Teorema principal de Zariski

Teorema de geometría algebraica y álgebra conmutativa

En geometría algebraica , el teorema principal de Zariski , demostrado por Oscar Zariski  (1943), es un enunciado sobre la estructura de los morfismos biracionales que, a grandes rasgos, establece que solo hay una rama en cualquier punto normal de una variedad. Es el caso especial del teorema de conectividad de Zariski cuando las dos variedades son biracionales.

El teorema principal de Zariski puede enunciarse de varias maneras que, a primera vista, parecen muy diferentes, pero que, en realidad, están profundamente relacionadas. Algunas de las variantes que se han denominado teorema principal de Zariski son las siguientes:

• Un morfismo biracional con fibras finitas a una variedad normal es un isomorfismo a un subconjunto abierto.
• La transformación total de un punto fundamental normal de una función birracional tiene dimensión positiva. Esta es, en esencia, la versión original de Zariski.
• La transformada total de un punto normal bajo un morfismo biracional adecuado está conexa.
• Una generalización debida a Grothendieck describe la estructura de morfismos cuasi-finitos de esquemas .

Varios resultados en álgebra conmutativa implican las formas geométricas del teorema principal de Zariski, entre ellos:

• Un anillo local normal es unirama , lo cual es una variación de la afirmación de que la transformada de un punto normal está conexa.
• El anillo local de un punto normal de una variedad es analíticamente normal . Esta es una forma fuerte de la afirmación de que es unibranquio.

El resultado original fue denominado "TEOREMA PRINCIPAL" en Zariski (1943).

Teorema principal de Zariski para morfismos biracionales

Sea f una función biracional de las variedades algebraicas V y W. Recordemos que f está definida por una subvariedad cerrada (un "grafo" de f ) tal que la proyección sobre el primer factor induce un isomorfismo entre un abierto y , y tal que es un isomorfismo sobre U también. El complemento de U en V se llama variedad fundamental o lugar geométrico de indeterminación , y la imagen de un subconjunto de V bajo se llama transformada total de este. ${\displaystyle \Gamma \subset V\times W}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle p_{1}^{-1}(U)}$ ${\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle p_{2}\circ p_{1}^{-1}}$

El enunciado original del teorema en (Zariski 1943, p. 522) dice:

TEOREMA PRINCIPAL: Si W es una variedad fundamental irreducible en V de una correspondencia biracional T entre V y V ′ y si T no tiene elementos fundamentales en V ′ entonces —bajo el supuesto de que V es localmente normal en W— cada componente irreducible de la transformada T [ W ] es de mayor dimensión que W .

Aquí T es esencialmente un morfismo de V ′ a V que es biracional, W es una subvariedad del conjunto donde la inversa de T no está definida cuyo anillo local es normal, y la transformada T [ W ] significa la imagen inversa de W bajo el morfismo de V ′ a V .

A continuación se presentan algunas variantes de este teorema enunciado utilizando terminología más reciente. Hartshorne (1977, Corolario III.11.4) denomina al siguiente enunciado de conectividad "teorema principal de Zariski":

Si f : X → Y es un morfismo proyectivo biracional entre esquemas integrales noetherianos, entonces la imagen inversa de cada punto normal de Y está conexa.

La siguiente consecuencia de éste (Teorema V.5.2, loc.cit. ) también se conoce con este nombre:

Si f : X → Y es una transformación biracional de variedades proyectivas con Y normal, entonces la transformada total de un punto fundamental de f es conexa y de dimensión al menos 1.

Ejemplos

• Supongamos que V es una variedad suave de dimensión mayor que 1 y que V ′ se obtiene haciendo estallar un punto W en V . Entonces V es normal en W , y el componente de la transformada de W es un espacio proyectivo, que tiene dimensión mayor que W como predice la forma original del teorema principal de Zariski.
• En el ejemplo anterior, la transformada de W era irreducible. Es fácil encontrar ejemplos en los que la transformada total es reducible ampliando otros puntos de la transformada. Por ejemplo, si V ′ se obtiene ampliando un punto W en V y luego ampliando otro punto de esta transformada, la transformada total de W tiene dos componentes irreducibles que se encuentran en un punto. Como predice la forma de Hartshorne del teorema principal, la transformada total es conexa y de dimensión al menos 1.
• Para un ejemplo donde W no es normal y la conclusión del teorema principal falla, tomemos V ′ como una variedad suave, y tomemos V como dada por la identificación de dos puntos distintos en V ′, y tomemos W como la imagen de estos dos puntos. Entonces W no es normal, y la transformada de W consiste en dos puntos, que no están conectados y no tienen dimensión positiva.

