Símbolo 6-j

Diagrama de Jucys para el símbolo Wigner 6-j. El signo más en los nodos indica una lectura en sentido antihorario de las líneas circundantes. Debido a sus simetrías, existen muchas formas de dibujar el diagrama. Se puede crear una configuración equivalente tomando su imagen reflejada y cambiando así los signos más por signos menos.

Los símbolos 6- j de Wigner fueron introducidos por Eugene Paul Wigner en 1940 y publicados en 1965. Se definen como una suma sobre productos de cuatro símbolos 3-j de Wigner .

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=\sum _{m_{1},\dots ,m_{6}}(-1)^{\sum _{k=1}^{6}(j_{k}-m_{k})}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\m_{1}&-m_{5}&m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\m_{4}&m_{2}&-m_{6}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\-m_{4}&m_{5}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

La suma es sobre los seis m _i permitidos por las reglas de selección de los 3 -j símbolos.

Están estrechamente relacionados con los coeficientes W de Racah , que se utilizan para reacoplar 3 momentos angulares, aunque los símbolos Wigner 6- j tienen mayor simetría y por lo tanto proporcionan un medio más eficiente para almacenar los coeficientes de reacoplamiento. ^[1] Su relación está dada por:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

Relaciones de simetría

El símbolo 6- j es invariante bajo cualquier permutación de las columnas:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}=\cdots }$

El símbolo 6- j también es invariante si se intercambian los argumentos superior e inferior en dos columnas:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

Estas ecuaciones reflejan las 24 operaciones de simetría del grupo de automorfismos que dejan invariante el grafo de Yutsis tetraédrico asociado con 6 aristas: operaciones de espejo que intercambian dos vértices y un intercambio de un par de aristas adyacentes.

El símbolo 6- j

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

es cero a menos que j ₁ , j ₂ y j ₃ satisfagan las condiciones del triángulo, es decir,

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}}$

En combinación con la relación de simetría para intercambiar argumentos superiores e inferiores, esto demuestra que las condiciones del triángulo también deben cumplirse para las tríadas ( j ₁ , j ₅ , j ₆ ), ( j ₄ , j ₂ , j ₆ ) y ( j ₄ , j ₅ , j ₃ ). Además, la suma de los elementos de cada tríada debe ser un entero. Por lo tanto, los miembros de cada tríada son todos enteros o contienen un entero y dos medios enteros.

Caso especial

Cuando j ₆ = 0 la expresión para el símbolo 6- j es:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

El delta triangular { j ₁   j ₂   j ₃ } es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones del triángulo, y cero en caso contrario. Las relaciones de simetría se pueden utilizar para hallar la expresión cuando otra j es igual a cero.

Relación de ortogonalidad

Los símbolos 6- j satisfacen esta relación de ortogonalidad:

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}.}$

Asintóticos

^{Ponzano y Regge [2]} propusieron por primera vez una fórmula notable para el comportamiento asintótico del símbolo 6- j , que luego fue demostrada por Roberts ^[3] . La fórmula asintótica se aplica cuando se consideran grandes los seis números cuánticos j ₁ , ..., j _{6 y asocia al símbolo 6-} j la geometría de un tetraedro. Si el símbolo 6- j está determinado por los números cuánticos j ₁ , ..., j _6, el tetraedro asociado tiene longitudes de arista J _i = j _i +1/2 (i=1,...,6) y la fórmula asintótica está dada por,

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}\sim {\frac {1}{\sqrt {12\pi |V|}}}\cos {\left(\sum _{i=1}^{6}J_{i}\theta _{i}+{\frac {\pi }{4}}\right)}.}$

La notación es la siguiente: Cada θ _i es el ángulo diedro externo alrededor del borde J _i del tetraedro asociado y el factor de amplitud se expresa en términos del volumen, V , de este tetraedro.

Interpretación matemática

En la teoría de la representación , los símbolos 6- j son coeficientes matriciales del isomorfismo del asociador en una categoría tensorial . ^[4] Por ejemplo, si nos dan tres representaciones V _i , V _j , V _k de un grupo (o grupo cuántico ), uno tiene un isomorfismo natural

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\to V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$

de representaciones de productos tensoriales, inducidas por la coasociatividad de la biálgebra correspondiente . Uno de los axiomas que definen una categoría monoidal es que los asociadores satisfacen una identidad de pentágono, que es equivalente a la identidad de Biedenharn-Elliot para 6- j símbolos.

Cuando una categoría monoidal es semisimple, podemos restringir nuestra atención a objetos irreducibles y definir espacios de multiplicidad.

