En geometría algebraica , una variedad tórica o incrustación de toro es una variedad algebraica que contiene un toro algebraico como un subconjunto denso abierto , de modo que la acción del toro sobre sí mismo se extiende a toda la variedad. Algunos autores también exigen que sea normal . Las variedades tóricas forman una clase importante y rica de ejemplos en geometría algebraica, que a menudo proporcionan un campo de prueba para teoremas. La geometría de una variedad tórica está completamente determinada por la combinatoria de su abanico asociado, lo que a menudo hace que los cálculos sean mucho más manejables. Para una determinada clase especial, pero todavía bastante general, de variedades tóricas, esta información también está codificada en un politopo, lo que crea una poderosa conexión del sujeto con la geometría convexa. Ejemplos familiares de variedades tóricas son el espacio afín , los espacios proyectivos, los productos de espacios proyectivos y los paquetes sobre el espacio proyectivo .
La motivación original para estudiar variedades tóricas fue estudiar las incrustaciones de toroides. Dado el toro algebraico T , el grupo de caracteres Hom( T , C x ) forma una red. Dada una colección de puntos A , un subconjunto de esta red, cada punto determina un mapa de C y, por lo tanto, la colección determina un mapa de C |A| . Al tomar el cierre de Zariski de la imagen de dicho mapa, se obtiene una variedad afín. Si la colección de puntos de la red A genera la red de caracteres, esta variedad es una incrustación de toro. De manera similar, se puede producir una variedad tórica proyectiva parametrizada, tomando el cierre proyectivo del mapa anterior y viéndolo como un mapa en un parche afín del espacio proyectivo.
Dada una variedad tórica proyectiva, observe que podemos probar su geometría mediante subgrupos de un parámetro. Cada subgrupo de parámetros, determinado por un punto en la red, dual a la red de caracteres, es una curva perforada dentro de la variedad tórica proyectiva. Dado que la variedad es compacta, esta curva perforada tiene un punto límite único. Por lo tanto, al dividir la red de subgrupos de un parámetro por los puntos límite de las curvas perforadas, obtenemos un abanico de red, una colección de conos racionales poliédricos. Los conos de mayor dimensión corresponden exactamente a los puntos fijos del toro, los límites de estas curvas perforadas.
Supongamos que N es un grupo abeliano libre de rango finito . Un cono poliédrico racional fuertemente convexo en N es un cono convexo (del espacio vectorial real de N ) con vértice en el origen, generado por un número finito de vectores de N , que no contiene ninguna línea que pase por el origen. Estos se llamarán "conos" para abreviar.
Para cada cono σ su variedad tórica afín U σ es el espectro del álgebra de semigrupos del cono dual .
Un abanico es una colección de conos cerrados tomando intersecciones y caras.
La variedad tórica de un abanico se obtiene tomando las variedades tóricas afines de sus conos y pegándolas identificando U σ con una subvariedad abierta de U τ siempre que σ sea una cara de τ. Por el contrario, todo abanico de conos racionales fuertemente convexos tiene una variedad tórica asociada.
El abanico asociado a una variedad tórica condensa algunos datos importantes sobre la variedad. Por ejemplo, una variedad es suave si cada cono en su abanico puede ser generado por un subconjunto de una base para el grupo abeliano libre N.
Supongamos que Δ 1 y Δ 2 son ventiladores en las redes N 1 y N 2 . Si f es un mapa lineal de N 1 a N 2 tal que la imagen de cada cono de Δ 1 está contenida en un cono de Δ 2 , entonces f induce un morfismo f * entre las variedades tóricas correspondientes. Este mapa f * es propio si y sólo si la preimagen de |Δ 2 | bajo el mapa f es |Δ 1 |, donde |Δ| es el espacio subyacente de un abanico Δ dado por la unión de sus conos.
Una variedad tórica es no singular si sus conos de dimensión máxima son generados por una base de la red. Esto implica que cada variedad tórica tiene una resolución de singularidades dada por otra variedad tórica, que puede construirse subdividiendo los conos máximos en conos de variedades tóricas no singulares.
El abanico de un politopo convexo racional en N consta de conos sobre sus caras propias. La variedad tórica del politopo es la variedad tórica de su abanico. Una variación de esta construcción es tomar un politopo racional en el dual de N y tomar la variedad tórica de su conjunto polar en N.
La variedad tórica tiene un mapa del politopo en el dual de N cuyas fibras son toros topológicos. Por ejemplo, el plano proyectivo complejo CP 2 puede representarse mediante tres coordenadas complejas que satisfagan
donde la suma ha sido elegida para tener en cuenta la parte real de reescalado del mapa proyectivo, y las coordenadas deben identificarse además mediante la siguiente acción U(1) :
El enfoque de la geometría tórica es escribir
Las coordenadas no son negativas y parametrizan un triángulo porque
eso es,
El triángulo es la base tórica del plano proyectivo complejo. La fibra genérica es un dos toros parametrizados por las fases de ; la fase de puede elegirse real y positiva por la simetría.
Sin embargo, los dos toros degeneran en tres círculos diferentes en el límite del triángulo, es decir, en o o porque la fase de se vuelve intrascendente, respectivamente.
La orientación precisa de los círculos dentro del toroide generalmente se representa mediante la pendiente de los intervalos de línea (los lados del triángulo, en este caso).
La idea de variedades tóricas es útil para la simetría especular porque una interpretación de ciertos datos de un abanico como datos de un politopo conduce a una construcción combinatoria de variedades especulares.
