Variedad tórica

En geometría algebraica , una variedad tórica o incrustación de toro es una variedad algebraica que contiene un toro algebraico como un subconjunto denso abierto , de modo que la acción del toro sobre sí mismo se extiende a toda la variedad. Algunos autores también requieren que sea normal . Las variedades tóricas forman una clase importante y rica de ejemplos en geometría algebraica, que a menudo proporcionan un campo de pruebas para teoremas. La geometría de una variedad tórica está completamente determinada por la combinatoria de su abanico asociado, lo que a menudo hace que los cálculos sean mucho más manejables. Para cierta clase especial, pero aún bastante general de variedades tóricas, esta información también está codificada en un politopo, lo que crea una poderosa conexión del sujeto con la geometría convexa. Ejemplos familiares de variedades tóricas son el espacio afín , los espacios proyectivos, los productos de espacios proyectivos y los fibrados sobre el espacio proyectivo .

Variedades tóricas de tori

La motivación original para estudiar las variedades tóricas fue estudiar las incrustaciones de toros. Dado el toro algebraico , el grupo de caracteres forma una red. Dada una colección de puntos , un subconjunto de esta red, cada punto determina una función para y, por lo tanto, la colección determina una función para . Al tomar el cierre de Zariski de la imagen de dicha función, se obtiene una variedad afín. ^[1] Si la colección de puntos de la red genera la red de caracteres, esta variedad es una incrustación de toros. De manera similar, se puede producir una variedad tórica proyectiva parametrizada, tomando el cierre proyectivo de la función anterior, viéndola como una función en un parche afín del espacio proyectivo. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \hom(T,\mathbb {C} ^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {C} ^{*}\right)^{|{\mathcal {A}}|}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Dada una variedad tórica proyectiva, observe que podemos investigar su geometría mediante subgrupos de un parámetro. Cada subgrupo de un parámetro, determinado por un punto en la red, dual a la red de caracteres, es una curva perforada dentro de la variedad tórica proyectiva. Como la variedad es compacta, esta curva perforada tiene un único punto límite. Por lo tanto, al dividir la red de subgrupos de un parámetro por los puntos límite de las curvas perforadas, obtenemos un abanico de red, una colección de conos racionales poliédricos. Los conos de mayor dimensión corresponden precisamente a los puntos fijos del toro, los límites de estas curvas perforadas.

La variedad tórica de un ventilador.

Variedad tórica afín y cono poliédrico

Supóngase que es un grupo abeliano libre de rango finito , por ejemplo la red . Un cono poliédrico racional fuertemente convexo en es un cono convexo (del espacio vectorial real de ) con vértice en el origen, generado por un número finito de vectores de , y que no contiene ninguna línea que pase por el origen. Estos se llamarán "conos" para abreviar. Cuando se generan por un conjunto de vectores , se denota . Un cono unidimensional se llama rayo . Para un cono , su variedad tórica afín es el espectro del álgebra monoide del cono dual a . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}}$ ${\displaystyle {\text{cone}}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\left\{\sum _{i=1}^{k}a_{i}v_{i}\colon a_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}\right\}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle U_{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$

Teorema fundamental de la geometría tórica

Un abanico es una colección de conos cerrados por intersecciones y caras. El espacio subyacente de un abanico es la unión de sus conos y se denota por . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle |\Sigma |}$

La variedad tórica de un abanico se obtiene tomando las variedades tóricas afines de sus conos y pegándolas entre sí identificándolas con una subvariedad abierta de siempre que sea una cara de . Por el contrario, cada abanico de conos racionales fuertemente convexos tiene una variedad tórica asociada. Esta equivalencia uno a uno se denomina teorema fundamental de la geometría tórica . ^[2] ${\displaystyle U_{\sigma }}$ ${\displaystyle U_{\tau }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$