${\displaystyle H_{i,j}^{\ell }=\operatorname {Hom} (V_{\ell },V_{i}\otimes V_{j})}$

de modo que los productos tensoriales se descomponen como:

${\displaystyle V_{i}\otimes V_{j}=\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes V_{\ell }}$

donde la suma es sobre todas las clases de isomorfismo de objetos irreducibles. Entonces:

${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}\cong \bigoplus _{\ell ,m}H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\otimes V_{m}\qquad {\text{while}}\qquad V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})\cong \bigoplus _{m,n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}\otimes V_{m}}$

El isomorfismo de asociatividad induce un isomorfismo de espacio vectorial

${\displaystyle \Phi _{i,j}^{k,m}:\bigoplus _{\ell }H_{i,j}^{\ell }\otimes H_{\ell ,k}^{m}\to \bigoplus _{n}H_{i,n}^{m}\otimes H_{j,k}^{n}}$

y los símbolos 6j se definen como los mapas de componentes:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}i&j&\ell \\k&m&n\end{Bmatrix}}=(\Phi _{i,j}^{k,m})_{\ell ,n}}$

Cuando los espacios de multiplicidad tienen elementos base canónicos y dimensión como máximo uno (como en el caso de SU (2) en el entorno tradicional), estos mapas de componentes se pueden interpretar como números y los 6- j símbolos se convierten en coeficientes matriciales ordinarios.

En términos abstractos, los símbolos 6- j son precisamente la información que se pierde al pasar de una categoría monoidal semisimple a su anillo de Grothendieck , ya que se puede reconstruir una estructura monoidal utilizando el asociador. Para el caso de representaciones de un grupo finito, es bien sabido que la tabla de caracteres por sí sola (que determina la categoría abeliana subyacente y la estructura del anillo de Grothendieck) no determina un grupo hasta el isomorfismo, mientras que la estructura de la categoría monoidal simétrica sí lo hace, por dualidad de Tannaka-Krein . En particular, los dos grupos no abelianos de orden 8 tienen categorías abelianas equivalentes de representaciones y anillos de Grothendieck isomorfos, pero los símbolos 6- j de sus categorías de representación son distintos, es decir, sus categorías de representación son inequivalentes como categorías monoidales. Así, los símbolos 6- j dan un nivel intermedio de información, que de hecho determina de forma única los grupos en muchos casos, como cuando el grupo es de orden impar o simple. ^[5]

Véase también

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Símbolo 3-j
• Coeficiente W de Racah
• Símbolo 9-j
• Representaciones de grupos de Lie clásicos

Notas

1. Rasch, J.; Yu, ACH (2003). "Esquema de almacenamiento eficiente para coeficientes de Wigner 3j, 6j y Gaunt precalculados". SIAM J. Sci. Comput . 25 (4): 1416–1428. doi :10.1137/s1064827503422932.
2. Ponzano, G.; Regge, T. (1968). "Límite semiclásico de coeficientes de Racah". Espectroscopia y métodos teóricos de grupos en física . Elsevier. págs. 1–58. ISBN. 978-0-444-10147-1.
3. Roberts J (1999). "Símbolos 6j clásicos y el tetraedro". Geometría y topología . 3 : 21–66. arXiv : math-ph/9812013 . doi :10.2140/gt.1999.3.21. S2CID  9678271.
4. Etingof, P.; Gelaki, S.; Nikshych, D.; Ostrik, V. (2009). Categorías tensoriales. Apuntes de conferencias para MIT 18.769 (PDF) .
5. Etingof, P.; Gelaki, S. (2001). "Grupos isocategóricos". International Mathematics Research Notices . 2001 (2): 59–76. arXiv : math/0007196 . CiteSeerX 10.1.1.239.6293 . doi : 10.1155/S1073792801000046 . 

Referencias

• Biedenharn, LC ; van Dam, H. (1965). Teoría cuántica del momento angular: una colección de reimpresiones y artículos originales . Academic Press . ISBN 0-12-096056-7.

• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton University Press . ISBN 0-691-07912-9.
• Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). "3. Momento angular". La teoría de los espectros atómicos . Cambridge University Press . ISBN 0-521-09209-4.
• Maximon, Leonard C. (2010), "Símbolos 3j, 6j, 9j", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Messiah, Albert (1981). Mecánica cuántica . Vol. II (12.ª ed.). North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7.

• Brink, DM; Satchler, GR (1993). "2. Representaciones del grupo de rotación" . Momento angular (3.ª ed.). Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
• Zare, Richard N. (1988). "2. Acoplamiento de dos vectores de momento angular". Momento angular . Wiley . ISBN 0-471-85892-7.

• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Addison-Wesley . ISBN. 0-201-13507-8.

Enlaces externos

• Regge, T. (1959). "Propiedades de simetría de los coeficientes de Racah". Nuovo Cimento . 11 (1): 116–7. Bibcode :1959NCim...11..116R. doi :10.1007/BF02724914. S2CID  121333785.
• Stone, Anthony. "Calculadora del coeficiente de Wigner".(Da la respuesta exacta)
• Simons, Frederik J. "Archivo de software de Matlab, el código SIXJ.M".
• Volya, A. "Calculadora web de coeficientes 3-j y 6-j de Clebsch-Gordan". Archivado desde el original el 20 de diciembre de 2012.
• Laboratorio de Plasma del Instituto de Ciencias Weizmann. "Calculadora del símbolo 369j".
• Biblioteca científica GNU . "Coeficientes de acoplamiento".
• Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)".(preciso; C, fortran, python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)".(búsqueda rápida, precisa; C, fortran)