Teorema de Weyl sobre reducibilidad completa

En álgebra, el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa es un resultado fundamental en la teoría de representaciones del álgebra de Lie (específicamente en la teoría de representaciones de álgebras de Lie semisimples ). Sea un álgebra de Lie semisimple sobre un cuerpo de característica cero. El teorema establece que todo módulo de dimensión finita sobre es semisimple como un módulo (es decir, una suma directa de módulos simples). ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El álgebra envolvente es semisimple

El teorema de Weyl implica (de hecho es equivalente a) que el álgebra envolvente de una representación de dimensión finita es un anillo semisimple de la siguiente manera.

Dada una representación del álgebra de Lie de dimensión finita , sea la subálgebra asociativa del álgebra de endomorfismos de V generada por . El anillo A se llama álgebra envolvente de . Si es semisimple, entonces A es semisimple. ^[2] (Demostración: Puesto que A es un álgebra de dimensión finita, es un anillo artiniano; en particular, el radical de Jacobson J es nilpotente. Si V es simple, entonces implica que . En general, J mata a cada submódulo simple de V ; en particular, J mata a V y por tanto J es cero.) A la inversa, si A es semisimple, entonces V es un A -módulo semisimple; es decir, semisimple como un -módulo. (Tenga en cuenta que un módulo sobre un anillo semisimple es semisimple puesto que un módulo es un cociente de un módulo libre y "semisimple" se conserva bajo las construcciones libre y cociente). ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle A\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle \pi ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle JV\subset V}$ ${\displaystyle JV=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Aplicación: conservación de la descomposición de Jordan

A continuación se muestra una aplicación típica. ^[3]

Proposición  —  Sea un álgebra de Lie de dimensión finita semisimple sobre un cuerpo de característica cero. ^[a] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. Existe un par único de elementos en tal que , es semisimple, es nilpotente y . ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$ ${\displaystyle [x_{s},x_{n}]=0}$
2. Si es una representación de dimensión finita, entonces y , donde denotan la descomposición de Jordan de las partes semisimples y nilpotentes del endomorfismo . ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \pi (x)_{s}=\pi (x_{s})}$ ${\displaystyle \pi (x)_{n}=\pi (x_{n})}$ ${\displaystyle \pi (x)_{s},\pi (x)_{n}}$ ${\displaystyle \pi (x)}$

En resumen, las partes semisimples y nilpotentes de un elemento están bien definidas y se determinan independientemente de una representación fiel de dimensión finita. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Demostración : Primero demostramos el caso especial de (i) y (ii) cuando es la inclusión; es decir, es un subálgebra de . Sea la descomposición de Jordan del endomorfismo , donde son endomorfismos semisimples y nilpotentes en . Ahora, también tiene la descomposición de Jordan, que se puede demostrar (véase descomposición de Jordan-Chevalley ) que respeta la descomposición de Jordan anterior; es decir, son las partes semisimples y nilpotentes de . Como son polinomios en entonces, vemos . Por lo tanto, son derivaciones de . Como es semisimple, podemos encontrar elementos en tales que y de manera similar para . Ahora, sea A el álgebra envolvente de ; es decir, el subálgebra del álgebra de endomorfismos de V generada por . Como se señaló anteriormente, A tiene radical de Jacobson cero. Como , vemos que es un elemento nilpotente en el centro de A . Pero, en general, un nilpotente central pertenece al radical de Jacobson; por lo tanto, y por lo tanto también . Esto prueba el caso especial. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle x=S+N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S,N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle s,n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [y,S]=[y,s],y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [y,N-n]=0}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle N=n}$ ${\displaystyle S=s}$

En general, es semisimple (resp. nilpotente) cuando es semisimple (resp. nilpotente). ^{[ aclaración necesaria ]} Esto da inmediatamente (i) y (ii). ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle \square }$

Pruebas

Prueba analítica

La prueba original de Weyl (para álgebras de Lie semisimples complejas) era de naturaleza analítica: utilizaba el famoso truco unitario . Específicamente, se puede demostrar que cada álgebra de Lie semisimple compleja es la complejización del álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto simplemente conexo . ^[4] (Si, por ejemplo, , entonces .) Dada una representación de en un espacio vectorial , primero se puede restringir al álgebra de Lie de . Luego, dado que es simplemente conexo , ^[5] hay una representación asociada de . La integración sobre produce un producto interno sobre para el cual es unitario. ^[6] La reducibilidad completa de es entonces inmediata y los argumentos elementales muestran que la representación original de también es completamente reducible. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle K=\mathrm {SU} (n)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Prueba algebraica 1

Sea una representación finitodimensional de un álgebra de Lie sobre un cuerpo de característica cero. El teorema es una consecuencia sencilla del lema de Whitehead , que dice que es sobreyectiva, donde una función lineal es una derivación si . La prueba se debe esencialmente a Whitehead. ^[7] ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to V}$ ${\displaystyle f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)}$

Sea una subrepresentación. Considérese el subespacio vectorial que consta de todas las aplicaciones lineales tales que y . Tiene una estructura de un módulo dado por: para , ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle L_{W}\subset \operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle t:V\to V}$ ${\displaystyle t(V)\subset W}$ ${\displaystyle t(W)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}}$

${\displaystyle x\cdot t=[\pi (x),t]}$.

