medida plancherel

Medida sobre representaciones grupales

En matemáticas , la medida de Plancherel es una medida definida sobre el conjunto de representaciones unitarias irreducibles de un grupo localmente compacto , que describe cómo la representación regular se descompone en representaciones unitarias irreducibles. En algunos casos, el término medida de Plancherel se aplica específicamente en el contexto de que el grupo es el grupo simétrico finito (ver más abajo). Lleva el nombre del matemático suizo Michel Plancherel por su trabajo en teoría de la representación . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Definición de grupos finitos

Sea un grupo finito , denotamos el conjunto de sus representaciones irreducibles por . La medida de Plancherel correspondiente sobre el conjunto está definida por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\wedge }}$ ${\displaystyle G^{\wedge }}$

${\displaystyle \mu (\pi )={\frac {(\mathrm {dim} \,\pi )^{2}}{|G|}},}$

donde , y denota la dimensión de la representación irreducible . ^[1] ${\displaystyle \pi \in G^{\wedge }}$ ${\displaystyle \mathrm {dim} \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Definición del grupo simétrico.

Un caso especial importante es el caso del grupo simétrico finito , donde es un número entero positivo. Para este grupo, el conjunto de representaciones irreducibles está en biyección natural con el conjunto de particiones enteras de . Para una representación irreducible asociada con una partición entera , se sabe que su dimensión es igual al número de cuadros de forma estándar de Young , por lo que en este caso la medida de Plancherel a menudo se considera como una medida del conjunto de particiones enteras de un orden dado.  norte , dado por ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}^{\wedge }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mu (\lambda )={\frac {(f^{\lambda })^{2}}{n!}}.}$ ^[2]

El hecho de que esas probabilidades sumen 1 se sigue de la identidad combinatoria

${\displaystyle \sum _{\lambda \vdash n}(f^{\lambda })^{2}=n!,}$

lo que corresponde a la naturaleza biyectiva de la correspondencia Robinson-Schensted .

Solicitud

La medida de Plancherel aparece naturalmente en problemas combinatorios y probabilísticos, especialmente en el estudio de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria . Como resultado de su importancia en esa área, en muchos trabajos de investigación actuales el término medida de Plancherel se refiere casi exclusivamente al caso del grupo simétrico . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S_{n}}$

Conexión a la subsecuencia creciente más larga

Denotemos la longitud de una subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria elegida de acuerdo con la distribución uniforme. Denotemos la forma de los cuadros de Young correspondientes relacionados con la correspondencia Robinson-Schensted . Entonces se cumple la siguiente identidad: ${\displaystyle L(\sigma )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle L(\sigma )=\lambda _{1},}$

donde denota la longitud de la primera fila de . Además, del hecho de que la correspondencia Robinson-Schensted es biyectiva se deduce que la distribución de es exactamente la medida de Plancherel en . Entonces, para entender el comportamiento de , es natural observar con elegido según la medida de Plancherel en , ya que estas dos variables aleatorias tienen la misma distribución de probabilidad. ^[3] ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle L(\sigma )}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S_{n}}$

Medida de Plancherel envenenada

La medida de Plancherel se define para cada número entero . En varios estudios del comportamiento asintótico de as , ha resultado útil ^[4] extender la medida a una medida, llamada medida de Plancherel poissonizada , en el conjunto de todas las particiones enteras. Para cualquiera , la medida de Plancherel Poissonizado con parámetro en el conjunto está definida por ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L(\sigma )}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$ ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$

${\displaystyle \mu _{\theta }(\lambda )=e^{-\theta }{\frac {\theta ^{|\lambda |}(f^{\lambda })^{2}}{(|\lambda |!)^{2}}},}$

para todos . ^[2] ${\displaystyle \lambda \in {\mathcal {P}}^{*}}$

Proceso de crecimiento de Plancherel

El proceso de crecimiento de Plancherel es una secuencia aleatoria de diagramas de Young tal que cada uno es un diagrama de Young aleatorio de orden cuya distribución de probabilidad es la enésima medida de Plancherel, y cada sucesivo se obtiene de su predecesor mediante la adición de una sola caja, de acuerdo con la probabilidad de transición ${\displaystyle \lambda ^{(1)}=(1),~\lambda ^{(2)},~\lambda ^{(3)},~\ldots ,}$ ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ ${\displaystyle \lambda ^{(n-1)}}$

${\displaystyle p(\nu ,\lambda )=\mathbb {P} (\lambda ^{(n)}=\lambda ~|~\lambda ^{(n-1)}=\nu )={\frac {f^{\lambda }}{nf^{\nu }}},}$

para cualquier diagrama de Young dado y de tamaños n  − 1 y  n , respectivamente. ^[5] ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \lambda }$

Por tanto, el proceso de crecimiento de Plancherel puede verse como un acoplamiento natural de las diferentes medidas de Plancherel de todos los grupos simétricos o, alternativamente, como un paseo aleatorio en la red de Young . No es difícil demostrar que la distribución de probabilidad de en este paseo coincide con la medida de Plancherel en . ^[6] ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Grupos compactos

La medida de Plancherel para grupos compactos es similar a la de grupos finitos, excepto que no es necesario que la medida sea finita. El dual unitario es un conjunto discreto de representaciones de dimensión finita, y la medida de Plancherel de una representación de dimensión finita irreducible es proporcional a su dimensión.

Grupos abelianos

El dual unitario de un grupo abeliano localmente compacto es otro grupo abeliano localmente compacto, y la medida de Plancherel es proporcional a la medida de Haar del grupo dual.

Grupos de mentiras semisimples

Harish-Chandra encontró la medida de Plancherel para grupos de Lie semisimples . El soporte es el conjunto de representaciones templadas y, en particular, no todas las representaciones unitarias necesariamente ocurren en el soporte.

Referencias

1. Borodin, Alexei ; Okounkov, Andrei ; Olshanski, Grigori (2000). "Asintóticas de medidas de Plancherel para grupos simétricos". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 13:491–515. 13 (3): 481–515. doi : 10.1090/S0894-0347-00-00337-4 . S2CID  14183320.
2. Johansson, Kurt (2001). "Conjuntos polinomiales ortogonales discretos y la medida de Plancherel". Anales de Matemáticas . 153 (1): 259–296. arXiv : matemáticas/9906120 . doi :10.2307/2661375. JSTOR  2661375. S2CID  14120881.
3. Logan, novio; Shepp, LA (1977). "Un problema variacional para cuadros aleatorios de Young". Avances en Matemáticas . 26 (2): 206–222. doi : 10.1016/0001-8708(77)90030-5 .
4. Baik, Jinho; Deft, Percy; Johansson, Kurt (1999). "Sobre la distribución de la longitud de la subsecuencia creciente más larga de permutaciones aleatorias". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 12:1119–1178. 12 (4): 1119-1178. doi : 10.1090/S0894-0347-99-00307-0 . S2CID  11355968.
5. Vershik, soy ; Kerov, SV (1985). "Las asintóticas de las representaciones irreducibles de dimensiones máximas y típicas del grupo simétrico". Función. Anal. Aplica . 19:21–31. doi : 10.1007/BF01086021 . S2CID  120927640.
6. Kerov, S. (1996). "Un modelo diferencial de crecimiento de diagramas de Young". Actas de la Sociedad Matemática de San Petersburgo .