dualidad serre

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , la dualidad de Serre es una dualidad para la cohomología de haz coherente de variedades algebraicas, demostrada por Jean-Pierre Serre . La versión básica se aplica a haces de vectores en una variedad proyectiva suave, pero Alexander Grothendieck encontró amplias generalizaciones, por ejemplo a variedades singulares. En una variedad n -dimensional, el teorema dice que un grupo de cohomología es el espacio dual de otro . La dualidad de Serre es el análogo de la cohomología de haz coherente de la dualidad de Poincaré en topología, con el haz de líneas canónico reemplazando el haz de orientación . ${\displaystyle H^{i}}$ ${\displaystyle H^{n-i}}$

El teorema de dualidad de Serre también es válido en geometría compleja en general, para variedades complejas compactas que no son necesariamente variedades algebraicas complejas proyectivas . En este contexto, el teorema de dualidad de Serre es una aplicación de la teoría de Hodge a la cohomología de Dolbeault , y puede verse como resultado de la teoría de los operadores elípticos .

Estas dos interpretaciones diferentes de la dualidad de Serre coinciden para variedades algebraicas complejas proyectivas no singulares, mediante una aplicación del teorema de Dolbeault que relaciona la cohomología de la gavilla con la cohomología de Dolbeault.

Dualidad de Serre para paquetes de vectores

Teorema algebraico

Sea X una variedad suave de dimensión n sobre un campo k . Defina el paquete de líneas canónicas como el paquete de n formas en X , la potencia exterior superior del paquete cotangente : ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).}$

Supongamos además que X es propio (por ejemplo, proyectivo ) sobre k . Entonces la dualidad de Serre dice: para un paquete de vectores algebraicos E en X y un número entero i , existe un isomorfismo natural:

${\displaystyle H^{i}(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }}$

de espacios k -vectoriales de dimensión finita . Aquí denota el producto tensorial de haces de vectores. De ello se deduce que las dimensiones de los dos grupos de cohomología son iguales: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).}$

Como en la dualidad de Poincaré, el isomorfismo en la dualidad de Serre proviene del producto de copa en la cohomología de la gavilla. En concreto, la composición del producto en taza con un mapa de trazas naturales forma una combinación perfecta : ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.}$

El mapa de trazas es el análogo de la cohomología de integración de gavilla coherente en la cohomología de De Rham . ^[1]

Teorema geométrico diferencial

Serre también demostró la misma afirmación de dualidad para X , una variedad compleja compacta , y E , un paquete de vectores holomorfos . ^[2] Aquí, el teorema de la dualidad de Serre es una consecuencia de la teoría de Hodge . Es decir, en una variedad compleja compacta equipada con una métrica de Riemann , hay un operador estrella de Hodge : ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{p}(X)\to \Omega ^{2n-p}(X),}$

dónde . Además, dado que es complejo, hay una división de las formas diferenciales complejas en formas de tipo . El operador estrella de Hodge (extendido linealmente complejo a formas diferenciales de valores complejos) interactúa con esta clasificación como: ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-q,n-p}(X).}$

Observe que los índices holomorfos y antiholomórficos han cambiado de lugar. Hay una conjugación en formas diferenciales complejas que intercambia formas de tipo y , y si uno define el operador estrella de Hodge lineal conjugado por entonces tenemos: ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle {\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle {\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X).}$

Usando la estrella de Hodge lineal conjugada, se puede definir un producto interno hermitiano en formas diferenciales complejas, por: ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,}$

donde ahora es una forma, y ​​en particular una forma de valor complejo y, por lo tanto, puede integrarse con respecto a su orientación canónica . Además, supongamos que es un paquete de vectores holomorfos hermitianos. Entonces la métrica hermitiana da un isomorfismo lineal conjugado entre y su paquete de vectores duales , digamos . Al definir , se obtiene un isomorfismo: ${\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\star }}\beta }$ ${\displaystyle (n,n)}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (E,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E\cong E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \tau :E\to E^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)}$

${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})}$

donde consta de formas diferenciales complejas de valores suaves. Utilizando el emparejamiento entre y dado por y , se puede definir un producto interno hermitiano en tales formas valoradas por: ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta ,}$

donde aquí significa producto de cuña de formas diferenciales y usando el emparejamiento entre y dado por . ${\displaystyle \wedge _{h}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle h}$

El teorema de Hodge para la cohomología de Dolbeault afirma que si definimos:

${\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+{\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}}$

donde es el operador Dolbeault de y es su adjunto formal con respecto al producto interno, entonces: ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{*}}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X).}$

A la izquierda está la cohomología de Dolbeault y a la derecha está el espacio vectorial de formas diferenciales con valores armónicos ${\displaystyle E}$ definido por:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.}$

