Teorema del hiperplano de Lefschetz

En matemáticas , específicamente en geometría algebraica y topología algebraica , el teorema del hiperplano de Lefschetz es un enunciado preciso de ciertas relaciones entre la forma de una variedad algebraica y la forma de sus subvariedades. Más precisamente, el teorema dice que para una variedad X inserta en un espacio proyectivo y una sección del hiperplano Y , los grupos de homología , cohomología y homotopía de X determinan los de Y. Solomon Lefschetz fue el primero en enunciar un resultado de este tipo para los grupos de homología de variedades algebraicas complejas. Desde entonces se han encontrado resultados similares para los grupos de homotopía, en la característica positiva y en otras teorías de homología y cohomología.

Una generalización de largo alcance del teorema de Lefschetz duro está dada por el teorema de descomposición .

El teorema del hiperplano de Lefschetz para variedades proyectivas complejas

Sea una variedad algebraica proyectiva compleja de dimensión 1 en , y sea una sección hiperplanar de tal que sea suave. El teorema de Lefschetz se refiere a cualquiera de los siguientes enunciados: ^{[1] [2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=X\setminus Y}$

1. El mapa natural en homología singular es un isomorfismo para y es sobreyectivo para . ${\displaystyle H_{k}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow H_{k}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k<n-1}$ ${\displaystyle k=n-1}$
2. El mapa natural en cohomología singular es un isomorfismo para y es inyectivo para . ${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {Z} )\rightarrow H^{k}(Y,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k<n-1}$ ${\displaystyle k=n-1}$
3. El mapa natural es un isomorfismo para y es sobreyectivo para . ${\displaystyle \pi _{k}(Y,\mathbb {Z} )\rightarrow \pi _{k}(X,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k<n-1}$ ${\displaystyle k=n-1}$

Utilizando una secuencia exacta larga , se puede demostrar que cada una de estas afirmaciones es equivalente a un teorema de desaparición para ciertas invariantes topológicas relativas. En orden, son:

1. Los grupos de homología singular relativa son cero para . ${\displaystyle H_{k}(X,Y;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k\leq n-1}$
2. Los grupos de cohomología singular relativa son cero para . ${\displaystyle H^{k}(X,Y;\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle k\leq n-1}$
3. Los grupos de homotopía relativa son cero para . ${\displaystyle \pi _{k}(X,Y)}$ ${\displaystyle k\leq n-1}$

Prueba de Lefschetz

Solomon Lefschetz ^[3] utilizó su idea de un lápiz de Lefschetz para demostrar el teorema. En lugar de considerar la sección del hiperplano solo, la puso en una familia de secciones del hiperplano , donde . Debido a que una sección del hiperplano genérico es suave, todos menos un número finito de son variedades suaves. Después de eliminar estos puntos del plano y hacer un número finito adicional de rendijas, la familia resultante de secciones del hiperplano es topológicamente trivial. Es decir, es un producto de un genérico con un subconjunto abierto del plano . , por lo tanto, se puede entender si uno entiende cómo se identifican las secciones del hiperplano a través de las rendijas y en los puntos singulares. Lejos de los puntos singulares, la identificación se puede describir inductivamente. En los puntos singulares, el lema de Morse implica que hay una elección de sistema de coordenadas para de una forma particularmente simple. Este sistema de coordenadas se puede utilizar para demostrar el teorema directamente. ^[4] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle Y=Y_{0}}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Y_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Prueba de Andreotti y Frankel

Aldo Andreotti y Theodore Frankel ^[5] reconocieron que el teorema de Lefschetz podía reformularse utilizando la teoría de Morse . ^[6] Aquí el parámetro juega el papel de una función de Morse. La herramienta básica en este enfoque es el teorema de Andreotti-Frankel , que establece que una variedad afín compleja de dimensión compleja (y, por lo tanto, dimensión real ) tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de dimensión (real) . Esto implica que los grupos de homología relativa de en son triviales en grado menor que . La larga secuencia exacta de homología relativa da entonces el teorema. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$

Pruebas de Thom y Bott

Ni la prueba de Lefschetz ni la de Andreotti y Frankel implican directamente el teorema del hiperplano de Lefschetz para grupos de homotopía. René Thom encontró un enfoque que sí lo hace a más tardar en 1957 y fue simplificado y publicado por Raoul Bott en 1959. ^[7] Thom y Bott interpretan como el lugar de desaparición en de una sección de un fibrado lineal. Una aplicación de la teoría de Morse a esta sección implica que puede construirse a partir de celdas adyacentes de dimensión o más. De esto, se sigue que la homología relativa y los grupos de homotopía de en se concentran en grados y superiores, lo que produce el teorema. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$

Demostración de Kodaira y Spencer para los grupos de Hodge

Kunihiko Kodaira y Donald C. Spencer descubrieron que, bajo ciertas restricciones, es posible demostrar un teorema de tipo Lefschetz para los grupos de Hodge . Específicamente, suponga que es suave y que el fibrado lineal es amplio. Entonces, la función de restricción es un isomorfismo si y es inyectiva si . ^{[8] [9]} Según la teoría de Hodge, estos grupos de cohomología son iguales a los grupos de cohomología de haces y . Por lo tanto, el teorema se deduce de la aplicación del teorema de desaparición de Akizuki-Nakano a y usando una secuencia exacta larga. ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(Y)}$ ${\displaystyle H^{p,q}(X)\to H^{p,q}(Y)}$ ${\displaystyle p+q<n-1}$ ${\displaystyle p+q=n-1}$ ${\displaystyle H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X})}$ ${\displaystyle H^{q}(Y,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{Y})}$ ${\displaystyle H^{q}(X,\textstyle \bigwedge ^{p}\Omega _{X}|_{Y})}$

