Conjunto construible (topología)

En topología , los conjuntos construibles son una clase de subconjuntos de un espacio topológico que tienen una estructura relativamente "simple". Se utilizan particularmente en geometría algebraica y campos relacionados. Un resultado clave conocido como teorema de Chevalley en geometría algebraica muestra que la imagen de un conjunto construible es construible para una clase importante de asignaciones (más específicamente morfismos ) de variedades algebraicas (o más generalmente esquemas ). Además, un gran número de propiedades geométricas "locales" de esquemas, morfismos y haces son construibles (localmente). Los conjuntos construibles también aparecen en la definición de varios tipos de gavillas construibles en geometría algebraica y cohomología de intersección .

Definiciones

Una definición simple, adecuada en muchas situaciones, es que un conjunto construible es una unión finita de conjuntos localmente cerrados . (Un conjunto es localmente cerrado si es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado ). Sin embargo, se necesita una modificación y otra definición ligeramente más débil para tener definiciones que se comporten mejor con espacios "grandes":

Definiciones: Un subconjunto de un espacio topológico se llama retrocompacto si es compacto para todo subconjunto abierto compacto . Un subconjunto de es construible si es una unión finita de subconjuntos de la forma donde ambos y son subconjuntos abiertos y retrocompactos de . Un subconjunto es construible localmente si hay una cobertura que consta de subconjuntos abiertos con la propiedad de que cada uno es un subconjunto construible de . ^{[1] [2]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\cap U}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\cap (X-V)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\cap U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

De manera equivalente, los subconjuntos construibles de un espacio topológico son la colección más pequeña de subconjuntos de los cuales (i) contiene todos los subconjuntos retrocompactos abiertos y (ii) contiene todos los complementos y uniones finitas (y por tanto también las intersecciones finitas) de conjuntos en él. En otras palabras, los conjuntos construibles son precisamente el álgebra de Boole generada por subconjuntos abiertos retrocompactos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ ${\displaystyle X}$

En un espacio topológico localmente noetheriano , todos los subconjuntos son retrocompactos, ^[3] y, por lo tanto, para tales espacios la definición simplificada dada primero es equivalente a la más elaborada. La mayoría de los esquemas comúnmente encontrados en geometría algebraica (incluidas todas las variedades algebraicas ) son localmente noetherianos, pero hay construcciones importantes que conducen a esquemas más generales.

En cualquier espacio topológico (no necesariamente noetheriano ), todo conjunto construible contiene un subconjunto abierto denso de su cierre. ^[4]

Terminología: La definición dada aquí es la utilizada por la primera edición de EGA y el Proyecto Stacks . En la segunda edición de EGA, los conjuntos construibles (según la definición anterior) se denominan "globalmente construibles", mientras que la palabra "construible" está reservada para lo que anteriormente se denomina localmente construible. ^[5]

teorema de chevalley

Una razón importante de la importancia de los conjuntos construibles en geometría algebraica es que la imagen de un conjunto construible (localmente) también es construible (localmente) para una gran clase de mapas (o "morfismos"). El resultado clave es:

Teorema de Chevalley. Si es un morfismo de esquemas presentado de forma finita y es un subconjunto construible localmente, entonces también es construible localmente en . ^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle f(Z)}$ ${\displaystyle Y}$

En particular, la imagen de una variedad algebraica no tiene por qué ser una variedad, pero (según los supuestos) siempre es un conjunto construible. Por ejemplo, el mapa que envía tiene imagen del conjunto , que no es una variedad, pero es construible. ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,xy)}$ ${\displaystyle \{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}}$

El teorema de Chevalley en la generalidad mencionada anteriormente fallaría si se utilizara la definición simplificada de conjuntos construibles (sin restringirse a conjuntos abiertos retrocompactos en la definición). ^[9]

Propiedades constructibles

Un gran número de propiedades "locales" de morfismos de esquemas y haces cuasicoherentes de esquemas son válidas en un subconjunto construible localmente. EGA IV § 9 ^[10] cubre un gran número de propiedades de este tipo. A continuación se muestran algunos ejemplos (donde todas las referencias apuntan a EGA IV):

