Morfismo de variedades algebraicas.

En geometría algebraica , un morfismo entre variedades algebraicas es una función entre las variedades que está dada localmente por polinomios . También se le llama mapa regular . Un morfismo de una variedad algebraica a la recta afín también se llama función regular . Una aplicación regular cuya inversa también lo es se llama biregular , y las aplicaciones biregulares son los isomorfismos de variedades algebraicas. Debido a que regular y biregular son condiciones muy restrictivas (no hay funciones regulares no constantes en las variedades proyectivas ), los conceptos de aplicaciones racionales y birracionales también se utilizan ampliamente; son funciones parciales que se definen localmente mediante fracciones racionales en lugar de polinomios.

Una variedad algebraica tiene naturalmente la estructura de un espacio localmente anillado ; un morfismo entre variedades algebraicas es precisamente un morfismo de los espacios anillados localmente subyacentes.

Definición

Si X e Y son subvariedades cerradas de y (por lo que son variedades afines ), entonces una aplicación regular es la restricción de una aplicación polinómica . Explícitamente, tiene la forma: ^[1] ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

donde los s están en el anillo de coordenadas de X : ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

donde I es el ideal que define X (nota: dos polinomios f y g definen la misma función en X si y sólo si f  −  g está en I ). La imagen f ( X ) se encuentra en Y y, por tanto , satisface las ecuaciones que definen a Y. Es decir, una aplicación regular es lo mismo que la restricción de una aplicación polinómica cuyos componentes satisfacen las ecuaciones definitorias de . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

De manera más general, una aplicación f : X → Y entre dos variedades es regular en un punto x si hay una vecindad U de x y una vecindad V de f ( x ) tal que f ( U ) ⊂ V y la función restringida f : U → V es regular como función en algunas gráficas afines de U y V. Entonces f se llama regular , si es regular en todos los puntos de X.

• Nota: No es inmediatamente obvio que las dos definiciones coincidan: si X e Y son variedades afines, entonces una aplicación f : X → Y es regular en el primer sentido si y sólo si lo es en el segundo sentido. ^[a] Además, no está inmediatamente claro si la regularidad depende de una elección de gráficos afines (no es así. ^[b] ) Sin embargo, este tipo de problema de coherencia desaparece si se adopta la definición formal. Formalmente, una variedad algebraica (abstracta) se define como un tipo particular de espacio localmente anillado . Cuando se utiliza esta definición, un morfismo de variedades es simplemente un morfismo de espacios localmente anillados.

La composición de los mapas regulares vuelve a ser regular; así, las variedades algebraicas forman la categoría de variedades algebraicas donde los morfismos son los mapas regulares.

Los mapas regulares entre variedades afines corresponden contravariantemente uno a uno a homomorfismos de álgebra entre los anillos de coordenadas: si f : X → Y es un morfismo de variedades afines, entonces define el homomorfismo de álgebra

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

¿ Dónde están los anillos de coordenadas de X e Y ? está bien definido ya que es un polinomio en elementos de . Por el contrario, si es un homomorfismo de álgebra, entonces induce el morfismo ${\displaystyle k[X],k[Y]}$ ${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$ ${\displaystyle k[X]}$ ${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

dado por: escritura ${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

¿ Dónde están las imágenes de 's? ^[c] Nota al igual que ^[d] En particular, f es un isomorfismo de variedades afines si y sólo si f ^# es un isomorfismo de los anillos de coordenadas. ${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$ ${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$

Por ejemplo, si X es una subvariedad cerrada de una variedad afín Y y f es la inclusión, entonces f ^# es la restricción de funciones regulares de Y a X. Consulte #Ejemplos a continuación para obtener más ejemplos.

Funciones regulares

En el caso particular de que Y sea igual a A ¹ , las funciones regulares f : X → A ¹ se denominan funciones regulares y son análogas algebraicas de funciones suaves estudiadas en geometría diferencial. El anillo de funciones regulares (es decir, el anillo de coordenadas o, de manera más abstracta, el anillo de secciones globales de la estructura de haz) es un objeto fundamental en la geometría algebraica afín. La única función regular en una variedad proyectiva es constante (esto puede verse como un análogo algebraico del teorema de Liouville en análisis complejo ).