Utilizando esta descripción, el teorema de la dualidad de Serre se puede enunciar de la siguiente manera: El isomorfismo induce un isomorfismo lineal complejo: ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.}$

Esto se puede demostrar fácilmente utilizando la teoría de Hodge anterior. Es decir, si es una clase de cohomología con un representante armónico único , entonces: ${\displaystyle [\alpha ]}$ ${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0}$

con igualdad si y sólo si . En particular, el par lineal complejo: ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta }$

entre y no es degenerado e induce el isomorfismo en el teorema de dualidad de Serre. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)}$

El enunciado de la dualidad de Serre en el entorno algebraico puede recuperarse tomando y aplicando el teorema de Dolbeault , que establece que: ${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)}$

donde a la izquierda está la cohomología de Dolbeault y a la derecha la cohomología de la gavilla, donde denota la gavilla de formas holomorfas. En particular obtenemos: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{p}}$ ${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}}$

donde hemos usado que el haz de formas holomorfas es solo el paquete canónico de . ${\displaystyle (n,0)}$ ${\displaystyle X}$

Curvas algebraicas

Una aplicación fundamental de la dualidad de Serre es a las curvas algebraicas . (Sobre los números complejos , es equivalente a considerar superficies compactas de Riemann ). Para un paquete de líneas L en una curva proyectiva suave X sobre un campo k , los únicos grupos de cohomología posiblemente distintos de cero son y . La dualidad de Serre describe el grupo en términos de un grupo (para un conjunto de líneas diferente). ^[3] Eso es más concreto, ya que de un conjunto de líneas es simplemente su espacio de secciones. ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,L)}$ ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{0}}$ ${\displaystyle H^{0}}$

La dualidad de Serre es especialmente relevante para el teorema de curvas de Riemann-Roch . Para un paquete de líneas L de grado d en una curva X de género g , el teorema de Riemann-Roch dice que:

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.}$

Utilizando la dualidad de Serre, esto se puede reformular en términos más elementales:

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.}$

Este último enunciado (expresado en términos de divisores ) es de hecho la versión original del teorema del siglo XIX. Esta es la herramienta principal utilizada para analizar cómo una curva determinada puede integrarse en el espacio proyectivo y, por tanto, clasificar curvas algebraicas.

Ejemplo: Cada sección global de un paquete de líneas de grado negativo es cero. Además, el grado del paquete canónico es . Por lo tanto, Riemann-Roch implica que para un paquete de líneas L de grado , es igual a . Cuando el género g es al menos 2, se deduce por dualidad de Serre que . Aquí está el espacio de deformación de primer orden de X. Este es el cálculo básico necesario para demostrar que el espacio de módulos de curvas de género g tiene dimensión . ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle d>2g-2}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle d-g+1}$ ${\displaystyle h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3}$ ${\displaystyle H^{1}(X,TX)}$ ${\displaystyle 3g-3}$

Dualidad de Serre para haces coherentes

Otra formulación de la dualidad de Serre es válida para todos los haces coherentes , no sólo para los haces de vectores. Como primer paso para generalizar la dualidad de Serre, Grothendieck demostró que esta versión funciona para esquemas con singularidades leves, esquemas de Cohen-Macaulay , no sólo para esquemas suaves.

Es decir, para un esquema X de Cohen-Macaulay de dimensión pura n sobre un campo k , Grothendieck definió una gavilla coherente en X llamada gavilla dualizante . (Algunos autores llaman a esta gavilla ). Supongamos además que X es propia de k . Para una gavilla coherente E en X y un número entero i , la dualidad de Serre dice que existe un isomorfismo natural: ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}}$

de espacios k -vectoriales de dimensión finita . ^[4] Aquí el grupo Ext se toma en la categoría abeliana de -módulos . Esto incluye la afirmación anterior, ya que es isomorfo cuando E es un paquete de vectores. ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ ${\displaystyle H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})}$

Para utilizar este resultado, es necesario determinar explícitamente la gavilla dualizante, al menos en casos especiales. Cuando X es suave sobre k , es el paquete de líneas canónicas definido anteriormente. De manera más general, si X es un subesquema de Cohen-Macaulay de codimensión r en un esquema suave Y sobre k , entonces la gavilla dualizadora puede describirse como una gavilla Ext : ^[5] ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).}$

Cuando X es una intersección completa local de la codimensión r en un esquema suave Y , hay una descripción más elemental: el paquete normal de X en Y es un paquete vectorial de rango r , y el haz dualizante de X viene dado por: ^{[6 ]}

${\displaystyle \omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).}$

En este caso, X es un esquema de Cohen-Macaulay con un paquete de líneas, lo que dice que X es Gorenstein . ${\displaystyle \omega _{X}}$

