Superficie de Hopf

En geometría compleja , una superficie de Hopf es una superficie compleja compacta obtenida como cociente del espacio vectorial complejo (con cero eliminado) por una acción libre de un grupo discreto. Si este grupo son los números enteros la superficie de Hopf se llama primaria , en caso contrario se llama secundaria . (Algunos autores usan el término "superficie de Hopf" para significar "superficie de Hopf primaria".) El primer ejemplo fue encontrado por Heinz Hopf  (1948), con el grupo discreto isomorfo a los números enteros, con un generador actuando sobre por multiplicación por 2; este fue el primer ejemplo de una superficie compleja compacta sin métrica de Kähler . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Los análogos de dimensiones superiores de las superficies de Hopf se denominan variedades de Hopf .

Invariantes

Las superficies de Hopf son superficies de clase VII y en particular todas tienen dimensión Kodaira y todos sus plurigeneradores se anulan. El género geométrico es 0. El grupo fundamental tiene un subgrupo cíclico infinito central normal de índice finito. El diamante de Hodge es ${\displaystyle -\infty }$

En particular, el primer número de Betti es 1 y el segundo número de Betti es 0. A la inversa, Kunihiko Kodaira  (1968) demostró que una superficie compleja compacta en la que se desvanece el segundo número de Betti y cuyo grupo fundamental contiene un subgrupo cíclico infinito de índice finito es una superficie de Hopf.

Superficies de Hopf primarias

En el curso de la clasificación de superficies complejas compactas , Kodaira clasificó las superficies de Hopf primarias.

Una superficie de Hopf primaria se obtiene como

${\displaystyle H={\Big (}\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}{\Big )}/\Gamma ,}$

donde es un grupo generado por una contracción polinómica . Kodaira ha encontrado una forma normal para . En coordenadas apropiadas, se puede escribir como ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\alpha x+\lambda y^{n},\beta y)}$

donde son números complejos que satisfacen , y o . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 0<|\alpha |\leq |\beta |<1}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \alpha =\beta ^{n}}$

Estas superficies contienen una curva elíptica (la imagen del eje x ) y si la imagen del eje y es una segunda curva elíptica. Cuando , la superficie de Hopf es un espacio de fibras elípticas sobre la línea proyectiva si para algunos enteros positivos m y n , con la función de la línea proyectiva dada por , y en caso contrario las únicas curvas son las dos imágenes de los ejes. ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \alpha ^{m}=\beta ^{n}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{m}y^{-n}}$

El grupo Picard de cualquier superficie de Hopf primaria es isomorfo a los números complejos distintos de cero . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Kodaira (1966b) ha demostrado que una superficie compleja es difeomorfa si y sólo si es una superficie de Hopf primaria. ${\displaystyle S^{3}\times S^{1}}$

Superficies de Hopf secundarias

Toda superficie de Hopf secundaria tiene una cubierta finita no ramificada que es una superficie de Hopf primaria. De manera equivalente, su grupo fundamental tiene un subgrupo de índice finito en su centro que es isomorfo a los enteros. Masahido Kato (1975) los clasificó encontrando los grupos finitos que actúan sin puntos fijos sobre superficies de Hopf primarias.

Se pueden construir muchos ejemplos de superficies de Hopf secundarias con un espacio subyacente producto de formas espaciales esféricas y un círculo.

Referencias

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• Hopf, Heinz (1948). "Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten". Estudios y ensayos presentados a R. Courant en su 60 cumpleaños, el 8 de enero de 1948 . Interscience Publishers, Inc., Nueva York. págs. 167–185. SEÑOR  0023054.
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• Kodaira, Kunihiko (1968), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. III", American Journal of Mathematics , 90 (1), The Johns Hopkins University Press: 55–83, doi :10.2307/2373426, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373426, MR  0228019
• Kodaira, Kunihiko (1966b), "Estructuras complejas en S1×S3", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 55 (2): 240–243, Bibcode :1966PNAS...55..240K, doi : 10.1073/pnas.55.2.240 , ISSN  0027-8424, MR  0196769, PMC  224129 , PMID  16591329
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