Una función escalar f : X → A ¹ es regular en un punto x si, en alguna vecindad afín abierta de x , es una función racional que es regular en x ; es decir, hay funciones regulares g , h cerca de x tales que f = g / h y h no desaparecen en x . ^[e] Precaución: la condición es para algún par ( g , h ) no para todos los pares ( g , h ); ver Ejemplos.

Si X es una variedad cuasi proyectiva ; es decir, una subvariedad abierta de una variedad proyectiva, entonces el campo funcional k ( X ) es el mismo que el de la clausura de X y por lo tanto una función racional sobre X es de la forma g / h para algunos elementos homogéneos g , h de del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneo de (cf. Variedad proyectiva#Estructura de variedad ). Entonces una función racional f en X es regular en un punto x si y sólo si hay algunos elementos homogéneos g , h del mismo grado en tal que f = g / h y h no desaparece en x . Esta caracterización a veces se toma como la definición de una función regular. ^[2] ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$

Comparación con un morfismo de esquemas.

Si X = Spec A e Y = Spec B son esquemas afines , entonces cada homomorfismo de anillo φ: B → A determina un morfismo

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

tomando las preimágenes de los ideales principales . Todos los morfismos entre esquemas afines son de este tipo y al pegar dichos morfismos se obtiene un morfismo de esquemas en general.

Ahora bien, si X , Y son variedades afines; es decir, A , B son dominios integrales que son álgebras generadas finitamente sobre un campo algebraicamente cerrado k , entonces, trabajando solo con los puntos cerrados, lo anterior coincide con la definición dada en #Definición. (Prueba: si f  : X → Y es un morfismo, entonces al escribir , debemos mostrar ${\displaystyle \phi =f^{\#}}$

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

donde están los ideales máximos correspondientes a los puntos x y f ( x ); es decir, . Esto es inmediato.) ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$

Este hecho significa que la categoría de variedades afines se puede identificar con una subcategoría completa de esquemas afines sobre k . Dado que los morfismos de variedades se obtienen pegando morfismos de variedades afines de la misma manera que los morfismos de esquemas se obtienen pegando morfismos de esquemas afines, se deduce que la categoría de variedades es una subcategoría completa de la categoría de esquemas sobre k .

Para más detalles, ver [1].

Ejemplos

• Las funciones regulares de A ⁿ son exactamente los polinomios en n variables y las funciones regulares de P ⁿ son exactamente las constantes.
• Sea X la curva afín . Entonces ${\displaystyle y=x^{2}}$
  $${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$
  es un morfismo; es biyectivo con el inverso . Como g también es un morfismo, f es un isomorfismo de variedades. ${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$
• Sea X la curva afín . Entonces ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$
  $${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$
  es un morfismo. Corresponde al homomorfismo de anillo.
  $${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$
  que se considera inyectivo (ya que f es sobreyectivo).
• Continuando con el ejemplo anterior, sea U = A ¹  − {1}. Dado que U es el complemento del hiperplano t = 1, U es afín. La restricción es biyectiva. Pero el homomorfismo de anillo correspondiente es la inclusión , que no es un isomorfismo y por tanto la restricción f | _U no es un isomorfismo. ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$
• Sea X la curva afín x ² + y ² = 1 y sea
  $${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$
  Entonces f es una función racional sobre X . Es regular en (0, 1) a pesar de la expresión ya que, como función racional en X , f también se puede escribir como . ${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$
• Sea X = A ² − (0, 0) . Entonces X es una variedad algebraica ya que es un subconjunto abierto de una variedad. Si f es una función regular en X , entonces f es regular en y también lo es en . Del mismo modo, está en . Así, podemos escribir: ${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$ ${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$ ${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$
  $${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$
  donde g , h son polinomios en k [ x , y ]. Pero esto implica que g es divisible por x ⁿ , por lo que f es de hecho un polinomio. Por tanto, el anillo de funciones regulares en X es simplemente k [ x , y ]. (Esto también muestra que X no puede ser afín ya que si lo fuera, X estaría determinado por su anillo de coordenadas y, por lo tanto, X = A ² ).
• Supongamos que identifica los puntos ( x  : 1) con los puntos x en A ¹ y ∞ = (1: 0). Existe un automorfismo σ de P ¹ dado por σ(x : y) = (y : x); en particular, σ intercambia 0 y ∞. Si f es una función racional en P ¹ , entonces ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$
  $${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$
  y f es regular en ∞ si y sólo si f (1/ z ) es regular en cero.
• Tomando el campo de función k ( V ) de una curva algebraica irreducible V , todas las funciones F en el campo de función pueden realizarse como morfismos de V a la línea proyectiva sobre k . ^{[ se necesita aclaración ]} (cf. #Propiedades) La imagen será un solo punto o la línea proyectiva completa (esto es una consecuencia de la integridad de las variedades proyectivas ). Es decir, a menos que F sea realmente constante, tenemos que atribuirle a F el valor ∞ en algunos puntos de V.
• Para cualquier variedad algebraica X , Y , la proyección
  $${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$
  es un morfismo de variedades. Si X e Y son afines, entonces el homomorfismo de anillo correspondiente es
  $${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$
  dónde . ${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$