El abanico asociado a una variedad tórica condensa algunos datos importantes sobre la variedad. Por ejemplo, los divisores de Cartier están asociados a los rayos del abanico. Además, una variedad tórica es suave o no singular si cada cono en su abanico puede generarse por un subconjunto de una base para el grupo abeliano libre , y es compacta si su abanico es completo, es decir, su espacio subyacente es todo el espacio vectorial. ${\displaystyle N}$

Morfismos de variedades tóricas

Supóngase que y son abanicos en retículos y , respectivamente. Si es una función lineal de a tal que la imagen de cada cono de está contenida en un cono de , entonces induce un morfismo entre las variedades tóricas correspondientes. Esta función es apropiada si y solo si la preimagen de bajo la función es . ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle |\Sigma _{2}|}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |\Sigma _{1}|}$

Variedad tórica proyectiva, las que provienen de politopos

Una variedad tórica es proyectiva si puede integrarse en algún espacio proyectivo complejo .

Sea un politopo . Para cualquier vértice de , el cono normal de en el vértice es el cono generado por las normales externas de las facetas que contienen a . El abanico normal de es el abanico cuyos conos máximos son los conos normales en cada vértice de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Es bien sabido que las variedades tóricas proyectivas son las que provienen de los abanicos normales de politopos racionales. ^[3]

Por ejemplo, el plano proyectivo complejo proviene del triángulo, o - simplex . Puede representarse mediante tres coordenadas complejas que satisfacen ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+|z_{3}|^{2}=1,\,\!}$

donde la suma ha sido elegida para tener en cuenta la parte de reescalado real del mapa proyectivo, y las coordenadas deben identificarse además mediante la siguiente acción: ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle (z_{1},z_{2},z_{3})\approx e^{i\phi }(z_{1},z_{2},z_{3}).\,\!}$

El enfoque de la geometría tórica es escribir

${\displaystyle (x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\,\!}$

Las coordenadas no son negativas y parametrizan un triángulo porque ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x+y+z=1;\,\!}$

eso es,

${\displaystyle \quad z=1-x-y.\,\!}$

El triángulo es la base tórica del plano proyectivo complejo. La fibra genérica es un bitoro parametrizado por las fases de ; la fase de puede elegirse real y positiva por la simetría. ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle U(1)}$

Sin embargo, el doble toro degenera en tres círculos diferentes en el límite del triángulo, es decir, en o o porque la fase de se vuelve intrascendente, respectivamente. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$

La orientación precisa de los círculos dentro del toro generalmente se representa mediante la pendiente de los intervalos de línea (los lados del triángulo, en este caso).

Nótese que esta construcción está relacionada con la geometría simpléctica ya que el mapa está relacionado con el mapa de momentos para la acción de sobre la variedad simpléctica . ${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {CP} ^{2}&\to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(z_{1},z_{2},z_{3})&\mapsto |z_{1}|+|z_{2}|+|z_{3}|\end{cases}}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

Clasificación de variedades tóricas compactas lisas

A partir del teorema fundamental de la geometría tórica, la clasificación de las variedades tóricas compactas suaves de dimensión compleja y con puntos fijos es equivalente a la de los abanicos completos suaves de dimensión compleja con divisores de Cartier . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Clasificación para números pequeños de Picard

El número de Picard de un abanico de dimensión que tiene rayos es la cantidad . Nótese que en realidad es el rango del grupo de Picard de la variedad tórica asociada a . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m-n}$ ${\displaystyle \Sigma }$

• La única variedad tórica de dimensión y número de Picard es el espacio proyectivo complejo . Su abanico asociado tiene rayos generados por y , para una base de . Los conos de este abanico son , y , para . Este es el abanico normal a un unimodular - símplex y por lo tanto es proyectivo, aunque esta es una afirmación trivial. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle f=-\sum _{i=1}^{n}e_{i}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\text{cone}}(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle {\text{cone}}(e_{1},\ldots ,e_{i-1},f,e_{i+1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle n}$

