entre las raíces no es un entero, obtenemos otra solución linealmente independiente en la otra raíz.

Ejemplo

Vamos a resolverlo $${\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0}$$

Dividir por z ² para obtener que tiene la singularidad requerida en  z  = 0. $${\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0}$$

Utilice la solución en serie $${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

Ahora, sustituyendo $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}$$

De ( r − 1) ² = 0 obtenemos una raíz doble de 1. Usando esta raíz, establecemos el coeficiente de z ^{k + r − 2} como cero (para que sea una solución), lo que nos da: por lo tanto tenemos la relación de recurrencia: $${\displaystyle (k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0}$$ $${\displaystyle A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}}$$

Dadas algunas condiciones iniciales, podemos resolver la recurrencia por completo u obtener una solución en forma de serie de potencias.

Dado que la relación de coeficientes es una función racional , la serie de potencias puede escribirse como una serie hipergeométrica generalizada . ${\displaystyle A_{k}/A_{k-1}}$

"Los casos excepcionales": raíces separadas por un entero

El ejemplo anterior involucraba un polinomio indicial con una raíz repetida, que da solo una solución a la ecuación diferencial dada. En general, el método de Frobenius da dos soluciones independientes siempre que las raíces de la ecuación indicial no estén separadas por un número entero (incluido el cero).

Si la raíz se repite o las raíces difieren en un entero, entonces la segunda solución se puede encontrar usando: donde es la primera solución (basada en la raíz más grande en el caso de raíces desiguales), es la raíz más pequeña, y se deben determinar la constante C y los coeficientes . Una vez que se elige (por ejemplo, estableciéndolo en 1), entonces C y se determinan hasta pero sin incluir , que se puede establecer arbitrariamente. Esto luego determina el resto de En algunos casos, la constante C debe ser cero. $${\displaystyle y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}}$$ ${\displaystyle y_{1}(x)}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle B_{r_{1}-r_{2}}}$ ${\displaystyle B_{k}.}$

Ejemplo : considere la siguiente ecuación diferencial ( ecuación de Kummer con a = 1 y b = 2 ): Las raíces de la ecuación indicial son −1 y 0. Dos soluciones independientes son y, por lo tanto, vemos que el logaritmo no aparece en ninguna solución. La solución tiene una serie de potencias que comienza con la potencia cero. En una serie de potencias que comienza con la relación de recurrencia no hay restricción en el coeficiente para el término que puede establecerse arbitrariamente. Si se establece en cero, entonces con esta ecuación diferencial todos los demás coeficientes serán cero y obtenemos la solución 1/ z . $${\displaystyle zu''+(2-z)u'-u=0}$$ ${\displaystyle 1/z}$ ${\displaystyle e^{z}/z,}$ ${\displaystyle (e^{z}-1)/z}$ ${\displaystyle z^{-1}}$ ${\displaystyle z^{0},}$

Relaciones de recurrencia en tándem para coeficientes de series en casos excepcionales

En los casos en que las raíces del polinomio indicial difieren en un entero (incluido el cero), los coeficientes de todas las series involucradas en segundas soluciones linealmente independientes se pueden calcular directamente a partir de relaciones de recurrencia en tándem . ^[5] Estas relaciones en tándem se pueden construir desarrollando aún más la invención original de Frobenius de diferenciar con respecto al parámetro r , y usando este enfoque para calcular realmente los coeficientes de la serie en todos los casos. ^[5]

Véase también

• Teorema de Fuchs
• Punto singular regular
• Serie Laurent

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Método Frobenius". MathWorld .
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.(Versión borrador disponible en línea en https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/). El capítulo 4 contiene el método completo, incluidas las pruebas.

Referencias

1. Frobenius, Ferdinand Georg (1968) [Originalmente en Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214-235 (1873)]. "Uber die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen". Gesammelte Abhandlungen (en alemán). Berlín: Springer-Verlag. págs. 84-105.
2. Gray, Jeremy (1986). Ecuaciones diferenciales lineales y teoría de grupos desde Riemann hasta Poincaré . Boston: Birkhauser. ISBN 0-8176-3318-9.
3. Fuchs, Lázaro Immanuel (1865). "Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coficienten". Gesammelte Mathematische Werke von L. Fuchs (en alemán). Biblioteca de la Universidad de Michigan.
4. Fuchs, Lázaro Immanuel (1866). "Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veranderlichen Coficienten". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 66 : 159-204.
5. van der Toorn, Ramses (27 de diciembre de 2022). "Relaciones de recurrencia en tándem para coeficientes de soluciones de series logarítmicas de Frobenius sobre puntos singulares regulares". Axiomas . 12 (1): 32. doi : 10.3390/axioms12010032 . ISSN  2075-1680.