Propiedades

Un morfismo entre variedades es continuo con respecto a las topologías de Zariski en el origen y el destino.

La imagen de un morfismo de variedades no tiene por qué ser abierta ni cerrada (por ejemplo, la imagen de no es ni abierta ni cerrada). Sin embargo, todavía se puede decir: si f es un morfismo entre variedades, entonces la imagen de f contiene un subconjunto abierto y denso de su cierre. (cf. conjunto construible ). ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$

Un morfismo f : X → Y de variedades algebraicas se dice que es dominante si tiene una imagen densa. Para tal f , si V es un subconjunto afín abierto no vacío de Y , entonces hay un subconjunto afín abierto no vacío U de X tal que f ( U ) ⊂ V y luego es inyectivo. Así, el mapa dominante f induce una inyección en el nivel de los campos funcionales: ${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

donde el límite abarca todos los subconjuntos afines abiertos no vacíos de Y . (De manera más abstracta, este es el mapa inducido desde el campo residual del punto genérico de Y al de X. ) A la inversa, cada inclusión de campos es inducida por un mapa racional dominante de X a Y. ^[3] Por lo tanto, la construcción anterior determina una equivalencia contravariante entre la categoría de variedades algebraicas sobre un campo k y mapas racionales dominantes entre ellos y la categoría de extensión de campo finitamente generada de k . ^[4] ${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$

Si X es una curva completa suave (por ejemplo, P ¹ ) y si f es una aplicación racional de X a un espacio proyectivo P ^m , entonces f es una aplicación regular X → P ^m . ^[5] En particular, cuando X es una curva completa suave, cualquier función racional sobre X puede verse como un morfismo X → P ¹ y, a la inversa, dicho morfismo como una función racional sobre X.

En una variedad normal (en particular, una variedad suave ), una función racional es regular si y sólo si no tiene polos de codimensión uno. ^[f] Este es un análogo algebraico del teorema de extensión de Hartogs . También existe una versión relativa de este hecho; ver [2].

Un morfismo entre variedades algebraicas que es un homeomorfismo entre los espacios topológicos subyacentes no tiene por qué ser un isomorfismo (un contraejemplo lo da un morfismo de Frobenius ). Por otro lado, si f es biyectivo biracional y el espacio objetivo de f es una variedad normal , entonces f es biregular. (cf. el teorema principal de Zariski ). ${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$

Una aplicación regular entre variedades algebraicas complejas es una aplicación holomorfa . (En realidad, existe una ligera diferencia técnica: un mapa regular es un mapa meromórfico cuyos puntos singulares se pueden eliminar , pero la distinción generalmente se ignora en la práctica). En particular, un mapa regular en números complejos es simplemente una función holomorfa habitual (compleja). -función analítica).