Ahora, escojamos alguna proyección sobre W y consideremos que se da por . Como es una derivación, por el lema de Whitehead, podemos escribir para alguna . Entonces tenemos ; es decir es -lineal. Además, como t mata a , es un idempotente tal que . El núcleo de es entonces una representación complementaria a . ${\displaystyle p:V\to V}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}}$ ${\displaystyle f(x)=[p,\pi (x)]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x\cdot t}$ ${\displaystyle t\in L_{W}}$ ${\displaystyle [\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle (p+t)(V)=W}$ ${\displaystyle p+t}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \square }$

Prueba algebraica 2

El lema de Whitehead se demuestra típicamente por medio del elemento de Casimir cuadrático del álgebra envolvente universal , ^[8] y también hay una prueba del teorema que utiliza el elemento de Casimir directamente en lugar del lema de Whitehead.

Dado que el elemento cuadrático de Casimir está en el centro del álgebra envolvente universal, el lema de Schur nos dice que actúa como múltiplo de la identidad en la representación irreducible de con el mayor peso . Un punto clave es establecer que es distinto de cero siempre que la representación no sea trivial. Esto se puede hacer mediante un argumento general ^[9] o mediante la fórmula explícita para . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$

Consideremos un caso muy especial del teorema de reducibilidad completa: el caso en el que una representación contiene un subespacio no trivial, irreducible e invariante de codimensión uno. Sea la acción de sobre . Como no es irreducible, no es necesariamente un múltiplo de la identidad, pero es un operador autoentrelazante para . Entonces la restricción de a es un múltiplo distinto de cero de la identidad. Pero como el cociente es una representación unidimensional (y por lo tanto trivial) de , la acción de sobre el cociente es trivial. Entonces se sigue fácilmente que debe tener un núcleo distinto de cero, y el núcleo es un subespacio invariante, ya que es un autoentrelazante. El núcleo es entonces un subespacio invariante unidimensional, cuya intersección con es cero. Por lo tanto, es un complemento invariante de , de modo que se descompone como una suma directa de subespacios irreducibles: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V/W}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle C_{V}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathrm {ker} (V_{C})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})}$.

Aunque esto establece sólo un caso muy especial del resultado deseado, este paso es en realidad el crítico en el argumento general.

Prueba algebraica 3

El teorema se puede deducir de la teoría de módulos de Verma , que caracteriza un módulo simple como un cociente de un módulo de Verma por un submódulo máximo . ^[10] Este enfoque tiene la ventaja de que se puede utilizar para debilitar los supuestos de dimensionalidad finita (sobre álgebra y representación).

Sea una representación finitodimensional de un álgebra de Lie semisimple finitodimensional sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero. Sea la subálgebra de Borel determinada por una elección de una subálgebra de Cartan y raíces positivas. Sea . Entonces es un -módulo y por lo tanto tiene la descomposición espacial de -pesos: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}}$

donde . Para cada , elija y el -submódulo generado por y el -submódulo generado por . Afirmamos: . Supongamos . Por el teorema de Lie , existe un vector de -pesos en ; por lo tanto, podemos encontrar un vector de -pesos tal que para algunos entre los generadores de Chevalley . Ahora, tiene peso . Dado que está parcialmente ordenado, existe un tal que ; es decir, . Pero esto es una contradicción ya que ambos son pesos primitivos (se sabe que los pesos primitivos son incomparables. ^{[ aclaración necesaria ]} ). De manera similar, cada uno es simple como un -módulo. De hecho, si no es simple, entonces, para algunos , contiene algún vector distinto de cero que no es un vector de mayor peso; nuevamente una contradicción. ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle L\subset {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda \in L}$ ${\displaystyle 0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }}$ ${\displaystyle V^{\lambda }\subset V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle v_{\lambda }}$ ${\displaystyle V'\subset V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle V=V'}$ ${\displaystyle V\neq V'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle V/V'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 0\neq e_{i}(v)\in V'}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}(v)}$ ${\displaystyle \mu +\alpha _{i}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda \in L}$ ${\displaystyle \lambda \geq \mu +\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \lambda >\mu }$ ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ ${\displaystyle V^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mu <\lambda }$ ${\displaystyle V_{\mu }^{0}}$ ${\displaystyle \square }$

Prueba algebraica 4

También hay una prueba rápida de álgebra homológica; véase el libro de álgebra homológica de Weibel .

Enlaces externos

• Una entrada de blog de Akhil Mathew

Referencias

1. Nota editorial: este hecho suele afirmarse para un campo de característica cero, pero la prueba sólo necesita que el campo base sea perfecto.

1. Hall 2015 Teorema 10.9
2. Jacobson 1979, Cap. II, § 5, Teorema 10.
3. Jacobson 1979, Cap. III, § 11, Teorema 17.
4. Teorema 6.11 de Knapp 2002
5. Hall 2015 Teorema 5.10
6. Hall 2015 Teorema 4.28
7. Jacobson 1979, Cap. III, § 7.
8. Hall 2015 Sección 10.3
9. Humphreys 1973 Sección 6.2
10. Kac 1990, Lema 9.5.

• Hall, Brian C. (2015). Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 222 (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-3319134666.
• Humphreys, James E. (1973). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 9 (segunda edición, edición revisada). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de Lie . Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63832-4.Republicación del original de 1962.
• Kac, Victor (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita (3.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-46693-8.
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de Lie más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140 (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5
• Weibel, Charles A. (1995). Introducción al álgebra homológica . Cambridge University Press.