matriz triangular

Tipo especial de matriz cuadrada.

En matemáticas, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada . Una matriz cuadrada se llamatriangular inferior si todas las entradassobreladiagonal principalson cero. De manera similar, una matriz cuadrada se llamatriangular superior si todas las entradasdebajo dela diagonal principal son cero.

Debido a que las ecuaciones matriciales con matrices triangulares son más fáciles de resolver, son muy importantes en el análisis numérico . Mediante el algoritmo de descomposición LU , una matriz invertible puede escribirse como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U si y sólo si todos sus principales menores principales son distintos de cero.

Descripción

Una matriz de la forma

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}$

se llama matriz triangular inferior o matriz triangular izquierda , y análogamente una matriz de la forma

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

Se llama matriz triangular superior o matriz triangular recta . Una matriz triangular inferior o izquierda comúnmente se denota con la variable L , y una matriz triangular superior o derecha comúnmente se denota con la variable U o R.

Una matriz que es triangular tanto superior como inferior es diagonal . Las matrices que son similares a las matrices triangulares se llaman triangularizables .

Una matriz no cuadrada (o a veces cualquier matriz) con ceros encima (debajo) de la diagonal se llama matriz trapezoidal inferior (superior). Las entradas distintas de cero tienen la forma de un trapezoide .

Ejemplos

La matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{bmatrix}}}$

es triangular inferior, y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

es triangular superior.

Sustitución hacia adelante y hacia atrás

Una ecuación matricial en la forma o es muy fácil de resolver mediante un proceso iterativo llamado sustitución directa para matrices triangulares inferiores y de manera análoga sustitución inversa para matrices triangulares superiores. El proceso se llama así porque para las matrices triangulares inferiores, primero se calcula , luego se sustituye en la siguiente ecuación para resolver y se repite hasta . En una matriz triangular superior, se trabaja al revés, primero calculando , luego sustituyéndolo nuevamente en la ecuación anterior para resolver y repitiendo hasta . ${\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n-1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Observe que esto no requiere invertir la matriz.

Sustitución hacia adelante

La ecuación matricial L x = b se puede escribir como un sistema de ecuaciones lineales

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Observe que la primera ecuación ( ) solo involucra a , por lo que se puede resolver directamente. La segunda ecuación solo involucra y , y por lo tanto se puede resolver una vez que se sustituye el valor ya resuelto por . Continuando de esta manera, la -ésima ecuación solo involucra a , y se puede resolver usando los valores previamente resueltos para . Las fórmulas resultantes son: ${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

Una ecuación matricial con una matriz triangular superior U se puede resolver de forma análoga, sólo que trabajando hacia atrás.

Aplicaciones

La sustitución directa se utiliza en el bootstrapping financiero para construir una curva de rendimiento .

Propiedades

La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.

Una matriz que es a la vez simétrica y triangular es diagonal. De manera similar, una matriz que es a la vez normal (es decir, A ^* A = AA ^* , donde A ^* es la transpuesta conjugada ) y triangular también es diagonal. Esto se puede ver observando las entradas diagonales de A ^* A y AA ^* .

El determinante y el permanente de una matriz triangular son iguales al producto de las entradas diagonales, como se puede comprobar mediante cálculo directo.

De hecho, es más cierto: los valores propios de una matriz triangular son exactamente sus entradas diagonales. Además, cada valor propio ocurre exactamente k veces en la diagonal, donde k es su multiplicidad algebraica , es decir, su multiplicidad como raíz del polinomio característico de A. En otras palabras, el polinomio característico de una matriz A triangular n × n es exactamente ${\displaystyle p_{A}(x)=\det(xI-A)}$

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$,

es decir, el polinomio único de grado n cuyas raíces son las entradas diagonales de A (con multiplicidades). Para ver esto, observemos que también es triangular y por ende su determinante es el producto de sus entradas diagonales . ^[1] ${\displaystyle xI-A}$ ${\displaystyle \det(xI-A)}$ ${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$

Formas especiales

Matriz unitriangular

Si las entradas en la diagonal principal de una matriz triangular (superior o inferior) son todas 1, la matriz se llama unitriangular (superior o inferior) .

Otros nombres utilizados para estas matrices son triangular unitario (superior o inferior) o, muy raramente, triangular normado (superior o inferior) . Sin embargo, una matriz triangular unitaria no es lo mismo que la matriz unitaria , y una matriz triangular normada no tiene nada que ver con la noción de matriz norma .

Todas las matrices unitriangulares finitas son unipotentes .

Matriz estrictamente triangular

Si todas las entradas en la diagonal principal de una matriz triangular (superior o inferior) también son 0, la matriz se llama estrictamente triangular (superior o inferior) .

Todas las matrices finitas estrictamente triangulares son nilpotentes de índice como máximo n como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton .

Matriz triangular atómica

Una matriz triangular atómica (superior o inferior) es una forma especial de matriz unitaria, donde todos los elementos fuera de la diagonal son cero, excepto las entradas en una sola columna. Dicha matriz también se denomina matriz de Frobenius , matriz de Gauss o matriz de transformación de Gauss .

