Radical de un álgebra de Lie

En el campo matemático de la teoría de Lie , el radical de un álgebra de Lie es el ideal resoluble más grande de ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

El radical, denotado por , encaja en la secuencia exacta ${\displaystyle {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle 0\to {\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})\to 0}$.

donde es semisimple . Cuando el campo fundamental tiene característica cero y dimensión finita, el teorema de Levi establece que esta secuencia exacta se desdobla; es decir, existe una subálgebra (necesariamente semisimple) de que es isomorfa al cociente semisimple a través de la restricción de la función del cociente. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\rm {rad}}({\mathfrak {g}}).}$

Un concepto similar es el de subálgebra de Borel , que es una subálgebra resoluble máxima (no necesariamente única).

Definición

Sea un cuerpo y sea un álgebra de Lie de dimensión finita sobre . Existe un único ideal resoluble maximal, llamado radical, por la siguiente razón. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$

En primer lugar, sean y dos ideales resolubles de . Entonces, es nuevamente un ideal de , y es resoluble porque es una extensión de por . Ahora, considere la suma de todos los ideales resolubles de . No está vacía porque es un ideal resoluble, y es un ideal resoluble por la propiedad de suma que acabamos de derivar. Claramente, es el único ideal resoluble máximo. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}\simeq {\mathfrak {b}}/({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Conceptos relacionados

• Un álgebra de Lie es semisimple si y sólo si su radical es . ${\displaystyle 0}$
• Un álgebra de Lie es reductiva si y sólo si su radical es igual a su centro.

Véase también

• Descomposición de Levi

Referencias

1. Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos: álgebras de Lie y álgebras de Hopf, Encuestas y monografías matemáticas, vol. 168, Providence, RI: American Mathematical Society, pág. 15, doi : 10.1090/surv/168, ISBN 978-0-8218-5262-0, Sr.  2724822.