Teoría de la representación de SL2(R)

En matemáticas , los principales resultados relativos a las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lie SL(2, R ) se deben a Gelfand y Naimark (1946), V. Bargmann (1947) y Harish-Chandra (1952).

Estructura del álgebra de Lie complejizada

Elegimos una base H , X , Y para la complejización del álgebra de Lie de SL(2, R ) de modo que iH genere el álgebra de Lie de un subgrupo de Cartan compacto K (por lo que en particular las representaciones unitarias se dividen como una suma de espacios propios de H ), y { H , X , Y } es una sl ₂ -triple , lo que significa que satisfacen las relaciones

${\displaystyle [H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H.}$

Una forma de hacerlo es la siguiente:

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}$correspondiente al subgrupo K de matrices ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle X={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&i\\i&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle Y={1 \over 2}{\begin{pmatrix}1&-i\\-i&-1\end{pmatrix}}}$

El operador de Casimir Ω se define como

${\displaystyle \Omega =H^{2}+1+2XY+2YX.}$

Genera el centro del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie complejizada de SL(2, R ). El elemento de Casimir actúa sobre cualquier representación irreducible como multiplicación por algún escalar complejo μ ² . Así, en el caso del álgebra de Lie sl ₂ , el carácter infinitesimal de una representación irreducible se especifica mediante un número complejo.

El centro Z del grupo SL(2, R ) es un grupo cíclico { I , − I } de orden 2, constituido por la matriz identidad y su negativo. En cualquier representación irreducible, el centro actúa o bien de manera trivial, o bien por el carácter no trivial de Z , que representa la matriz - I por multiplicación por -1 en el espacio de representación. En consecuencia, se habla de carácter central trivial o no trivial .

El carácter central y el carácter infinitesimal de una representación irreducible de cualquier grupo de Lie reductivo son invariantes importantes de la representación. En el caso de representaciones irreducibles admisibles de SL(2, R ), resulta que, genéricamente, hay exactamente una representación, salvo un isomorfismo, con los caracteres central e infinitesimal especificados. En los casos excepcionales hay dos o tres representaciones con los parámetros prescritos, todos los cuales han sido determinados.

Representaciones de dimensión finita

Para cada entero no negativo n , el grupo SL(2, R ) tiene una representación irreducible de dimensión n + 1, única salvo isomorfismo. Esta representación puede construirse en el espacio de polinomios homogéneos de grado n en dos variables. El caso n = 0 corresponde a la representación trivial . Una representación finito-dimensional irreducible de un grupo de Lie simple no compacto de dimensión mayor que 1 nunca es unitaria. Por tanto, esta construcción produce solo una representación unitaria de SL(2, R ), la representación trivial.

La teoría de representación de dimensión finita del grupo no compacto SL(2, R ) es equivalente a la teoría de representación de SU(2) , su forma compacta, esencialmente porque sus álgebras de Lie tienen la misma complejización y están "algebraicamente simplemente conexas". (Más precisamente, el grupo SU(2) es simplemente conexo y, aunque SL(2, R ) no lo es, no tiene extensiones centrales algebraicas no triviales.) Sin embargo, en el caso general de dimensión infinita , no hay una correspondencia estrecha entre las representaciones de un grupo y las representaciones de su álgebra de Lie. De hecho, del teorema de Peter-Weyl se deduce que todas las representaciones irreducibles del grupo de Lie compacto SU(2) son de dimensión finita y unitarias. La situación con SL(2, R ) es completamente diferente: posee representaciones irreducibles de dimensión infinita, algunas de las cuales son unitarias y otras no.

Representaciones de series principales

Una técnica importante para construir representaciones de un grupo de Lie reductivo es el método de inducción parabólica . En el caso del grupo SL(2, R ), existe hasta la conjugación solo un subgrupo parabólico propio, el subgrupo de Borel de las matrices triangulares superiores de determinante 1. El parámetro inductor de una representación de serie principal inducida es un carácter (posiblemente no unitario) del grupo multiplicativo de números reales, que se especifica eligiendo ε = ± 1 y un número complejo μ. La representación de serie principal correspondiente se denota I _ε,μ . Resulta que ε es el carácter central de la representación inducida y el número complejo μ puede identificarse con el carácter infinitesimal a través del isomorfismo de Harish-Chandra .

La representación de la serie principal I _ε,μ (o más precisamente su módulo Harish-Chandra de K -elementos finitos) admite una base constituida por elementos w _j , donde el índice j recorre los números pares si ε=1 y los números impares si ε=-1. La acción de X , Y y H está dada por las fórmulas

${\displaystyle H(w_{j})=jw_{j}}$

${\displaystyle X(w_{j})={\mu +j+1 \over 2}w_{j+2}}$

${\displaystyle Y(w_{j})={\mu -j+1 \over 2}w_{j-2}}$

Representaciones admisibles

Utilizando el hecho de que es un vector propio del operador de Casimir y tiene un vector propio para H , se deduce fácilmente que cualquier representación admisible irreducible es una subrepresentación de una representación inducida parabólicamente. (Esto también es cierto para grupos de Lie reductivos más generales y se conoce como el teorema de subrepresentación de Casselman ). Por lo tanto, las representaciones admisibles irreducibles de SL(2, R ) se pueden encontrar descomponiendo las representaciones de la serie principal I _ε,μ en componentes irreducibles y determinando los isomorfismos. Resumimos las descomposiciones de la siguiente manera:

