Representaciones de grupos de Lie clásicos

En matemáticas, las representaciones de dimensión finita de los grupos de Lie clásicos complejos , , , , , se pueden construir utilizando la teoría de representación general de álgebras de Lie semisimples . Los grupos , , son de hecho grupos de Lie simples , y sus representaciones de dimensión finita coinciden ^[1] con las de sus subgrupos compactos máximos , respectivamente , , . En la clasificación de álgebras de Lie simples , las álgebras correspondientes son ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle SO(n)}$ ${\displaystyle Sp(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}SL(n,\mathbb {C} )&\to A_{n-1}\\SO(n_{\text{odd}},\mathbb {C} )&\to B_{\frac {n-1}{2}}\\SO(n_{\text{even}},\mathbb {C} )&\to D_{\frac {n}{2}}\\Sp(2n,\mathbb {C} )&\to C_{n}\end{aligned}}}$

Sin embargo, dado que los grupos de Lie clásicos complejos son grupos lineales , sus representaciones son representaciones tensoriales . Cada representación irreducible está etiquetada por un diagrama de Young , que codifica su estructura y propiedades.

Grupo lineal general,grupo lineal especialygrupo unitario

La construcción de representaciones tensoriales de Weyl

Sea la representación definitoria del grupo lineal general . Las representaciones tensoriales son las subrepresentaciones de (a veces se las llama representaciones polinómicas). Las subrepresentaciones irreducibles de son las imágenes de mediante funtores de Schur asociados a particiones enteras de en como máximo números enteros, es decir, a diagramas de Young de tamaño con . (Si entonces .) Los funtores de Schur se definen utilizando simetrizadores de Young del grupo simétrico , que actúa naturalmente sobre . Escribimos . ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle V^{\otimes k}}$ ${\displaystyle V^{\otimes k}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=k}$ ${\displaystyle \lambda _{n+1}=0}$ ${\displaystyle \lambda _{n+1}>0}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(V)=0}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle V^{\otimes k}}$ ${\displaystyle V_{\lambda }=\mathbb {S} ^{\lambda }(V)}$

Las dimensiones de estas representaciones irreducibles son ^[1]

${\displaystyle \dim V_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}=\prod _{(i,j)\in \lambda }{\frac {n-i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

¿Dónde está la longitud del gancho de la célula en el diagrama de Young ? ${\displaystyle h_{\lambda }(i,j)}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \lambda }$

• La primera fórmula para la dimensión es un caso especial de una fórmula que da los caracteres de las representaciones en términos de polinomios de Schur , ^[1] donde son los valores propios de . ${\displaystyle \chi _{\lambda }(g)=s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle g\in GL(n,\mathbb {C} )}$
• La segunda fórmula para la dimensión a veces se denomina fórmula de contenido de gancho de Stanley . ^[2]

Ejemplos de representaciones tensoriales:

Representaciones generales irreducibles

No todas las representaciones irreducibles de son representaciones tensoriales. En general, las representaciones irreducibles de son representaciones tensoriales mixtas, es decir, subrepresentaciones de , donde es la representación dual de (a veces se las llama representaciones racionales). Al final, el conjunto de representaciones irreducibles de está etiquetado por secuencias no crecientes de números enteros . Si , podemos asociar al par de tablas de Young . Esto muestra que las representaciones irreducibles de pueden etiquetarse por pares de tablas de Young . Denotemos la representación irreducible de correspondiente al par o equivalentemente a la secuencia . Con estas notaciones, ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle V^{\otimes r}\otimes (V^{*})^{\otimes s}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \dots \geq \lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\geq 0,\lambda _{k+1}\leq 0}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle ([\lambda _{1}\dots \lambda _{k}],[-\lambda _{n},\dots ,-\lambda _{k+1}])}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle V_{\lambda \mu }=V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (\lambda ,\mu )}$ ${\displaystyle (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$

• ${\displaystyle V_{\lambda }=V_{\lambda ()},V=V_{(1)()}}$

• ${\displaystyle (V_{\lambda \mu })^{*}=V_{\mu \lambda }}$

• Para , que denota la representación unidimensional en la que actúa por , . Si es lo suficientemente grande como para que , esto da una descripción explícita de en términos de un funtor de Schur. ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle D_{k}}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (\det )^{k}}$ ${\displaystyle V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}=V_{\lambda _{1}+k,\dots ,\lambda _{n}+k}\otimes D_{-k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda _{n}+k\geq 0}$ ${\displaystyle V_{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}}$