Morfismos a un espacio proyectivo.

Dejar

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

ser un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo. Sea x un punto de X. Entonces alguna i -ésima coordenada homogénea de f ( x ) es distinta de cero; digamos, i = 0 por simplicidad. Entonces, por continuidad, existe una vecindad afín abierta U de x tal que

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

es un morfismo, donde y _i son las coordenadas homogéneas. Tenga en cuenta que el espacio objetivo es el espacio afín Am a través ^de la identificación . Así, por definición, la restricción f | _U está dada por ${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

donde g _i son funciones regulares en U. Dado que X es proyectivo, cada g _i es una fracción de elementos homogéneos del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneo k [ X ] de X . Podemos ordenar las fracciones de modo que todas tengan el mismo denominador homogéneo, digamos f ₀ . Entonces podemos escribir g _i = f _i / f ₀ para algunos elementos homogéneos f _i en k [ X ]. Por tanto, volviendo a las coordenadas homogéneas,

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

para todo x en U y por continuidad para todo x en X siempre que los f _i no desaparezcan en x simultáneamente. Si desaparecen simultáneamente en un punto x de X , entonces, mediante el _{procedimiento} anterior, se puede elegir un conjunto diferente de fi que no desaparecen en x simultáneamente (consulte la nota al final de la sección).

De hecho, la descripción anterior es válida para cualquier variedad cuasiproyectiva X , una subvariedad abierta de una variedad proyectiva ; la diferencia es que los f _i están en el anillo de coordenadas homogéneo de . ${\displaystyle {\overline {X}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}}$

Nota : Lo anterior no dice que un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo esté dado por un único conjunto de polinomios (a diferencia del caso afín). Por ejemplo, sea X la cónica en P ² . Luego dos mapas y acuerdan el subconjunto abierto de X (ya que ) y así definen un morfismo . ${\displaystyle y^{2}=xz}$ ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$ ${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$ ${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$ ${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$

Fibras de un morfismo

El hecho importante es: ^[6]

Teorema  :  Sea f : X → Y un morfismo dominante (es decir, que tenga una imagen densa) de variedades algebraicas, y sea r = dim X  − dim Y . Entonces

1. Para cada subconjunto cerrado irreducible W de Y y cada componente irreducible Z de W dominante , ${\displaystyle f^{-1}(W)}$

   ${\displaystyle \dim Z\geq \dim W+r.}$

2. Existe un subconjunto abierto no vacío U en Y tal que (a) y (b) para cada subconjunto cerrado irreducible W de Y que interseca a U y cada componente irreducible Z de la intersección , ${\displaystyle U\subset f(X)}$ ${\displaystyle f^{-1}(W)}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

   ${\displaystyle \dim Z=\dim W+r.}$

Corolario  :  Sea f : X → Y un morfismo de variedades algebraicas. Para cada x en X , defina

${\displaystyle e(x)=\max\{\dim Z\mid Z{\text{ an irreducible component of }}f^{-1}(f(x)){\text{ containing }}x\}.}$

Entonces e es semicontinuo superior ; es decir, para cada número entero n , el conjunto

${\displaystyle X_{n}=\{x\in X\mid e(x)\geq n\}}$

está cerrado.

En el Libro Rojo de Mumford, el teorema se demuestra mediante el lema de normalización de Noether . Para un enfoque algebraico donde la libertad genérica juega un papel principal y la noción de " anillo catenario universal " es clave en la demostración, véase Eisenbud, Cap. 14 de "Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica". De hecho, la prueba allí muestra que si f es plano , entonces la igualdad de dimensiones en 2. del teorema se cumple en general (no sólo genéricamente).

Grado de un morfismo finito

Sea f : X → Y un morfismo sobreyectivo finito entre variedades algebraicas sobre un campo k . Entonces, por definición, el grado de f es el grado de la extensión del campo finito del campo de función k ( X ) sobre f ^* k ( Y ). Por libertad genérica , existe algún subconjunto abierto no vacío U en Y tal que la restricción de la estructura haz O _X a f ⁻¹ ( U ) es libre como O _Y | Módulo _U. ​El grado de f es también el rango de este módulo gratuito.