Matriz triangular de bloques

Una matriz triangular de bloques es una matriz de bloques (matriz particionada) que es una matriz triangular.

Bloque superior triangular

Una matriz es triangular del bloque superior si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

donde para todos . ^[2] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Bloque inferior triangular

Una matriz es triangular de bloque inferior si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

donde para todos . ^[2] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Triangularización

Una matriz que es similar a una matriz triangular se denomina triangularizable . De manera abstracta, esto equivale a estabilizar una bandera : las matrices triangulares superiores son precisamente aquellas que conservan la bandera estándar , que está dada por la base ordenada estándar y la bandera resultante. Todas las banderas son conjugadas (ya que el grupo lineal general actúa transitivamente sobre las bases), por lo que cualquier matriz que estabilice una bandera es similar a una que estabilice la bandera estándar. ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Cualquier matriz cuadrada compleja es triangularizable. ^[1] De hecho, una matriz A sobre un campo que contiene todos los valores propios de A (por ejemplo, cualquier matriz sobre un campo algebraicamente cerrado ) es similar a una matriz triangular. Esto se puede probar usando inducción sobre el hecho de que A tiene un vector propio, tomando el espacio cociente por el vector propio e induciendo para mostrar que A estabiliza una bandera y, por lo tanto, es triangularizable con respecto a una base para esa bandera.

Una afirmación más precisa la proporciona el teorema de la forma normal de Jordan , que establece que en esta situación, A es similar a una matriz triangular superior de una forma muy particular. Sin embargo, el resultado de la triangularización más simple suele ser suficiente y, en cualquier caso, se utiliza para demostrar el teorema de la forma normal de Jordan. ^{[1] [3]}

En el caso de matrices complejas, es posible decir más sobre la triangularización, es decir, que cualquier matriz cuadrada A tiene descomposición de Schur . Esto significa que A es unitariamente equivalente (es decir, similar, utilizando una matriz unitaria como cambio de base) a una matriz triangular superior; esto se sigue tomando una base hermitiana para la bandera.

Triangulabilidad simultánea

Se dice que un conjunto de matrices es ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$simultáneamente triangularizables si existe una base bajo la cual todos ellos son triangulares superiores; de manera equivalente, si son triangularizables superiormente mediante una única matriz de similitudP.Tal conjunto de matrices se entiende más fácilmente considerando el álgebra de matrices que genera, es decir, todos los polinomios en lasimultáneasignifica que este álgebra se conjuga en la subálgebra de Lie. de matrices triangulares superiores, y es equivalente a que esta álgebra sea una subálgebra de Lie de unasubálgebra de Borel. ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$

El resultado básico es que (sobre un campo algebraicamente cerrado), las matrices de conmutación o, más generalmente, son simultáneamente triangularizables. Esto se puede probar mostrando primero que las matrices conmutadoras tienen un vector propio común y luego induciendo la dimensión como antes. Esto lo demostró Frobenius, a partir de 1878 para un par conmutante, como se analiza en Matrices conmutantes . En cuanto a una matriz única, sobre los números complejos estos pueden triangularizarse mediante matrices unitarias. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

El hecho de que las matrices conmutantes tengan un vector propio común puede interpretarse como resultado del Nullstellensatz de Hilbert : las matrices conmutantes forman un álgebra conmutativa sobre la cual se puede interpretar como una variedad en el espacio afín k -dimensional, y la existencia de un valor propio (común) ( y por lo tanto un vector propio común) corresponde a esta variedad que tiene un punto (que no está vacío), que es el contenido del Nullstellensatz (débil). ^{[ cita necesaria ]} En términos algebraicos, estos operadores corresponden a una representación álgebra del álgebra polinómica en k variables. ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$

Esto se generaliza mediante el teorema de Lie , que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie resoluble es simultáneamente triangularizable superior, siendo el caso de matrices conmutadoras el caso del álgebra de Lie abeliano , siendo abeliano a fortiori resoluble.

De manera más general y precisa, un conjunto de matrices es simultáneamente triangularizable si y solo si la matriz es nilpotente para todos los polinomios p en k variables no conmutantes, donde está el conmutador ; para conmutar el conmutador desaparece, por lo que esto se mantiene. Esto fue demostrado por Drazin, Dungey y Gruenberg en 1951; ^[4] Prasolov ofrece una breve prueba en 1994. ^[5] Una dirección es clara: si las matrices son simultáneamente triangularizables, entonces son estrictamente triangularizables superiormente (por lo tanto, nilpotentes), que se conserva mediante la multiplicación por cualquiera o una combinación de ellas: todavía tendrá ceros en la diagonal de la base triangularizante. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ ${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{k}}$

Álgebras de matrices triangulares

Matrices de Toeplitz unitarias inferiores binarias , multiplicadas mediante operaciones F 2 . Forman la tabla Cayley de Z 4 y corresponden a potencias de la permutación del código Gray de 4 bits.

