Símbolo 9-j

Símbolo utilizado en mecánica cuántica

Diagrama de Jucys para el símbolo 9-j de Wigner. El diagrama describe una suma de seis símbolos 3-jm . Los signos más en cada nodo indican una lectura en sentido antihorario de las líneas para el símbolo 3-jm, mientras que los signos menos indican una lectura en sentido horario. Debido a sus simetrías, existen muchas formas en las que se puede dibujar el diagrama.

En física, los símbolos 9- j de Wigner fueron introducidos por Eugene Paul Wigner en 1937. Están relacionados con los coeficientes de reacoplamiento en la mecánica cuántica que involucran cuatro momentos angulares:

${\displaystyle {\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle =\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}$

Reacoplamiento de cuatro vectores de momento angular

El acoplamiento de dos momentos angulares y es la construcción de funciones propias simultáneas de y , donde , como se explica en el artículo sobre los coeficientes de Clebsch-Gordan . ${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}}$

El acoplamiento de tres momentos angulares se puede realizar de varias maneras, como se explica en el artículo sobre los coeficientes W de Racah . Utilizando la notación y las técnicas de ese artículo, los estados de momento angular total que surgen del acoplamiento de los vectores de momento angular , , y pueden escribirse como ${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{5}}$

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle .}$

Alternativamente, uno puede primero acoplar y a y y a , antes de acoplar y a : ${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{7}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{5}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{8}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{7}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{8}}$ ${\displaystyle \mathbf {j} _{9}}$

${\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle .}$

Ambos conjuntos de funciones proporcionan una base ortonormal completa para el espacio con dimensión abarcada por ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{4}+1)(2j_{5}+1)}$

${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{4}m_{4}\rangle |j_{5}m_{5}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{4}=-j_{4},\ldots ,j_{4};\;\;m_{5}=-j_{5},\ldots ,j_{5}.}$

Por lo tanto, la transformación entre los dos conjuntos es unitaria y los elementos de la matriz de la transformación están dados por los productos escalares de las funciones. Como en el caso de los coeficientes W de Racah, los elementos de la matriz son independientes del número cuántico de proyección del momento angular total ( ): ${\displaystyle m_{9}}$

${\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle =\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle \langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}$

Relaciones de simetría

Un símbolo 9- j es invariante bajo la reflexión sobre cualquier diagonal e incluso sobre permutaciones de sus filas o columnas:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{7}&j_{4}&j_{1}\\j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\end{Bmatrix}}.}$

Una permutación impar de filas o columnas produce un factor de fase , donde ${\displaystyle (-1)^{S}}$

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{9}j_{i}.}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.}$

Reducción a símbolos 6j

Los símbolos 9- j se pueden calcular como sumas sobre productos triples de símbolos 6- j donde la suma se extiende sobre todos los x admitidos por las condiciones del triángulo en los factores:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\sum _{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{8}&j_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{4}&x&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\\x&j_{1}&j_{2}\end{Bmatrix}}}$.

Caso especial

Cuando el símbolo 9- j es proporcional a un símbolo 6-j : ${\displaystyle j_{9}=0}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3},j_{6}}\delta _{j_{7},j_{8}}}{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{7}+1)}}}(-1)^{j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{7}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{7}\end{Bmatrix}}.}$

Relación de ortogonalidad

Los símbolos 9- j satisfacen esta relación de ortogonalidad:

${\displaystyle \sum _{j_{7}j_{8}}(2j_{7}+1)(2j_{8}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}'\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3}j_{3}'}\delta _{j_{6}j_{6}'}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}}{(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}.}$

El delta triangular { j ₁   j ₂   j ₃ } es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones del triángulo, y cero en caso contrario.

3norte-j símbolos

El símbolo 6-j es el primer representante, n = 2 , de 3 símbolos n - j que se definen como sumas de productos de n de los coeficientes 3- jm de Wigner . Las sumas son sobre todas las combinaciones de m que admiten los 3 coeficientes n - j , es decir, que conducen a contribuciones no nulas.

Si cada factor 3- jm está representado por un vértice y cada j por una arista, estos 3 n - j símbolos pueden ser mapeados en ciertos grafos 3-regulares con 3 n aristas y 2 n nodos. El símbolo 6- j está asociado con el grafo K 4 en 4 vértices, el símbolo 9- j con el grafo de utilidad en 6 vértices ( K _{3,3 ), y los dos símbolos 12-} j distintos (no isomorfos) con los grafos Q 3 y Wagner en 8 vértices. Las relaciones de simetría son generalmente representativas del grupo de automorfismos de estos grafos.

Véase también

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Símbolo 3-j , también llamado símbolo 3-jm
• Coeficiente W de Racah
• Símbolo 6-j

Referencias

• Biedenharn, LC; van Dam, H. (1965). Teoría cuántica del momento angular: una colección de reimpresiones y artículos originales . Nueva York: Academic Press . ISBN 0120960567.
• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-07912-9.
• Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). "Capítulo 3". La teoría de los espectros atómicos. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09209-4.
• Maximon, Leonard C. (2010), "Símbolos 3j,6j,9j", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Messiah, Albert (1981). Mecánica cuántica (volumen II) (12.ª ed.). Nueva York: North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7.
• Brink, DM; Satchler, GR (1993). "Capítulo 2". Momento angular (3.ª ed.). Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
• Zare, Richard N. (1988). "Capítulo 2". Momento angular . Nueva York: John Wiley . ISBN 0-471-85892-7.
• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Momento angular en física cuántica . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley . ISBN 0201135078.
• Varshalovich, DA; Moskalev, AN; Khersonskii, VK (1988). Teoría cuántica del momento angular . Singapur: World Scientific . ISBN. 9971-50-107-4.
• Jahn, HA; Hope, J. (1954). "Propiedades de simetría del símbolo Wigner 9j". Physical Review . 93 (2): 318. Bibcode :1954PhRv...93..318J. doi :10.1103/PhysRev.93.318.

Enlaces externos

• Stone, Anthony. "Calculadora del coeficiente de Wigner".(Da la respuesta en fracciones exactas)
• Laboratorio de Plasma del Instituto de Ciencias Weizmann. "Calculadora del símbolo 369j".(Respuesta como números de punto flotante)
• Joder, Veerl; van Dyck, Dries. "Subprograma GYutsis".
• Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)".(preciso; C, fortran, python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)".(búsqueda rápida, precisa; C, fortran)