En matemáticas , un anillo conmutativo R es catenario si para cualquier par de ideales primos p , q , cualesquiera dos cadenas estrictamente crecientes
Los ideales primos están contenidos en cadenas máximas estrictamente crecientes de p a q de la misma longitud (finita). En una situación geométrica, en la que la dimensión de una variedad algebraica asociada a un ideal primo disminuirá a medida que el ideal primo se haga más grande, la longitud de dicha cadena n suele ser la diferencia de dimensiones.
Un anillo se llama universalmente catenario si todas las álgebras finitamente generadas sobre él son anillos catenarios.
La palabra catenaria deriva del latín catena , que significa “cadena”.
Existe la siguiente cadena de inclusiones.
Supóngase que A es un dominio noetheriano y B es un dominio que contiene a A que se genera finitamente sobre A. Si P es un ideal primo de B y p su intersección con A , entonces
La fórmula de dimensión para anillos universalmente catenarios dice que la igualdad se cumple si A es universalmente catenario. Aquí κ( P ) es el cuerpo de residuos de P y tr.deg. significa el grado de trascendencia (de los cuerpos cocientes). De hecho, cuando A no es universalmente catenario, pero , entonces la igualdad también se cumple. [1]
Casi todos los anillos noetherianos que aparecen en geometría algebraica son universalmente catenarios. En particular, los siguientes anillos son universalmente catenarios:
Es delicado construir ejemplos de anillos noetherianos que no sean universalmente catenarios. El primer ejemplo fue encontrado por Masayoshi Nagata (1956, 1962, página 203, ejemplo 2), quien encontró un dominio local noetheriano bidimensional que es catenario pero no universalmente catenario.
El ejemplo de Nagata es el siguiente: se elige un cuerpo k y una serie de potencias formales z = Σ i > 0 a i x i en el anillo S de series de potencias formales en x sobre k tales que z y x sean algebraicamente independientes.
Defina z 1 = z y z i +1 = z i /x– a i .
Sea R el anillo (no noetheriano) generado por x y todos los elementos z i .
Sea m el ideal ( x ), y sea n el ideal generado por x –1 y todos los elementos z i . Ambos son ideales maximales de R , con cuerpos de residuos isomorfos a k . El anillo local R m es un anillo local regular de dimensión 1 (la prueba de esto utiliza el hecho de que z y x son algebraicamente independientes) y el anillo local R n es un anillo local noetheriano regular de dimensión 2.
Sea B la localización de R con respecto a todos los elementos que no están en m ni en n . Entonces B es un anillo semilocal noetheriano bidimensional con dos ideales máximos, mB (de altura 1) y nB (de altura 2).
Sea I el radical de Jacobson de B , y sea A = k + I . El anillo A es un dominio local de dimensión 2 con ideal máximo I , por lo que es catenario porque todos los dominios locales bidimensionales son catenarios. El anillo A es noetheriano porque B es noetheriano y es un módulo A finito. Sin embargo, A no es universalmente catenario, porque si lo fuera, entonces el ideal mB de B tendría la misma altura que mB ∩ A por la fórmula de dimensión para anillos universalmente catenarios, pero el último ideal tiene una altura igual a dim( A )=2.
El ejemplo de Nagata también es un anillo cuasi excelente , por lo que da un ejemplo de un anillo cuasi excelente que no es un anillo excelente .
![{\displaystyle B=A[x_{1},\puntos ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e3977fb281cd6dd165f8974b9bd6fc196017e9)