Timbre local regular

En álgebra conmutativa , un anillo local regular es un anillo local noetheriano que tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su dimensión de Krull . ^[1] En símbolos, sea A cualquier anillo local noetheriano con ideal máximo único m, y supongamos que a ₁ , ..., a _n es un conjunto mínimo de generadores de m. Entonces, el teorema del ideal principal de Krull implica que n ≥ dim A , y A es regular siempre que n = dim A .

El concepto está motivado por su significado geométrico. Un punto x en una variedad algebraica X es no singular (un punto liso ) si y solo si el anillo local de gérmenes en x es regular. (Véase también: esquema regular .) Los anillos locales regulares no están relacionados con los anillos regulares de von Neumann . ^[a] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones:

Anillos catenarios universales ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completos ⊃ Anillos locales regulares

Caracterizaciones

Hay varias definiciones útiles de un anillo local regular, una de las cuales se menciona anteriormente. En particular, si es un anillo local noetheriano con ideal máximo , entonces las siguientes son definiciones equivalentes: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

• Sea donde se elija lo más pequeño posible. Entonces es regular si ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim A=n\,}$,

donde la dimensión es la dimensión de Krull. El conjunto mínimo de generadores de se denomina entonces sistema regular de parámetros . ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

• Sea el campo de residuos de . Entonces es regular si ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,}$,

donde la segunda dimensión es la dimensión de Krull .

• Sea la dimensión global de (es decir, el supremo de las dimensiones proyectivas de todos los -módulos). Entonces es regular si ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ is an }}A{\text{-module}}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty \,}$,

En cuyo caso, . ${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A}$

El criterio de multiplicidad uno establece: ^[2] si la completitud de un anillo local noetheriano A es inimimixta (en el sentido de que no hay ningún divisor primo incorporado del ideal cero y para cada primo mínimo p , ) y si la multiplicidad de A es uno, entonces A es regular. (El recíproco siempre es cierto: la multiplicidad de un anillo local regular es uno.) Este criterio corresponde a una intuición geométrica en geometría algebraica de que un anillo local de una intersección es regular si y solo si la intersección es una intersección transversal . ${\displaystyle \dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}}$

En el caso de característica positiva , existe el siguiente resultado importante debido a Kunz: Un anillo local noetheriano de característica positiva p es regular si y solo si el morfismo de Frobenius es plano y se reduce . No se conoce ningún resultado similar en característica cero (no está claro cómo se debe reemplazar el morfismo de Frobenius). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\to R,r\mapsto r^{p}}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplos

1. Cada campo es un anillo local regular. Estos tienen dimensión (Krull) 0. De hecho, los campos son exactamente los anillos locales regulares de dimensión 0.
2. Cualquier anillo de valoración discreto es un anillo local regular de dimensión 1 y los anillos locales regulares de dimensión 1 son exactamente los anillos de valoración discretos. Específicamente, si k es un cuerpo y X es un indeterminado, entonces el anillo de la serie de potencias formales k [[ X ]] es un anillo local regular que tiene dimensión (de Krull) 1.
3. Si p es un número primo ordinario, el anillo de enteros p-ádicos es un ejemplo de un anillo de valoración discreto y, en consecuencia, un anillo local regular, que no contiene un cuerpo.
4. De manera más general, si k es un campo y X ₁ , X ₂ , ..., X _d son indeterminados, entonces el anillo de la serie de potencias formales k [[ X ₁ , X ₂ , ..., X _d ]] es un anillo local regular que tiene dimensión (de Krull) d .
5. Si A es un anillo local regular, entonces se deduce que el anillo de la serie de potencias formal A [[ x ]] es local regular.
6. Si Z es el anillo de números enteros y X es un indeterminado, el anillo Z [ X ] _{(2, X )} (es decir, el anillo Z [ X ] localizado en el ideal primo (2, X )) es un ejemplo de un anillo local regular bidimensional que no contiene un cuerpo.
7. Por el teorema de estructura de Irvin Cohen , un anillo local regular completo de dimensión de Krull d que contiene un campo k es un anillo de series de potencias en d variables sobre un campo de extensión de k .

No-ejemplos

El anillo no es un anillo local regular, ya que tiene una dimensión finita pero no una dimensión global finita. Por ejemplo, existe una resolución infinita. ${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0}$

Usando otra de las caracterizaciones, tiene exactamente un ideal primo , por lo que el anillo tiene dimensión de Krull , pero es el ideal cero, por lo que tiene dimensión al menos . (De hecho es igual a ya que es una base). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x+{\mathfrak {m}}}$

Propiedades básicas

El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que cada anillo local regular es un dominio de factorización único .

Toda localización , así como la finalización , de un anillo local regular es regular.

Si es un anillo local regular completo que contiene un campo, entonces ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$,

donde es el campo de residuos , y , la dimensión de Krull. ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle d=\dim A}$

Véase también: Desigualdad de Serre sobre la altura y Conjeturas de multiplicidad de Serre .