• Si es un morfismo de esquemas presentado finitamente y es una secuencia de módulos cuasi-coherentes presentados finitamente, entonces el conjunto de para el cual es exacto es construible localmente. (Proposición (9.4.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}}$
• Si es un morfismo de esquemas presentado finitamente y es un módulo cuasi-coherente presentado finitamente , entonces el conjunto de para el cual es localmente libre es localmente construible. (Proposición (9.4.7)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$
• Si es un morfismo de esquemas presentado finitamente y es un subconjunto localmente construible, entonces el conjunto de para el cual está cerrado (o abierto) es localmente construible. (Corolario (9.5.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)\cap Z}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$
• Sea un esquema y un morfismo de -esquemas. Considere el conjunto de para el cual el morfismo inducido de las fibras tiene alguna propiedad . Entonces es localmente construible si tiene alguna de las siguientes propiedades: sobreyectiva, propia, finita, inmersión, inmersión cerrada, inmersión abierta, isomorfismo. (Proposición (9.6.1)) ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P\subset S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Sea un morfismo de esquemas presentado finitamente y considere el conjunto de para el cual la fibra tiene una propiedad . Entonces es localmente construible si tiene alguna de las siguientes propiedades: geométricamente irreducible, geométricamente conexa, geométricamente reducida. (Teorema (9.7.7)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle P\subset S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f^{-1}(s)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$
• Sea un morfismo de esquemas presentado localmente de forma finita y considere el conjunto de para el cual la fibra tiene una propiedad . Entonces es localmente construible si tiene alguna de las siguientes propiedades: geométricamente regular, geométricamente normal, geométricamente reducida. (Proposición (9.9.4)) ${\displaystyle f\colon X\rightarrow S}$ ${\displaystyle P\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$

Un papel importante que tienen estos resultados de constructibilidad es que, en la mayoría de los casos, suponiendo que los morfismos en las preguntas también sean planos , se deduce que las propiedades en cuestión de hecho se mantienen en un subconjunto abierto . Un número sustancial de tales resultados está incluido en EGA IV § 12. ^[11]

Ver también

• Topología construible
• Gavilla construible

Notas

1. Grothendieck y Dieudonné 1961, cap. 0 _III , Definiciones (9.1.1), (9.1.2) y (9.1.11), págs. 12-14
2. "Definición 5.15.1 (etiqueta 005G)". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
3. Grothendieck y Dieudonné 1961, cap. 0 _III , secc. (9.1), pág. 12
4. Jinpeng An (2012). "Estructuras geométricas rígidas, acciones isométricas y cocientes algebraicos". Geom. Dedicata 157 : 153–185.
5. Grothendieck y Dieudonné 1971, cap. 0 _I , Definiciones (2.3.1), (2.3.2) y (2.3.10), págs. 55-57
6. Grothendieck y Dieudonné 1964, cap. I , Teorème (1.8.4), pág. 239.
7. "Teorema 29.22.3 (Teorema de Chevalley) (etiqueta 054K)". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
8. Grothendieck y Dieudonné 1971, cap. I , Teorème (7.1.4), pág. 329.
9. "Sección 109.24 Imágenes de subconjuntos cerrados localmente (etiqueta 0GZL)". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 4 de octubre de 2022 .
10. Grothendieck y Dieudonné 1966, cap. IV , § 9 Propriétés constructibles, págs. 54-94.
11. Grothendieck y Dieudonné 1966, cap. IV , § 12 Étude des fibres des morphismes plats de présentation finie, págs. 173-187.

Referencias

• Allouche, Jean Paul. Nota sobre los conjuntos construibles de un espacio topológico.
• Andradas, Carlos; Bröcker, Ludwig; Ruiz, Jesús M. (1996). Conjuntos construibles en geometría real . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3). vol. 33. Berlín: Springer-Verlag . págs.x+270. ISBN 3-540-60451-0. SEÑOR  1393194.
• Borel, Armand . Grupos algebraicos lineales.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi :10.1007/bf02684274. SEÑOR  0217085.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi :10.1007/bf02684747. SEÑOR  0173675.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 . doi :10.1007/bf02684343. SEÑOR  0217086.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (en francés). vol. 166 (2ª ed.). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
• Mostowski, A. (1969). Conjuntos construibles con aplicaciones . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. Ámsterdam --- Varsovia: North-Holland Publishing Co. ---- PWN-Polish Scientific Publishers . págs.ix+269. SEÑOR  0255390.

enlaces externos

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Definición topológica de constructibilidad (local)
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Propiedades de constructibilidad de morfismos de esquemas (incluido el teorema de Chevalley)