Álgebra de mentira reductiva

En matemáticas , un álgebra de Lie es reductiva si su representación adjunta es completamente reducible , de ahí el nombre. Más concretamente, un álgebra de Lie es reductiva si es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana : existen caracterizaciones alternativas, que se detallan a continuación. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}};}$

Ejemplos

El ejemplo más básico es el álgebra de Lie de matrices con el conmutador como corchete de Lie, o más abstractamente como el álgebra de endomorfismo de un espacio vectorial n -dimensional . Esta es el álgebra de Lie del grupo lineal general GL( n ), y es reductiva. ya que se descompone como correspondiente a matrices sin rastro y matrices escalares . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus {\mathfrak {k}},}$

Cualquier álgebra de Lie semisimple o álgebra de Lie abeliana es a fortiori reductiva.

Sobre los números reales, las álgebras de Lie compactas son reductivas.

Definiciones

Un álgebra de Lie sobre un campo de característica 0 se llama reductiva si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

1. La representación adjunta (la acción entre corchetes) de es completamente reducible (una suma directa de representaciones irreducibles). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$admite una representación fiel, completamente reducible y de dimensión finita.
3. El radical de es igual al centro: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$

   El radical siempre contiene el centro, pero no es necesario que sea igual a él.

4. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es la suma directa de un ideal semisimple y su centro ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}):}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$

   Compárese con la descomposición de Levi , que descompone un álgebra de Lie como su radical (que tiene solución, no abeliano en general) y una subálgebra de Levi (que es semisimple).

5. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una suma directa de un álgebra de Lie semisimple y un álgebra de Lie abeliana : ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}.}$
6. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una suma directa de ideales primos: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\textstyle {\sum {\mathfrak {g}}_{i}}.}$

Algunas de estas equivalencias se ven fácilmente. Por ejemplo, el centro y el radical de es , mientras que si el radical es igual al centro, la descomposición de Levi produce una descomposición. Además, las álgebras de Lie simples y el álgebra de Lie unidimensional trivial son ideales primos. ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

Propiedades

Las álgebras de Lie reductivas son una generalización de las álgebras de Lie semisimples y comparten muchas propiedades con ellas: muchas propiedades de las álgebras de Lie semisimples dependen únicamente del hecho de que son reductivas. En particular, el truco unitario de Hermann Weyl funciona para álgebras reductivas de Lie.

Los grupos de Lie reductivos asociados son de gran interés: el programa Langlands se basa en la premisa de que lo que se hace por un grupo de Lie reductivo se debe hacer por todos. ^{[ se necesita aclaración ]}

La intersección de álgebras de Lie reductivas y álgebras de Lie solubles es exactamente álgebras de Lie abelianas (en contraste con la intersección de álgebras de Lie semisimples y solubles que son triviales).

enlaces externos

• Álgebra de mentira, reductiva, AL Onishchik, en Encyclopaedia of Mathematics, ISBN  1-4020-0609-8 , SpringerLink