En geometría algebraica , una variedad algebraica o esquema X es normal si es normal en cada punto, es decir, que el anillo local en el punto es un dominio integralmente cerrado . Una variedad afín X (entendida como irreducible) es normal si y solo si el anillo O ( X ) de funciones regulares sobre X es un dominio integralmente cerrado. Una variedad X sobre un cuerpo es normal si y solo si todo morfismo biracional finito de cualquier variedad Y a X es un isomorfismo .
Las variedades normales fueron introducidas por Zariski (1939, sección III).
Un morfismo de variedades es finito si la imagen inversa de cada punto es finita y el morfismo es propio . Un morfismo de variedades es biracional si se restringe a un isomorfismo entre subconjuntos abiertos densos. Así, por ejemplo, la curva cúspide cúbica X en el plano afín A 2 definido por x 2 = y 3 no es normal, porque hay un morfismo biracional finito A 1 → X (es decir, t se mapea en ( t 3 , t 2 )) que no es un isomorfismo. Por el contrario, la línea afín A 1 es normal: no puede simplificarse más mediante morfismos biracionales finitos.
Una variedad compleja normal X tiene la propiedad, cuando se la considera como un espacio estratificado utilizando la topología clásica, de que cada vínculo está conexo. De manera equivalente, cada punto complejo x tiene vecindarios arbitrariamente pequeños U tales que U menos el conjunto singular de X está conexo. Por ejemplo, se deduce que la curva cúbica nodal X en la figura, definida por y 2 = x 2 ( x + 1), no es normal. Esto también se deduce de la definición de normalidad, ya que hay un morfismo biracional finito de A 1 a X que no es un isomorfismo; envía dos puntos de A 1 al mismo punto en X .
De manera más general, un esquema X es normal si cada uno de sus anillos locales
es un dominio integralmente cerrado . Es decir, cada uno de estos anillos es un dominio integral R , y cada anillo S con R ⊆ S ⊆ Frac( R ) tal que S se genera finitamente como un R -módulo es igual a R . (Aquí Frac( R ) denota el campo de fracciones de R .) Esta es una traducción directa, en términos de anillos locales, de la condición geométrica de que todo morfismo biracional finito a X es un isomorfismo.
Una noción más antigua es que una subvariedad X del espacio proyectivo es linealmente normal si el sistema lineal que da la incrustación es completo. De manera equivalente, X ⊆ P n no es la proyección lineal de una incrustación X ⊆ P n+1 (a menos que X esté contenido en un hiperplano P n ). Este es el significado de "normal" en las frases curva normal racional y desplazamiento normal racional .
Todo esquema regular es normal. Por el contrario, Zariski (1939, teorema 11) demostró que toda variedad normal es regular fuera de un subconjunto de codimensión al menos 2, y un resultado similar es válido para los esquemas. [1] Así, por ejemplo, toda curva normal es regular.
Cualquier esquema reducido X tiene una normalización única : un esquema normal Y con un morfismo biracional integral Y → X . (Para X una variedad sobre un cuerpo, el morfismo Y → X es finito, lo cual es más fuerte que "integral". [2] ) La normalización de un esquema de dimensión 1 es regular, y la normalización de un esquema de dimensión 2 solo tiene singularidades aisladas. La normalización no se usa habitualmente para la resolución de singularidades para esquemas de dimensión superior.
Para definir la normalización, supongamos primero que X es un esquema reducido irreducible X . Todo subconjunto abierto afín de X tiene la forma Spec R con R un dominio integral . Escribamos X como una unión de subconjuntos abiertos afines Spec A i . Sea B i la clausura integral de A i en su cuerpo de fracciones. Entonces la normalización de X se define uniendo los esquemas afines Spec B i .
Si el esquema inicial no es irreducible, la normalización se define como la unión disjunta de las normalizaciones de los componentes irreducibles.
Considere la curva afín
con la singularidad de la cúspide en el origen. Su normalización puede darse mediante el mapa
inducido a partir del mapa del álgebra
Por ejemplo,
no es un esquema irreducible ya que tiene dos componentes. Su normalización viene dada por el morfismo del esquema
inducido a partir de los dos mapas de cocientes
De manera similar, para polinomios irreducibles homogéneos en una UFD, la normalización de
viene dado por el morfismo
![{\displaystyle C={\text{Espec}}\left({\frac {k[x,y]}{y^{2}-x^{5}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911a5814713125113003a841c21d5db37e3e058c)
![{\displaystyle {\text{Especificación}}(k[t])\to C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eded942983b505e5335234195d66151f5d439206)
![{\displaystyle X={\text{Espec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d237b10494d0c4f6e27c5cf076d49147557900)
![{\displaystyle {\text{Espec.}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Espec.}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888da3a9b24086f646224774dbf14ba6c4c6e644)
![{\displaystyle \mathbb {C}[x,y]/(xy)\to \mathbb {C}[x,y]/(x,xy)=\mathbb {C}[x,y]/(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03ffe6d0c0c59c546c502a64abee433741e46cbb)
![{\displaystyle \mathbb {C}[x,y]/(xy)\to \mathbb {C}[x,y]/(y,xy)=\mathbb {C}[x,y]/(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389c0fcd9a81de6f13b44e088a834573217d26ac)
![{\displaystyle {\text{Proyección}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e722fff2f8e78abf0854bda871835d738620b52)
![{\displaystyle {\text{Proy}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proy}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e4c0469a45a6ebd2c9105760c52028cf8cfd29)