• I _ε,μ es reducible si y solo si μ es un entero y ε=−(−1) ^μ . Si I _ε,μ es irreducible entonces es isomorfo a I _ε,−μ .
• I _{−1, 0} se divide como la suma directa I _ε,0 = D ₊₀ + D ₋₀ de dos representaciones irreducibles, llamadas límite de representaciones de series discretas. D ₊₀ tiene una base w _j para j ≥1, y D ₋₀ tiene una base w _j para j ≤−1,
• Si I _ε,μ es reducible con μ>0 (por lo que ε=−(−1) ^μ ), entonces tiene un único cociente irreducible que tiene dimensión finita μ, y el núcleo es la suma de dos representaciones de series discretas D _+μ + D _−μ . La representación D _μ tiene una base w _{μ+ j} para j ≥1, y D _−μ tiene una base w _{−μ− j} para j ≤−1.
• Si I _ε,μ es reducible con μ<0 (por lo que ε=−(−1) ^μ ) entonces tiene una subrepresentación irreducible única, que tiene dimensión finita -μ, y el cociente es la suma de dos representaciones de series discretas D _+μ + D _−μ .

Esto da la siguiente lista de representaciones admisibles irreducibles:

• Una representación de dimensión finita de la dimensión μ para cada entero positivo μ, con carácter central −(−1) ^μ .
• Dos límites de representaciones de series discretas D ₊₀ , D ₋₀ , con μ=0 y carácter central no trivial.
• Representaciones de series discretas D _μ para μ un entero distinto de cero, con carácter central −(−1) ^μ . ^{[ dudoso – discutir ]}
• Dos familias de representaciones de series principales irreducibles I _ε,μ para ε≠−(−1) ^μ (donde I _ε,μ es isomorfa a I _ε,−μ ).

Relación con la clasificación Langlands

Según la clasificación de Langlands , las representaciones admisibles irreducibles están parametrizadas por ciertas representaciones templadas de subgrupos de Levi M de subgrupos parabólicos P = MAN . Esto funciona de la siguiente manera:

• Las representaciones de series discretas, límites de series discretas y series principales unitarias I _ε,μ con μ imaginario ya están templadas, por lo que en estos casos el subgrupo parabólico P es SL(2, R ) en sí mismo.
• Las representaciones de dimensión finita y las representaciones I _ε,μ para ℜμ>0, μ no es un entero o ε≠−(−1) ^μ son los cocientes irreducibles de las representaciones de la serie principal I _ε,μ para ℜμ>0, que se inducen a partir de representaciones templadas del subgrupo parabólico P = MAN de matrices triangulares superiores, con A las matrices diagonales positivas y M el centro de orden 2. Para μ es un entero positivo y ε=−(−1) ^μ la representación de la serie principal tiene como cociente irreducible una representación de dimensión finita, y de lo contrario ya es irreducible.

Representaciones unitarias

Las representaciones unitarias irreducibles se pueden encontrar comprobando cuáles de las representaciones irreducibles admisibles admiten una forma hermítica positivamente definida invariante. Esto da como resultado la siguiente lista de representaciones unitarias de SL(2, R ):

• La representación trivial (la única representación de dimensión finita en esta lista).
• Los dos límites de las representaciones de series discretas D _{+ 0} , D _{− 0} .
• Las representaciones de series discretas D _k , indexadas por enteros no nulos k . Todas son distintas.
• Las dos familias de representación de series principales irreducibles , que consisten en la serie principal esférica I _{+, i μ} indexada por los números reales μ, y la serie principal unitaria no esférica I− _{, i μ} indexada por los números reales no nulos μ. La representación con parámetro μ es isomorfa a la de parámetro −μ, y no hay más isomorfismos entre ellas.
• Las representaciones de series complementarias I _+,μ para 0<|μ|<1. La representación con parámetro μ es isomorfa a la de parámetro −μ, y no existen más isomorfismos entre ellas.

De éstas, las dos representaciones de series discretas límite, las representaciones de series discretas y las dos familias de representaciones de series principales son templadas , mientras que las representaciones de series triviales y complementarias no son templadas.

Referencias

• Bargmann, V. (1947), "Representaciones unitarias irreducibles del grupo de Lorentz", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 48 (3): 568–640, doi :10.2307/1969129, JSTOR  1969129, MR  0021942
• Gelfand, I.; Neumark, M. (1946), "Representaciones unitarias del grupo de Lorentz", Acad. Sci. URSS. J. Phys. , 10 : 93–94, MR  0017282.
• Harish-Chandra (1952), "Fórmula de Plancherel para el grupo unimodular real 2 × 2", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 38 (4): 337–342, doi : 10.1073/pnas.38.4.337 , JSTOR  88737, MR  0047055, PMC  1063558 , PMID  16589101.
• Howe, Roger; Tan, Eng-Chye (1992), Análisis armónico no abeliano: aplicaciones de SL(2, R ), Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4613-9200-2, ISBN 0-387-97768-6, Sr.  1151617.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teoría de la representación de grupos semisimples: una descripción general basada en ejemplos (reimpresión del original de 1986) , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0, Sr.  1880691.
• Kunze, RA ; Stein, EM (1960), "Representaciones uniformemente acotadas y análisis armónico del grupo unimodular real 2 × 2", American Journal of Mathematics , 82 : 1–62, doi :10.2307/2372876, JSTOR  2372876, MR  0163988.
• Vogan, David A. Jr. (1981), Representaciones de grupos de Lie reductivos reales , Progress in Mathematics, vol. 15, Boston, Mass.: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3037-6, Sr.  0632407.
• Wallach, Nolan R. (1988), Grupos reductivos reales. I, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 132, Boston, MA: Academic Press, Inc., p. xx+412, ISBN 0-12-732960-9, Sr.  0929683.

Véase también

• Giro (física)
• Teoría de la representación de SU(2)
• Grupo de rotación SO(3)#Una nota sobre el álgebra de Lie