Si f es étale y si X , Y están completos , entonces, para cualquier haz coherente F en Y , escribiendo χ para la característica de Euler,

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^[7]

(La fórmula de Riemann-Hurwitz para una cobertura ramificada muestra que aquí no se puede omitir el "étale".)

En general, si f es un morfismo sobreyectivo finito, si X , Y son completos y F es un haz coherente en Y , entonces de la secuencia espectral de Leray , se obtiene: ${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

En particular, si F es una potencia tensor de un paquete de líneas, entonces y dado que el soporte de tiene codimensión positiva si q es positivo, comparando los términos principales, se tiene: ${\displaystyle L^{\otimes n}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$ ${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

(dado que el rango genérico de es el grado de f ). ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

Si f es étale y k es algebraicamente cerrado, entonces cada fibra geométrica f ⁻¹ ( y ) consta exactamente de puntos deg( f ).

Ver también

• función algebraica
• Morfismo suave
• Morfismos de Étale : el análogo algebraico de los difeomorfismos locales .
• Resolución de singularidades
• morfismo de contracción

Notas

1. Aquí está el argumento que muestra que las definiciones coinciden. Claramente, podemos suponer Y = A ¹ . Entonces la cuestión aquí es si la "regularidad" se puede remendar; esta respuesta es sí y eso se puede ver en la construcción de la estructura de gavilla de una variedad afín como se describe en variedad afín # Estructura de gavilla .
2. Sin embargo, no está claro cómo probar esto. Si X , Y son cuasiproyectivos, entonces se puede dar la prueba. El caso no cuasi proyectivo depende en gran medida de la definición que cada uno haga de una variedad abstracta.
3. La imagen de se encuentra en Y ya que si g es un polinomio en J , entonces , el pensamiento a priori es un mapa del espacio afín, ya que g está en J. ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle g\circ \phi ^{a}=g(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))=\phi ({\overline {g}})=0}$
4. Prueba: dado que φ es un homomorfismo de álgebra. También, ${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}(g)=g(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))=\phi (g)}$ ${\displaystyle f^{\#a}=({\overline {y_{1}}}\circ f,\dots ,{\overline {y_{m}}}\circ f)=f.}$
5. Prueba: Sea A el anillo de coordenadas de una vecindad afín de x . Si f = g / h con algo de g en A y algo de h distinto de cero en A , entonces f está en A [ h ⁻¹ ] = k [ D ( h )]; es decir, f es una función regular en D ( h ).
6. Prueba: basta con considerar el caso en el que la variedad es afín y luego usar el hecho de que un dominio noetheriano integralmente cerrado es la intersección de todas las localizaciones en ideales primos de altura uno.

Citas

1. Shafarevich 2013, pag. 25, Def..
2. Hartshorne 1997, cap. Yo, § 3.
3. Vakil, Fundamentos de la geometría algebraica, Proposición 6.5.7.
4. Hartshorne 1997, cap. I, Teorema 4.4..
5. Hartshorne 1997, cap. Yo, Proposición 6.8..
6. Mumford 1999, cap. I, § 8. Teoremas 2, 3.
7. Fulton 1998, ejemplo 18.3.9.

Referencias

• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección. Ciencia Springer . ISBN 978-0-387-98549-7.
• Harris, Joe (1992). Geometría algebraica, un primer curso. Springer Verlag . ISBN 978-1-4757-2189-8.
• Hartshorne, Robin (1997). Geometría Algebraica . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9.
• James Milne , geometría algebraica, versión antigua v. 5.xx.
• Mumford, David (1999). El Libro Rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre las curvas y sus jacobianos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1358 (2ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• Shafarevich, Igor R. (2013). Geometría algebraica básica 1. Ciencia Springer . doi :10.1007/978-3-642-37956-7. ISBN 978-0-387-97716-4.
• Silverman, José H. (2009). La aritmética de las curvas elípticas (2ª ed.). Springer Verlag . ISBN 978-0-387-09494-6.