• La dimensión de dónde está ${\displaystyle V_{\lambda \mu }}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}),\mu =(\mu _{1},\dots ,\mu _{s})}$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda \mu })=d_{\lambda }d_{\mu }\prod _{i=1}^{r}{\frac {(1-i-s+n)_{\lambda _{i}}}{(1-i+r)_{\lambda _{i}}}}\prod _{j=1}^{s}{\frac {(1-j-r+n)_{\mu _{i}}}{(1-j+s)_{\mu _{i}}}}\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}{\frac {n+1+\lambda _{i}+\mu _{j}-i-j}{n+1-i-j}}}$donde . ^[3] Véase ^[4] para una interpretación como un producto de factores n-dependientes dividido por productos de longitudes de gancho. ${\displaystyle d_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq r}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}}$

Caso del grupo lineal especial

Dos representaciones de son equivalentes como representaciones del grupo lineal especial si y solo si existe tal que . ^[1] Por ejemplo, la representación del determinante es trivial en , es decir, es equivalente a . En particular, las representaciones irreducibles de pueden indexarse ​​mediante tablas de Young, y son todas representaciones tensoriales (no mixtas). ${\displaystyle V_{\lambda },V_{\lambda '}}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \forall i,\ \lambda _{i}-\lambda '_{i}=k}$ ${\displaystyle V_{(1^{n})}}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle V_{()}}$ ${\displaystyle SL(n,\mathbb {C} )}$

Caso del grupo unitario

El grupo unitario es el subgrupo compacto máximo de . La complejización de su álgebra de Lie es el álgebra . En términos teóricos de Lie, es la forma real compacta de , lo que significa que las representaciones irreducibles lineales y continuas complejas de este último están en correspondencia biunívoca con las irreps lineales y algebraicas complejas del primero, a través de la inclusión . ^[5] ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)=\{a\in {\mathcal {M}}(n,\mathbb {C} ),a^{\dagger }+a=0\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle U(n)\rightarrow GL(n,\mathbb {C} )}$

Productos tensoriales

Los productos tensoriales de representaciones de dimensión finita de se dan mediante la siguiente fórmula: ^[6] ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle V_{\lambda _{1}\mu _{1}}\otimes V_{\lambda _{2}\mu _{2}}=\bigoplus _{\nu ,\rho }V_{\nu \rho }^{\oplus \Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }},}$

donde a menos que y . Llamando al número de líneas en una tabla, si , entonces ${\displaystyle \Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }=0}$ ${\displaystyle |\nu |\leq |\lambda _{1}|+|\lambda _{2}|}$ ${\displaystyle |\rho |\leq |\mu _{1}|+|\mu _{2}|}$ ${\displaystyle l(\lambda )}$ ${\displaystyle l(\lambda _{1})+l(\lambda _{2})+l(\mu _{1})+l(\mu _{2})\leq n}$

${\displaystyle \Gamma _{\lambda _{1}\mu _{1},\lambda _{2}\mu _{2}}^{\nu \rho }=\sum _{\alpha ,\beta ,\eta ,\theta }\left(\sum _{\kappa }c_{\kappa ,\alpha }^{\lambda _{1}}c_{\kappa ,\beta }^{\mu _{2}}\right)\left(\sum _{\gamma }c_{\gamma ,\eta }^{\lambda _{2}}c_{\gamma ,\theta }^{\mu _{1}}\right)c_{\alpha ,\theta }^{\nu }c_{\beta ,\eta }^{\rho },}$

donde los números enteros naturales son coeficientes de Littlewood-Richardson . ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

A continuación se muestran algunos ejemplos de dichos productos tensoriales:

En el caso de representaciones tensoriales, se conocen símbolos 3-j y símbolos 6-j . ^[7]

Grupo ortogonalygrupo ortogonal especial

Además de las representaciones del grupo de Lie descritas aquí, el grupo ortogonal y el grupo ortogonal especial tienen representaciones de espín , que son representaciones proyectivas de estos grupos, es decir, representaciones de sus grupos de cobertura universales . ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$

Construcción de representaciones

Dado que es un subgrupo de , cualquier representación irreducible de es también una representación de , que sin embargo puede no ser irreducible. Para que una representación tensorial de sea irreducible, los tensores deben ser sin traza. ^[8] ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$

Las representaciones irreducibles de están parametrizadas por un subconjunto de los diagramas de Young asociados a representaciones irreducibles de : los diagramas tales que la suma de las longitudes de las dos primeras columnas es como máximo . ^[8] La representación irreducible que corresponde a dicho diagrama es una subrepresentación de la representación correspondiente . Por ejemplo, en el caso de tensores simétricos, ^[1] ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{\lambda }}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle V_{\lambda }}$