Combinando esta prueba con el teorema del coeficiente universal se obtiene casi el teorema de Lefschetz habitual para cohomología con coeficientes en cualquier campo de característica cero. Sin embargo, es ligeramente más débil debido a los supuestos adicionales sobre . ${\displaystyle Y}$

Prueba de Artin y Grothendieck para poleas construibles

Michael Artin y Alexander Grothendieck encontraron una generalización del teorema del hiperplano de Lefschetz al caso en que los coeficientes de la cohomología no se encuentran en un cuerpo sino en un haz construible . Demuestran que para un haz construible en una variedad afín , los grupos de cohomología se anulan siempre que . ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H^{k}(U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle k>n}$

El teorema de Lefschetz en otras teorías de cohomología

La motivación detrás de la demostración de Artin y Grothendieck para haces construibles fue proporcionar una demostración que pudiera adaptarse al contexto de la cohomología étale y -ádica. Con algunas restricciones en el haz construible, el teorema de Lefschetz sigue siendo válido para haces construibles en característica positiva. ${\displaystyle \ell }$

El teorema también se puede generalizar a la homología de intersecciones . En este contexto, el teorema se cumple para espacios altamente singulares.

Un teorema de tipo Lefschetz también es válido para los grupos de Picard . ^[11]

Teorema duro de Lefschetz

Sea una variedad proyectiva compleja no singular -dimensional en . Entonces, en el anillo de cohomología de , el producto de pliegue con la clase de cohomología de un hiperplano da un isomorfismo entre y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{N}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle H^{n-k}(X)}$ ${\displaystyle H^{n+k}(X)}$

Este es el teorema duro de Lefschetz , bautizado en francés por Grothendieck más coloquialmente como Théorème de Lefschetz vache . ^{[12] [13]} Implica inmediatamente la parte de inyectividad del teorema del hiperplano de Lefschetz.

De hecho, el teorema de Lefschetz duro se cumple para cualquier variedad compacta de Kähler , con el isomorfismo en la cohomología de De Rham dado por la multiplicación por una potencia de la clase de la forma de Kähler. Puede fallar para variedades que no sean de Kähler: por ejemplo, las superficies de Hopf tienen grupos de segunda cohomología que se desvanecen, por lo que no hay un análogo de la segunda clase de cohomología de una sección de hiperplano.

El teorema de Lefschetz duro fue demostrado para la cohomología -ádica de variedades proyectivas suaves sobre campos algebraicamente cerrados de característica positiva por Pierre Deligne  (1980). ${\displaystyle \ell }$

Referencias

1. Milnor 1963, Teorema 7.3 y Corolario 7.4
2. Voisin 2003, Teorema 1.23
3. Lefschetz 1924
4. Griffiths, Spencer y Whitehead 1992
5. Andreotti y Frankel 1959
6. Milnor 1963, pág. 39
7. Bott 1959
8. Lazarsfeld 2004, Ejemplo 3.1.24
9. Voisin 2003, Teorema 1.29
10. Lazarsfeld 2004, Teorema 3.1.13
11. Lazarsfeld 2004, Ejemplo 3.1.25
12. Beauville
13. Sabbath 2001

Bibliografía

• Andreotti, Aldo ; Frankel, Theodore (1959), "El teorema de Lefschetz sobre secciones de hiperplanos", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 69 (3): 713–717, doi :10.2307/1970034, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970034, MR  0177422
• Beauville, Arnaud , La conjetura de Hodge , CiteSeerX  10.1.1.74.2423
• Bott, Raoul (1959), "Sobre un teorema de Lefschetz", Michigan Mathematical Journal , 6 (3): 211–216, doi : 10.1307/mmj/1028998225 , MR  0215323 , consultado el 30 de enero de 2010
• Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil. II", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 (52): 137–252, doi :10.1007/BF02684780, ISSN  1618-1913, MR  0601520, S2CID  189769469
• Griffiths, Phillip ; Spencer, Donald C .; Whitehead, George W. (1992), "Solomon Lefschetz", en National Academy of Sciences, Oficina del Secretario del Interior (ed.), Memorias biográficas , vol. 61, The National Academies Press, ISBN 978-0-309-04746-3
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positividad en geometría algebraica. Yo , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas afines. 3ª Serie. Una serie de estudios modernos en matemáticas], vol. 48, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 978-3-540-22533-1, Sr.  2095471
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• Milnor, John Willard (1963), Teoría de Morse , Anales de estudios matemáticos, n.º 51, Princeton University Press , MR  0163331
• Sabbah, Claude (2001), Théorie de Hodge et théorème de Lefschetz « difficile » (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 7 de julio de 2004
• Voisin, Claire (2003), Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja. II , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 77, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511615177, ISBN 978-0-521-80283-3, Sr.  1997577