Teorema principal de Zariski para morfismos cuasifinitas

En EGA III, Grothendieck llama al siguiente enunciado que no implica conexidad un "Teorema principal" de Zariski Grothendieck (1961, Théorème 4.4.3):

Si f : X → Y es un morfismo cuasi-proyectivo de esquemas noetherianos entonces el conjunto de puntos que están aislados en su fibra es abierto en X . Además el esquema inducido de este conjunto es isomorfo a un subconjunto abierto de un esquema que es finito sobre Y .

En EGA IV, Grothendieck observó que la última afirmación podía deducirse de un teorema más general sobre la estructura de los morfismos cuasi-finitos , y a este último se le suele denominar "teorema principal de Zariski en la forma de Grothendieck". Es bien sabido que las inmersiones abiertas y los morfismos finitos son cuasi-finitos. Grothendieck demostró que bajo la hipótesis de separatividad todos los morfismos cuasi-finitos son composiciones de tales Grothendieck (1966, Teorema 8.12.6):

Si Y es un esquema separado cuasi-compacto y es un morfismo separado , cuasi-finito, finitamente presentado, entonces hay una factorización en , donde el primer mapa es una inmersión abierta y el segundo es finito. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to Z\to Y}$

La relación entre este teorema sobre morfismos cuasi-finitos y el Teorema 4.4.3 de EGA III citado anteriormente es que si f : X → Y es un morfismo proyectivo de variedades, entonces el conjunto de puntos que están aislados en su fibra es cuasi-finito sobre Y . Entonces se aplica el teorema de estructura para morfismos cuasi-finitos y se obtiene el resultado deseado.

Teorema principal de Zariski para anillos conmutativos

Zariski (1949) reformuló su teorema principal en términos del álgebra conmutativa como una afirmación sobre los anillos locales. Grothendieck (1961, Teorema 4.4.7) generalizó la formulación de Zariski de la siguiente manera:

Si B es un álgebra de tipo finito sobre un anillo noetheriano local A , y n es un ideal maximal de B que es minimal entre los ideales de B cuya imagen inversa en A es el ideal maximal m de A , entonces existe una A -álgebra finita A ′ con un ideal maximal m ′ (cuya imagen inversa en A es m ) tal que la localización B _n es isomorfa a la A -álgebra A ′ _{m ′} .

Si además A y B son enteros y tienen el mismo cuerpo de fracciones, y A es integralmente cerrado, entonces este teorema implica que A y B son iguales. Esta es esencialmente la formulación de Zariski de su teorema principal en términos de anillos conmutativos.

Teorema principal de Zariski: forma topológica

Una versión topológica del teorema principal de Zariski dice que si x es un punto (cerrado) de una variedad compleja normal es unirama ; en otras palabras, hay vecindarios arbitrariamente pequeños U de x tales que el conjunto de puntos no singulares de U está conexo (Mumford 1999, III.9).

La propiedad de ser normal es más fuerte que la propiedad de ser unibranquio: por ejemplo, una cúspide de una curva plana es unibranquio pero no normal.

Teorema principal de Zariski:serie de potenciaforma

Una versión formal de la serie de potencias del teorema principal de Zariski dice que si x es un punto normal de una variedad, entonces es analíticamente normal ; en otras palabras, la completitud del anillo local en x es un dominio integral normal (Mumford 1999, III.9).

Véase también

• Teorema de conectividad de Deligne
• Teorema de conectividad de Fulton-Hansen
• Teorema de conectividad de Grothendieck
• Factorización de Stein
• Teorema sobre funciones formales

Referencias

• Danilov, VI (2001) [1994], "Teorema de Zariski", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Grothendieck, Alexandre (1961), Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboración de Jean Dieudonné): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie, Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 11, págs. 5-167
• Grothendieck, Alexandre (1966), Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboración de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie, Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 28, págs. 43–48
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Mumford, David (1999) [1988], El libro rojo de variedades y esquemas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1358 (ampliado, incluye Michigan Lectures (1974) sobre curvas y sus jacobianos ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/b62130, ISBN 978-3-540-63293-1, Sr.  1748380
• Peskine, Christian (1966), "Une généralisation du main theorem de Zariski", Bull. Ciencia. Matemáticas. (2) , 90 : 119-127
• Raynaud, Michel (1970), Anneaux locaux henséliens , Lecture Notes in Mathematics, vol. 169, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0069571, ISBN 978-3-540-05283-8, Sr.  0277519
• Zariski, Oscar (1943), "Fundamentos de una teoría general de correspondencias biracionales", Trans. Amer. Math. Soc. , 53 (3): 490–542, doi : 10.2307/1990215 , JSTOR  1990215, MR  0008468
• Zariski, Oscar (1949), "Una prueba analítica simple de una propiedad fundamental de las transformaciones biracionales". Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 35 (1): 62–66, Bibcode :1949PNAS...35...62Z, doi : 10.1073/pnas.35.1.62 , JSTOR  88284, MR  0028056, PMC  1062959 , PMID  16588856

Enlaces externos

• ¿Existe una razón intuitiva para el teorema principal de Zariski?