Fórmula género-grado

En geometría algebraica clásica , la fórmula género-grado relaciona el grado d de una curva plana irreducible con su género aritmético g mediante la fórmula: ${\displaystyle C}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

Aquí "curva plana" significa que es una curva cerrada en el plano proyectivo . Si la curva es no singular el género geométrico y el género aritmético son iguales, pero si la curva es singular, con sólo singularidades ordinarias, el género geométrico es menor. Más precisamente, una singularidad ordinaria de multiplicidad r disminuye el género en . ^[1] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$

Prueba

La prueba se sigue inmediatamente de la fórmula adjunta . ^{[ aclaración necesaria ]} Para una prueba clásica, consulte el libro de Arbarello, Cornalba, Griffiths y Harris.

Generalización

Para una hipersuperficie no singular de grado d en el espacio proyectivo de género aritmético g, la fórmula queda: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

donde está el coeficiente binomial . ${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$

Notas

1. Sencillo, John Greenlees ; Roth, Leonardo . Introducción a la geometría algebraica (ed. 1985). Prensa de la Universidad de Oxford . págs. 53–54. ISBN 0-19-853363-2. SEÑOR  0814690.

Ver también

• conjetura de Thom

Referencias

• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Fórmula de grado de género", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no la GFDL .
• Enrico Arbarello , Maurizio Cornalba, Phillip Griffiths , Joe Harris . Geometría de curvas algebraicas. vol 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4 , apéndice A. 
• Phillip Griffiths y Joe Harris , Principios de geometría algebraica, Wiley, ISBN 0-471-05059-8 , capítulo 2, sección 1. 
• Robin Hartshorne (1977): Geometría algebraica , Springer, ISBN 0-387-90244-9 . 
• Kulikov, Viktor S. (2001) [1994], "Género de una curva", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press