Desigualdad de Serre en altura

En álgebra, específicamente en la teoría de anillos conmutativos , la desigualdad de Serre sobre la altura establece: dado un anillo regular (noetheriano) A y un par de ideales primos en él, para cada ideal primo que sea un ideal primo mínimo sobre la suma , se cumple la siguiente desigualdad sobre las alturas : ^{[1] [2]} ${\displaystyle {\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}}$

${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {r}})\leq \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+\operatorname {ht} ({\mathfrak {q}}).}$

Sin el supuesto de regularidad, la desigualdad puede fallar; véase intersección teórica de esquemas#Intersección propia .

Bosquejo de la prueba

Serre da la siguiente prueba de la desigualdad, basada en la validez de las conjeturas de multiplicidad de Serre para un anillo de series de potencias formales sobre un anillo de valoración discreto completo . ^[3]

Al reemplazar por la localización en , asumimos que es un anillo local. Entonces la desigualdad es equivalente a la siguiente desigualdad: para módulos finitos tales que tiene longitud finita, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ ${\displaystyle (A,{\mathfrak {r}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M,N}$ ${\displaystyle M\otimes _{A}N}$

${\displaystyle \dim _{A}M+\dim _{A}N\leq \dim A}$

donde = la dimensión del soporte de y similar para . Para mostrar la desigualdad anterior, podemos suponer que es completa. Luego, por el teorema de estructura de Cohen , podemos escribir donde es un anillo de serie de potencias formal sobre un anillo de valoración discreto completo y es un elemento distinto de cero en . Ahora, un argumento con la secuencia espectral de Tor muestra que . Entonces, una de las conjeturas de Serre dice , lo que a su vez da la desigualdad afirmada. ${\displaystyle \dim _{A}M=\dim(A/\operatorname {Ann} _{A}(M))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \dim _{A}N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=A_{1}/a_{1}A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \chi ^{A_{1}}(M,N)=0}$ ${\displaystyle \dim _{A_{1}}M+\dim _{A_{1}}N<\dim A_{1}}$ ${\displaystyle \square }$

Referencias

1. Serre 2000, cap. V, § B.6, Teorema 3.
2. Fulton 1998, § 20.4.
3. Serre 2000, Cap. V, § B. 6.

• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323
• Serre, Jean-Pierre (2000). Álgebra local . Springer Monographs in Mathematics (en alemán). doi :10.1007/978-3-662-04203-8. ISBN 978-3-662-04203-8.OCLC 864077388  .