Ejemplo: Sea X una intersección completa en el espacio proyectivo sobre un campo k , definido por polinomios homogéneos de grados . (Decir que se trata de una intersección completa significa que X tiene dimensión ). Hay paquetes de líneas O ( d ) para números enteros d , con la propiedad de que los polinomios homogéneos de grado d pueden verse como secciones de O ( d ). Entonces el haz dualizador de X es el haz de líneas: ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{r}}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},}$

por la fórmula adjunta . Por ejemplo, la gavilla dualizadora de una curva plana X de grado d es . ${\displaystyle O(d-3)|_{X}}$

Módulos complejos de Calabi-Yau triples

En particular, podemos calcular el número de deformaciones complejas, igual a para una quíntica triple en , una variedad Calabi-Yau, utilizando la dualidad de Serre. Dado que la propiedad Calabi-Yau asegura la dualidad de Serre, nos muestra que mostrar el número de módulos complejos es igual que en el diamante de Hodge. Por supuesto, la última afirmación depende del teorema de Bogomolev-Tian-Todorov que establece que toda deformación en un Calabi-Yau no está obstruida. ${\displaystyle \dim(H^{1}(X,TX))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$ ${\displaystyle h^{2,1}}$

Dualidad de Grothendieck

La teoría de la dualidad coherente de Grothendieck es una amplia generalización de la dualidad de Serre, utilizando el lenguaje de categorías derivadas . Para cualquier esquema X de tipo finito sobre un campo k , existe un objeto de la categoría derivada acotada de haces coherentes en X , llamado complejo dualizante de X sobre k . Formalmente, es la imagen inversa excepcional , donde f es el morfismo dado . Cuando X es Cohen-Macaulay de dimensión pura n , es ; es decir, es la gavilla dualizadora discutida anteriormente, vista como un complejo en grado (cohomológico) − n . En particular, cuando X es suave sobre k , el paquete de líneas canónicas se coloca en grado − n . ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle f^{!}O_{Y}}$ ${\displaystyle X\to Y=\operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle \omega _{X}[n]}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$

Utilizando el complejo dualizador, la dualidad de Serre se generaliza a cualquier esquema adecuado X sobre k . Es decir, existe un isomorfismo natural de los espacios k -vectoriales de dimensión finita:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}}$

para cualquier objeto E en . ^[7] ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$

De manera más general, para un esquema adecuado X sobre k , un objeto E en y F un complejo perfecto en , se tiene la elegante afirmación: ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.}$

Aquí el producto tensorial significa el producto tensorial derivado , como es natural en las categorías derivadas. (Para comparar con formulaciones anteriores, tenga en cuenta que se puede ver como .) Cuando X también es suave sobre k , cada objeto en es un complejo perfecto, por lo que esta dualidad se aplica a todos los E y F en . Luego, la afirmación anterior se resume diciendo que es un functor de Serre para X suave y adecuado sobre k . ^[8] ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$

La dualidad de Serre es válida de manera más general para espacios algebraicos adecuados sobre un campo. ^[9]

Notas

1. Huybrechts (2005), ejercicio 3.2.3.
2. Serré (1955); Huybrechts (2005), Proposición 4.1.15.
3. Para una curva, la dualidad de Serre es más simple pero aún no trivial. Una prueba se da en Tate (1968).
4. Hartshorne (1977), Teorema III.7.6.
5. Hartshorne (1977), prueba de la Proposición III.7.5; Proyecto de pilas, etiqueta 0A9X.
6. Hartshorne (1977), Teorema III.7.11; Proyecto de pilas, etiqueta 0BQZ.
7. Hartshorne (1966), Corolario VII.3.4(c); Proyecto de pilas, etiqueta 0B6I; Proyecto de pilas, etiqueta 0B6S.
8. Huybrechts (2006), Definición 1.28, Teorema 3.12.
9. Proyecto Stacks, etiqueta 0E58.

Referencias

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, OCLC  13348052
• Hartshorne, Robin (1966), Residuos y dualidad , Lecture Notes in Mathematics, vol. 20, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03603-6, SEÑOR  0222093
• "Dualidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-21290-6, señor  2093043
• Huybrechts, Daniel (2006), Transformadas de Fourier-Mukai en geometría algebraica , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866, señor  2244106
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Un théorème de dualité", Commentarii Mathematici Helvetici , 29 : 9–26, doi :10.1007/BF02564268, SEÑOR  0067489
• Tate, John (1968), "Residuos de diferenciales en curvas" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 1 : 149–159, doi : 10.24033/asens.1162 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  0227171

enlaces externos

• Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks