En matemáticas, una representación templada de un grupo de Lie lineal semisimple es una representación que tiene una base cuyos coeficientes matriciales se encuentran en el espacio L p
para cualquier ε > 0.
Esta condición, tal como se acaba de dar, es ligeramente más débil que la condición de que los coeficientes de la matriz sean integrables al cuadrado , en otras palabras, se encuentren en
que sería la definición de una representación en serie discreta . Si G es un grupo de Lie lineal semisimple con un subgrupo compacto máximo K , una representación admisible ρ de G es moderada si la condición anterior se cumple para los coeficientes de matriz K -finitos de ρ.
La definición anterior también se utiliza para grupos más generales, como los grupos de Lie p -ádicos y las extensiones centrales finitas de grupos algebraicos reales semisimples. La definición de "representación templada" tiene sentido para grupos localmente compactos unimodulares arbitrarios , pero en grupos con centros infinitos, como las extensiones centrales infinitas de grupos de Lie semisimples, no se comporta bien y suele sustituirse por una definición ligeramente diferente. Más precisamente, una representación irreducible se denomina templada si es unitaria cuando se restringe al centro Z , y los valores absolutos de los coeficientes de la matriz están en L 2+ε ( G / Z ).
Las representaciones templadas en grupos de Lie semisimples fueron definidas y estudiadas por primera vez por Harish-Chandra (usando una definición diferente pero equivalente), quien demostró que son exactamente las representaciones necesarias para el teorema de Plancherel . Fueron clasificadas por Knapp y Zuckerman, y utilizadas por Langlands en la clasificación de Langlands de representaciones irreducibles de un grupo de Lie reductivo G en términos de las representaciones templadas de grupos más pequeños.
Las representaciones templadas irreducibles fueron identificadas por Harish-Chandra en su trabajo sobre análisis armónico en un grupo de Lie semisimple como aquellas representaciones que contribuyen a la medida de Plancherel . La definición original de una representación templada, que tiene ciertas ventajas técnicas, es que su carácter de Harish-Chandra debería ser una "distribución templada" (ver la sección sobre esto más adelante). De los resultados de Harish-Chandra se deduce que es equivalente a la definición más elemental dada anteriormente. Las representaciones templadas también parecen desempeñar un papel fundamental en la teoría de las formas automórficas . Esta conexión fue probablemente comprendida por primera vez por Satake (en el contexto de la conjetura de Ramanujan-Petersson ) y Robert Langlands y sirvió como motivación para que Langlands desarrollara su esquema de clasificación para representaciones admisibles irreducibles de grupos algebraicos reductivos reales y p -ádicos en términos de las representaciones templadas de grupos más pequeños. Las conjeturas precisas que identifican el lugar de las representaciones templadas en el espectro automórfico fueron formuladas más tarde por James Arthur y constituyen una de las partes en desarrollo más activo de la teoría moderna de las formas automórficas.
Las representaciones templadas desempeñan un papel importante en el análisis armónico de los grupos de Lie semisimples . Una representación unitaria irreducible de un grupo de Lie semisimple G está templada si y solo si está en el soporte de la medida de Plancherel de G. En otras palabras, las representaciones templadas son precisamente la clase de representaciones de G que aparecen en la descomposición espectral de las funciones L 2 en el grupo (mientras que las representaciones de series discretas tienen una propiedad más fuerte de que una representación individual tiene una medida espectral positiva). Esto contrasta con la situación de los grupos de Lie abelianos y resolubles más generales, donde se necesita una clase diferente de representaciones para explicar completamente la descomposición espectral. Esto ya se puede ver en el ejemplo más simple del grupo aditivo R de los números reales, para el cual los elementos de la matriz de las representaciones irreducibles no caen a 0 en el infinito.
En el programa Langlands , las representaciones templadas de los grupos de Lie reales son aquellas que provienen de caracteres unitarios de toros por functorialidad de Langlands.
Las representaciones templadas irreducibles de un grupo de Lie semisimple fueron clasificadas por Knapp y Zuckerman (1976, 1982). De hecho, clasificaron una clase más general de representaciones llamadas representaciones básicas . Si P=MAN es la descomposición de Langlands de un subgrupo parabólico cuspidal, entonces una representación básica se define como la representación parabólicamente inducida asociada a un límite de representación en serie discreta de M y una representación unitaria del grupo abeliano A. Si el límite de la representación en serie discreta es de hecho una representación en serie discreta, entonces la representación básica se llama representación en serie discreta inducida . Cualquier representación templada irreducible es una representación básica y, a la inversa, cualquier representación básica es la suma de un número finito de representaciones templadas irreducibles. Más precisamente, es una suma directa de 2 r representaciones templadas irreducibles indexadas por los caracteres de un grupo abeliano elemental R de orden 2 r (llamado el grupo R ). Toda representación básica, y en consecuencia toda representación templada irreducible, es un sumando de una representación en serie discreta inducida. Sin embargo, no siempre es posible representar una representación templada irreducible como una representación en serie discreta inducida, por lo que se considera la clase más general de representaciones básicas.
Por lo tanto, las representaciones templadas irreducibles son simplemente las representaciones básicas irreducibles, y pueden clasificarse enumerando todas las representaciones básicas y seleccionando aquellas que son irreducibles, en otras palabras, aquellas que tienen un grupo R trivial.
Fijemos un grupo de Lie semisimple G con subgrupo compacto maximalista K . Harish-Chandra (1966, sección 9) definió una distribución en G como templada si está definida en el espacio de Schwartz de G . El espacio de Schwartz se define a su vez como el espacio de funciones suaves f en G tales que para cualquier r real y cualquier función g obtenida a partir de f actuando sobre la izquierda o la derecha elementos del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de G , la función
está acotado. Aquí Ξ es una cierta función esférica en G , invariante bajo la multiplicación izquierda y derecha por K , y σ es la norma del logaritmo de p , donde un elemento g de G se escribe como : g = kp para k en K y p en P .