${\displaystyle V_{(k)}=U_{(k)}\oplus V_{(k-2)}}$

Caso del grupo ortogonal especial

El tensor antisimétrico es una representación unidimensional de , lo cual es trivial para . Entonces, donde se obtiene de actuando sobre la longitud de la primera columna como . ${\displaystyle U_{(1^{n})}}$ ${\displaystyle O(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle U_{(1^{n})}\otimes U_{\lambda }=U_{\lambda '}}$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\to n-{\tilde {\lambda }}_{1}}$

• En el caso impar, las representaciones irreducibles de están parametrizadas por diagramas de Young con filas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n-1}{2}}}$
• Porque incluso, sigue siendo irreducible como representación si , pero se reduce a una suma de dos representaciones no equivalentes si . ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{\lambda }}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}\leq {\frac {n}{2}}-1}$ ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\tilde {\lambda }}_{1}={\frac {n}{2}}}$

Por ejemplo, las representaciones irreducibles de corresponden a diagramas de Young de los tipos . Las representaciones irreducibles de corresponden a , y . Por otra parte, las dimensiones de las representaciones de espín de son números enteros pares. ^[1] ${\displaystyle O(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (k\geq 0),(k\geq 1,1),(1,1,1)}$ ${\displaystyle SO(3,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle (k\geq 0)}$ ${\displaystyle \dim U_{(k)}=2k+1}$ ${\displaystyle SO(3,\mathbb {C} )}$

Dimensiones

Las dimensiones de las representaciones irreducibles de se dan mediante una fórmula que depende de la paridad de : ^[4] ${\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (n{\text{ even}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}}$

${\displaystyle (n{\text{ odd}})\qquad \dim U_{\lambda }=\prod _{1\leq i<j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}-i+j}{-i+j}}\prod _{1\leq i\leq j\leq {\frac {n-1}{2}}}{\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+n-i-j}{n-i-j}}}$

También existe una expresión como polinomio factorizado en : ^[4] ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim U_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\geq j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i<j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j-2}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

donde son respectivamente las longitudes de fila, las longitudes de columna y las longitudes de gancho . En particular, las representaciones antisimétricas tienen las mismas dimensiones que sus contrapartes, pero las representaciones simétricas no. ${\displaystyle \lambda _{i},{\tilde {\lambda }}_{i},h_{\lambda }(i,j)}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \dim U_{(1^{k})}=\dim V_{(1^{k})}}$

${\displaystyle \dim U_{(k)}=\dim V_{(k)}-\dim V_{(k-2)}={\binom {n+k-1}{k}}-{\binom {n+k-3}{k}}}$

Productos tensoriales

En el rango estable , las multiplicidades del producto tensorial que aparecen en la descomposición del producto tensorial son números de Newell-Littlewood , que no dependen de . ^[9] Más allá del rango estable, las multiplicidades del producto tensorial se convierten en modificaciones dependientes de los números de Newell-Littlewood. ^{[10] [9] [11]} Por ejemplo, para , tenemos ${\displaystyle |\mu |+|\nu |\leq \left[{\frac {n}{2}}\right]}$ ${\displaystyle U_{\lambda }\otimes U_{\mu }=\oplus _{\nu }N_{\lambda ,\mu ,\nu }U_{\nu }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 12}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[1]\otimes [1]&=[2]+[11]+[]\\{}[1]\otimes [2]&=[21]+[3]+[1]\\{}[1]\otimes [11]&=[111]+[21]+[1]\\{}[1]\otimes [21]&=[31]+[22]+[211]+[2]+[11]\\{}[1]\otimes [3]&=[4]+[31]+[2]\\{}[2]\otimes [2]&=[4]+[31]+[22]+[2]+[11]+[]\\{}[2]\otimes [11]&=[31]+[211]+[2]+[11]\\{}[11]\otimes [11]&=[1111]+[211]+[22]+[2]+[11]+[]\\{}[21]\otimes [3]&=[321]+[411]+[42]+[51]+[211]+[22]+2[31]+[4]+[11]+[2]\end{aligned}}}$

Reglas de ramificación del grupo lineal general

Dado que el grupo ortogonal es un subgrupo del grupo lineal general, las representaciones de se pueden descomponer en representaciones de . La descomposición de una representación tensorial se da en términos de coeficientes de Littlewood-Richardson mediante la regla de restricción de Littlewood ^[12] ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$

${\displaystyle V_{\nu }^{GL(n)}=\sum _{\lambda ,\mu }c_{\lambda ,2\mu }^{\nu }U_{\lambda }^{O(n)}}$

donde es una partición en números enteros pares. La regla es válida en el rango estable . La generalización a representaciones tensoriales mixtas es ${\displaystyle 2\mu }$ ${\displaystyle 2|\nu |,{\tilde {\lambda }}_{1}+{\tilde {\lambda }}_{2}\leq n}$

