En geometría algebraica , un espacio proyectivo ponderado P ( a 0 ,..., a n ) es la variedad proyectiva Proj ( k [ x 0 ,..., x n ]) asociada al anillo graduado k [ x 0 ,..., x n ] donde la variable x k tiene grado a k .
Propiedades
- Si d es un entero positivo, entonces P ( a 0 , a 1 ,..., a n ) es isomorfo a P ( da 0 , da 1 ,..., da n ). Esta es una propiedad de la construcción Proj ; geométricamente corresponde a la incrustación veronesa de d -tuplas . Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que los grados a i no tienen ningún factor común.
- Supóngase que a 0 , a 1 ,..., a n no tienen ningún factor común, y que d es un factor común de todos los a i con i ≠ j , entonces P ( a 0 , a 1 ,..., a n ) es isomorfo a P ( a 0 /d,..., a j-1 /d, a j , a j+1 /d,..., a n /d) (nótese que d es coprimo con a j ; de lo contrario el isomorfismo no se cumple). Así que uno puede suponer además que cualquier conjunto de n variables a i no tiene ningún factor común. En este caso el espacio proyectivo ponderado se llama bien formado .
- Las únicas singularidades del espacio proyectivo ponderado son las singularidades cociente cíclicas.
- Un espacio proyectivo ponderado es una variedad Q-Fano [1] y una variedad tórica .
- El espacio proyectivo ponderado P ( a 0 , a 1 ,..., a n ) es isomorfo al cociente del espacio proyectivo por el grupo que es el producto de los grupos de raíces de la unidad de órdenes a 0 , a 1 ,..., a n actuando en diagonal. [2]
Referencias
- ^ M. Rossi y L. Terracini, Álgebra lineal y datos tóricos de espacios proyectivos ponderados. Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino 70 (2012), n.º 4, 469-495, proposición 8
- ^ Esto debe entenderse como un cociente GIT . En un contexto más general, se puede hablar de una pila proyectiva ponderada . Véase https://mathoverflow.net/questions/136888/.
- Dolgachev, Igor (1982), "Variedades proyectivas ponderadas", Acciones grupales y campos vectoriales (Vancouver, BC, 1981) , Lecture Notes in Math., vol. 956, Berlín: Springer, págs. 34–71, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , doi :10.1007/BFb0101508, ISBN 978-3-540-11946-3, Sr. 0704986
- Hosgood, Timothy (2016), Introducción a las variedades en el espacio proyectivo ponderado , arXiv : 1604.02441 , Bibcode :2016arXiv160402441H
- Reid, Miles (2002), Anillos graduados y variedades en el espacio proyectivo ponderado (PDF)