Origen de las nociones básicas

Los anillos locales regulares fueron definidos originalmente por Wolfgang Krull en 1937, ^[3] pero se hicieron prominentes por primera vez en el trabajo de Oscar Zariski unos años más tarde, ^{[4] [5]} quien demostró que geométricamente, un anillo local regular corresponde a un punto liso en una variedad algebraica . Sea Y una variedad algebraica contenida en un n -espacio afín sobre un cuerpo perfecto , y supongamos que Y es el lugar geométrico de desaparición de los polinomios f ₁ ,..., f _m . Y es no singular en P si Y satisface una condición jacobiana : Si M = (∂ f _i /∂ x _j ) es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones definitorias de la variedad, entonces el rango de la matriz encontrada al evaluar M en P es n − dim Y . Zariski demostró que Y es no singular en P si y solo si el anillo local de Y en P es regular. (Zariski observó que esto puede fallar en cuerpos no perfectos). Esto implica que la suavidad es una propiedad intrínseca de la variedad, en otras palabras, no depende de dónde o cómo está inserta la variedad en el espacio afín. También sugiere que los anillos locales regulares deberían tener buenas propiedades, pero antes de la introducción de técnicas del álgebra homológica se sabía muy poco en esta dirección. Una vez que se introdujeron dichas técnicas en la década de 1950, Auslander y Buchsbaum demostraron que cada anillo local regular es un dominio de factorización único .

Otra propiedad sugerida por la intuición geométrica es que la localización de un anillo local regular debería ser regular. Una vez más, esto quedó sin resolver hasta la introducción de técnicas homológicas. Fue Jean-Pierre Serre quien encontró una caracterización homológica de los anillos locales regulares: un anillo local A es regular si y solo si A tiene dimensión global finita , es decir, si cada módulo A tiene una resolución proyectiva de longitud finita. Es fácil demostrar que la propiedad de tener dimensión global finita se conserva bajo localización y, en consecuencia, que las localizaciones de anillos locales regulares en ideales primos son nuevamente regulares.

Esto justifica la definición de regularidad para anillos conmutativos no locales que se da en la siguiente sección.

Anillo regular

En álgebra conmutativa , un anillo regular es un anillo noetheriano conmutativo , tal que la localización en cada ideal primo es un anillo local regular: es decir, cada localización tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su dimensión de Krull .

El origen del término anillo regular radica en el hecho de que una variedad afín es no singular (es decir, cada punto es regular ) si y sólo si su anillo de funciones regulares es regular.

Para anillos regulares, la dimensión de Krull concuerda con la dimensión homológica global .

Jean-Pierre Serre definió un anillo regular como un anillo noetheriano conmutativo de dimensión homológica global finita . Su definición es más sólida que la anterior, que permite anillos regulares de dimensión de Krull infinita.

Entre los ejemplos de anillos regulares se incluyen los campos (de dimensión cero) y los dominios de Dedekind . Si A es regular, entonces también lo es A [ X ], con dimensión uno mayor que la de A .

En particular, si k es un cuerpo, el anillo de números enteros o un dominio ideal principal , entonces el anillo de polinomios es regular. En el caso de un cuerpo, este es el teorema de sicigia de Hilbert . ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$

Cualquier localización de un anillo regular también es regular.

Un anillo regular se reduce ^[b] pero no necesariamente tiene que ser un dominio integral. Por ejemplo, el producto de dos dominios integrales regulares es regular, pero no un dominio integral. ^[6]

Véase también

• Anillo geométricamente regular
• anillo cuasi libre

Notas

1. Un anillo regular local de von Neumann es un anillo de división, por lo que las dos condiciones no son muy compatibles.
2. ya que un anillo se reduce si y sólo si sus localizaciones en ideales primos son.

Citas

1. Atiyah y Macdonald 1969, pág. 123, teorema 11.22.
2. Herrmann, M., S. Ikeda y U. Orbanz: Equimultiplicidad y explosión. Un estudio algebraico con un apéndice de B. Moonen. Springer Verlag, Berlín Heidelberg Nueva York, 1988. Teorema 6.8.
3. Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Matemáticas. Z. , 42 : 745–766, doi : 10.1007/BF01160110
4. Zariski, Oscar (1940), "Variedades algebraicas sobre campos básicos de característica 0", Amer. J. Math. , 62 : 187–221, doi :10.2307/2371447, JSTOR  2371447
5. Zariski, Oscar (1947), "El concepto de un punto simple de una variedad algebraica abstracta", Trans. Amer. Math. Soc. , 62 : 1–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
6. Es un anillo regular un dominio?

Referencias

• Atiyah, Michael F .; Macdonald, Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , MR  0242802
• Kunz, Caracterizaciones de anillos locales regulares de p característicos. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
• Tsit-Yuen Lam , Conferencias sobre módulos y anillos , Springer-Verlag , 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8 . Cap.5.G. 
• Jean-Pierre Serre , Álgebra local , Springer-Verlag , 2000, ISBN 3-540-66641-9 . Cap.IV.D. 
• Anillos regulares en The Stacks Project