• P. Kleinschmidt clasificó todas las variedades tóricas compactas y suaves del número de Picard , todas ellas son proyectivas. ^[4] ${\displaystyle 2}$
• Victor V. Batyrev clasificó todas las variedades tóricas compactas y suaves del número de Picard , todas ellas son proyectivas. ^[5] Este resultado fue refutado por S. Choi y H. Park utilizando diferentes técnicas. ^[6] ${\displaystyle 3}$

Se desconoce la clasificación para los números de Picard mayores que . ${\displaystyle 3}$

Clasificación para pequeñas dimensiones

Las superficies tóricas suaves se caracterizan fácilmente, todas son proyectivas y provienen del abanico normal de polígonos tales que en cada vértice, las dos aristas incidentes están abarcadas por dos vectores que forman una base de . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

Resolución de singularidades

Cada variedad tórica tiene una resolución de singularidades dada por otra variedad tórica, que puede construirse subdividiendo los conos máximos de su abanico asociado en conos de variedades tóricas suaves.

Relación con la simetría especular

La idea de variedades tóricas es útil para la simetría especular porque una interpretación de ciertos datos de un abanico como datos de un politopo conduce a una construcción combinatoria de variedades especulares.

Enlaces externos

• Página de inicio de DA Cox, con varias conferencias sobre variedades tóricas

Véase también

• Lema de Gordan
• Ideal tórico
• Pila tórica (aproximadamente esto se obtiene reemplazando el paso de tomar un cociente GIT por una pila de cocientes )
• Incrustaciones toroidales

Referencias

1. Cox, David A.; Little, John B.; Schenck, Hal (2011), "Variedades tóricas", Estudios de posgrado en matemáticas (AMS) , 124 , ISBN 978-1-4704-7820-9
2. Davis, Michael W.; Januszkiewicz, Tadeusz (1991), "Polítopos convexos, orbifolds de Coxeter y acciones de toro", Duke Mathematical Journal , 62 (2): 417–451, doi :10.1215/S0012-7094-91-06217-4, ISSN  0012-7094
3. Fulton, William (1993), Introducción a las variedades tóricas , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
4. Kleinschmidt, Peter (1988), "Una clasificación de variedades tóricas con pocos generadores", Aequationes Mathematicae , 35 (2–3): 254–266, doi :10.1007/BF01830946, ISSN  0001-9054
5. Batyrev, Victor V. (1991), "Sobre la clasificación de variedades tóricas proyectivas suaves", Tohoku Mathematical Journal , Segunda serie, 43 (4): 569–585, doi :10.2748/tmj/1178227429, ISSN  0040-8735
6. Choi, S., Park, H. (1 de marzo de 2016). "Operaciones de cuña y simetrías de toro". Tohoku Mathematical Journal . 68 (1). arXiv : 1305.0136 . doi :10.2748/tmj/1458248864. ISSN  0040-8735 . Consultado el 22 de noviembre de 2022 .

• Cox, David (2003), "¿Qué es una variedad tórica?", Temas de geometría algebraica y modelado geométrico , Contemp. Math., vol. 334, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 203–223, MR  2039974
• Danilov, VI (1978), "La geometría de las variedades tóricas", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 33 (2): 85–134, doi :10.1070/RM1978v033n02ABEH002305, ISSN  0042-1316, SEÑOR  0495499
• Kempf, G.; Knudsen, Finn Faye; Mumford, David ; Saint-Donat, B. (1973), Toroidal Embeddings I , Lecture Notes in Mathematics, vol. 339, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070318 , ISBN 978-3-540-06432-9, Sr.  0335518
• Miller, Ezra (2008), "¿Qué es... una variedad tórica?" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 55 (5): 586–587, ISSN  0002-9920, MR  2404030
• Oda, Tadao (1988), Cuerpos convexos y geometría algebraica , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 15, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17600-8, Sr.  0922894