La triangularidad superior se conserva mediante muchas operaciones:

• La suma de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
• El producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
• La inversa de una matriz triangular superior, si existe, es triangular superior.
• El producto de una matriz triangular superior y un escalar es triangular superior.

En conjunto, estos hechos significan que las matrices triangulares superiores forman una subálgebra del álgebra asociativa de matrices cuadradas para un tamaño determinado. Además, esto también muestra que las matrices triangulares superiores pueden verse como una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de matrices cuadradas de un tamaño fijo, donde el corchete de Lie [ a , b ] dado por el conmutador ab − ba . El álgebra de Lie de todas las matrices triangulares superiores es un álgebra de Lie que se puede resolver . A menudo se la denomina subálgebra de Borel del álgebra de Lie de todas las matrices cuadradas.

Todos estos resultados se mantienen si el triangular superior se reemplaza por el triangular inferior en todo momento; en particular las matrices triangulares inferiores también forman un álgebra de Lie. Sin embargo, las operaciones que mezclan matrices triangulares superiores e inferiores en general no producen matrices triangulares. Por ejemplo, la suma de una matriz triangular superior e inferior puede ser cualquier matriz; el producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior tampoco es necesariamente triangular.

El conjunto de matrices unitriangulares forma un grupo de Lie .

El conjunto de matrices triangulares estrictamente superiores (o inferiores) forma un álgebra de Lie nilpotente , denotada. Esta álgebra es el álgebra de Lie derivada de , el álgebra de Lie de todas las matrices triangulares superiores; en símbolos, además, está el álgebra de Lie del grupo de Lie de matrices unitriangulares. ${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

De hecho, según el teorema de Engel , cualquier álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita está conjugada con una subálgebra de las matrices triangulares estrictamente superiores, es decir, un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es simultáneamente triangularizable estrictamente superior.

Las álgebras de matrices triangulares superiores tienen una generalización natural en el análisis funcional que produce álgebras anidadas en espacios de Hilbert .

Subgrupos de Borel y subálgebras de Borel

El conjunto de matrices triangulares invertibles de un tipo determinado (superior o inferior) forma un grupo , de hecho un grupo de Lie , que es un subgrupo del grupo lineal general de todas las matrices invertibles. Una matriz triangular es invertible precisamente cuando sus entradas diagonales son invertibles (distintas de cero).

En los números reales, este grupo está desconectado y tiene componentes según cada entrada diagonal sea positiva o negativa. El componente de identidad son matrices triangulares invertibles con entradas positivas en la diagonal, y el grupo de todas las matrices triangulares invertibles es un producto semidirecto de este grupo y el grupo de matrices diagonales con en la diagonal, correspondientes a los componentes. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

El álgebra de Lie del grupo de Lie de matrices triangulares superiores invertibles es el conjunto de todas las matrices triangulares superiores, no necesariamente invertibles, y es un álgebra de Lie resoluble . Estos son, respectivamente, el subgrupo B de Borel estándar del grupo de Lie GL _n y la subálgebra de Borel estándar del álgebra de Lie gl _n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Las matrices triangulares superiores son precisamente las que estabilizan la bandera estándar . Los invertibles entre ellos forman un subgrupo del grupo lineal general, cuyos subgrupos conjugados son los definidos como estabilizador de alguna (otra) bandera completa. Estos subgrupos son subgrupos de Borel . El grupo de matrices triangulares inferiores invertibles es un subgrupo de este tipo, ya que es el estabilizador de la bandera estándar asociado a la base estándar en orden inverso.

El estabilizador de una bandera parcial obtenido al olvidar algunas partes de la bandera estándar se puede describir como un conjunto de matrices triangulares superiores en bloque (pero no todos sus elementos son matrices triangulares). Los conjugados de dicho grupo son los subgrupos definidos como estabilizador de alguna bandera parcial. Estos subgrupos se denominan subgrupos parabólicos.

Ejemplos

El grupo de matrices unitarias superiores de 2 × 2 es isomorfo al grupo aditivo del campo de escalares; en el caso de números complejos corresponde a un grupo formado por transformaciones parabólicas de Möbius ; las matrices unitarias superiores de 3×3 forman el grupo de Heisenberg .

Ver también

• eliminación gaussiana
• descomposición QR
• Descomposición de Cholesky
• matriz de hessenberg
• matriz tridiagonal
• Subespacio invariante

Referencias

1. Axler, Sheldon Jay (1997). Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 86–87, 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC  54850562.
2. Bernstein, Dennis S. (2009). Matemáticas matriciales: teoría, hechos y fórmulas (2 ed.). Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pag. 168.ISBN​ 978-0-691-14039-1.
3. Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 285–290. ISBN 0-471-01090-1. OCLC  3307396.
4. Drazin, diputado; Dungey, JW; Gruenberg, KW (1951). "Algunos teoremas sobre matrices conmutativas". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 26 (3): 221–228. doi :10.1112/jlms/s1-26.3.221.
5. Prasolov, VV (1994). Problemas y teoremas de álgebra lineal. Simeón Ivanov. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. pag. 178–179. ISBN 9780821802366. OCLC  30076024.