Anillo cuasi-no mezclado

En álgebra, específicamente en la teoría de anillos conmutativos , un anillo cuasi-no mixto (también llamado anillo formalmente equidimensional en EGA ^[1] ) es un anillo noetheriano tal que para cada ideal primo p , la completitud de la localización A _p es equidimensional , es decir, para cada ideal primo mínimo q en la completitud , = la dimensión de Krull de A _p . ^[2] $A$ ${\widehat {A_{p}}}$ $\dim {\widehat {A_{p}}}/q=\dim A_{p}$

Condiciones equivalentes

Un dominio integral noetheriano es cuasi-no mixto si y solo si satisface la fórmula de altitud de Nagata . ^[3] (Ver también: anillo formalmente catenario a continuación).

Precisamente, un anillo cuasi-no mixto es un anillo en el que el teorema no mixto , que caracteriza a un anillo de Cohen-Macaulay , se cumple para el cierre integral de un ideal; específicamente, para un anillo noetheriano , los siguientes son equivalentes: ^[4]^[5] $A$

$A$ Está casi sin mezclar.
Para cada ideal I generado por un número de elementos igual a su altura, el cierre integral no está mezclado en altura (cada divisor primo tiene la misma altura que los demás). ${\overline {I}}$
Para cada ideal I generado por un número de elementos igual a su altura y para cada entero n > 0, es sin mezclar. ${\overline {I^{n}}}$

Anillo formalmente catenario

Se dice que un anillo local noetheriano es formalmente catenario si para cada ideal primo , es casi no mixto. ^[6] Resulta que esta noción es redundante: Ratliff ha demostrado que un anillo local noetheriano es formalmente catenario si y solo si es universalmente catenario . ^[7] $A$ ${\mathfrak {p}}$ $A/{\mathfrak {p}}$

Referencias

^ Grothendieck y Dieudonné 1965, 7.1.1
^ Ratliff 1974, Definición 2.9. NB: "profundidad" significa allí dimensión.
^ Ratliff 1974, Observación 2.10.1.
^ Ratliff 1974, Teorema 2.29.
^ Ratliff 1974, Observación 2.30.
^ Grothendieck y Dieudonné 1965, 7.1.9
^ LJ Ratliff, Jr., Caracterizaciones de anillos catenarios, Amer. J. Math. 93 (1971)

Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 24 . doi :10.1007/bf02684322. SEÑOR 0199181.
Apéndice de Stephen McAdam, Divisores primos asintóticos. Apuntes de clase de Matemáticas.
Ratliff, Louis (1974). "Anillos noetherianos localmente cuasi-no mezclados e ideales de la clase principal". Revista del Pacífico de Matemáticas . 52 (1): 185–205. doi : 10.2140/pjm.1974.52.185 .

Lectura adicional

Herrmann, M., S. Ikeda y U. Orbanz: Equimultiplicidad y explosión. Un estudio algebraico con un apéndice de B. Moonen. Springer Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York, 1988.