${\displaystyle V_{\lambda \mu }^{GL(n)}=\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }c_{\alpha ,2\gamma }^{\lambda }c_{\beta ,2\delta }^{\mu }c_{\alpha ,\beta }^{\nu }U_{\nu }^{O(n)}}$

Se pueden escribir reglas de ramificación similares para el grupo simpléctico. ^[12]

Grupo simpléctico

Representaciones

Las representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo simpléctico están parametrizadas por diagramas de Young con un máximo de filas. La dimensión de la representación correspondiente es ^[8] ${\displaystyle Sp(2n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim W_{\lambda }=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}+n-i+1}{n-i+1}}\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}\cdot {\frac {\lambda _{i}+\lambda _{j}+2n-i-j+2}{2n-i-j+2}}}$

También existe una expresión como polinomio factorizado en : ^[4] ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \dim W_{\lambda }=\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i>j}{\frac {n+\lambda _{i}+\lambda _{j}-i-j+2}{h_{\lambda }(i,j)}}\prod _{(i,j)\in \lambda ,\ i\leq j}{\frac {n-{\tilde {\lambda }}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{j}+i+j}{h_{\lambda }(i,j)}}}$

Productos tensoriales

Al igual que en el caso del grupo ortogonal, las multiplicidades de productos tensoriales están dadas por números de Newell-Littlewood en el rango estable y modificaciones de los mismos más allá del rango estable.

Enlaces externos

• Servicio en línea Lie, una interfaz en línea para el software Lie.

Referencias

1. William Fulton; Joe Harris (2004). "Teoría de la representación". Textos de posgrado en matemáticas . doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISSN  0072-5285. Wikidata  Q55865630.
2. Hawkes, Graham (19 de octubre de 2013). "Una prueba elemental de la fórmula del contenido del gancho". arXiv : 1310.5919v2 [math.CO].
3. Binder, D. - Rychkov, S. (2020). "Categorías de Deligne en modelos de red y teoría cuántica de campos, o cómo dar sentido a la simetría O(N) con N no entero". Journal of High Energy Physics . 2020 (4): 117. arXiv : 1911.07895 . Código Bibliográfico :2020JHEP...04..117B. doi : 10.1007/JHEP04(2020)117 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
4. N El Samra; RC King (diciembre de 1979). "Dimensiones de las representaciones irreducibles de los grupos de Lie clásicos". Journal of Physics A . 12 (12): 2317–2328. doi :10.1088/0305-4470/12/12/010. ISSN  1751-8113. Zbl  0445.22020. Wikidata  Q104601301.
5. Cvitanović, Predrag (2008). Teoría de grupos: huellas de pájaros, de Lie y grupos excepcionales.
6. Koike, Kazuhiko (1989). "Sobre la descomposición de productos tensoriales de las representaciones de los grupos clásicos: por medio de los caracteres universales". Advances in Mathematics . 74 : 57–86. doi : 10.1016/0001-8708(89)90004-2 .
7. Artamonov, Dmitry (9 de mayo de 2024). "Cálculo de símbolos para el álgebra de Lie ". arXiv : 2405.05628 [math.RT]. ${\displaystyle 6j}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$
8. Hamermesh, Morton (1989). Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos . Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-66181-4.OCLC 20218471  .
9. Gao, Shiliang; Orelowitz, Gidon; Yong, Alexander (2021). "Números de Newell-Littlewood". Transacciones de la American Mathematical Society . 374 (9): 6331–6366. arXiv : 2005.09012v1 . doi :10.1090/tran/8375. S2CID  218684561.
10. Steven Sam (18 de enero de 2010). «Coeficientes de Littlewood-Richardson para grupos clásicos». Tonterías concretas . Archivado desde el original el 18 de junio de 2019. Consultado el 5 de enero de 2021 .
11. Kazuhiko Koike; Itaru Terada (mayo de 1987). "Métodos diagramáticos de Young para la teoría de la representación de los grupos clásicos de tipo Bn, Cn, Dn". Revista de Álgebra . 107 (2): 466–511. doi :10.1016/0021-8693(87)90099-8. ISSN  0021-8693. Zbl  0622.20033. Wikidata  Q56443390.
12. Howe, Roger ; Tan, Eng-Chye; Willenbring, Jeb F. (2005). "Reglas de ramificación estables para pares simétricos clásicos". Transactions of the American Mathematical Society . 357 (4): 1601–1626. arXiv : math/0311159 . doi : 10.1090/S0002-9947-04-03722-5 .