En geometría algebraica , una variedad de Fano , introducida por Gino Fano en ( Fano 1934, 1942), es una variedad algebraica que generaliza ciertos aspectos de intersecciones completas de hipersuperficies algebraicas cuya suma de grados es como máximo la dimensión total del espacio proyectivo ambiental . Estas intersecciones completas tienen aplicaciones importantes en geometría y teoría de números , porque normalmente admiten puntos racionales , un caso elemental del cual es el teorema de Chevalley-Warning . Las variedades de Fano proporcionan una generalización abstracta de estos ejemplos básicos para los cuales las cuestiones de racionalidad a menudo todavía son manejables.
Formalmente, una variedad Fano es una variedad X completa cuyo paquete anticanónico K X * es amplio . En esta definición, se podría suponer que X es suave sobre un campo, pero el programa de modelo mínimo también ha llevado al estudio de variedades Fano con varios tipos de singularidades, como singularidades terminales o klt . Recientemente se han aplicado técnicas de geometría diferencial al estudio de variedades de Fano sobre números complejos , y se ha tenido éxito en la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano y en demostrar la existencia de métricas de Kähler-Einstein en ellos mediante el estudio de la estabilidad K de Variedades Fano .
La existencia de algún paquete de líneas amplio en X es equivalente a que X sea una variedad proyectiva , por lo que una variedad Fano siempre es proyectiva. Para una variedad de Fano X sobre números complejos, el teorema de desaparición de Kodaira implica que los grupos de cohomología de la gavilla de la estructura de la gavilla desaparecen para . En particular, el género Todd automáticamente es igual a 1. Los casos de esta afirmación evanescente también nos dicen que la primera clase Chern induce un isomorfismo .
Según la solución de Yau a la conjetura de Calabi , una variedad compleja suave admite métricas de Kähler de curvatura de Ricci positiva si y sólo si es Fano. Por lo tanto, el teorema de Myers nos dice que la cubierta universal de una variedad de Fano es compacta y, por tanto, sólo puede ser una cubierta finita. Sin embargo, acabamos de ver que el género Todd de una variedad Fano debe ser igual a 1. Dado que esto también se aplicaría a la cobertura universal de la variedad, y dado que el género Todd es multiplicativo bajo coberturas finitas, se deduce que cualquier variedad Fano es simplemente conexa .
Un hecho mucho más sencillo es que cada variedad Fano tiene dimensión Kodaira −∞.
Campana y Kollár – Miyaoka – Mori demostraron que una variedad Fano suave sobre un campo algebraicamente cerrado está racionalmente conexa en cadena ; es decir, dos puntos cerrados cualesquiera pueden conectarse mediante una cadena de curvas racionales . [1] Kollár–Miyaoka–Mori también demostró que las variedades suaves de Fano de una dimensión dada sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero forman una familia acotada, lo que significa que se clasifican por los puntos de un número finito de variedades algebraicas. [2] En particular, sólo hay un número finito de clases de deformación de variedades de Fano de cada dimensión. En este sentido, las variedades Fano son mucho más especiales que otras clases de variedades como las variedades de tipo general .
La siguiente discusión se refiere a variedades suaves de Fano sobre números complejos.
Una curva de Fano es isomorfa a la recta proyectiva .
Una superficie de Fano también se llama superficie del Pezzo . Cada superficie de Del Pezzo es isomorfa a P 1 × P 1 o al plano proyectivo ampliado en como máximo ocho puntos, que deben estar en posición general. Como resultado, todos son racionales .
En la dimensión 3, hay variedades de Fano complejas y suaves que no son racionales, por ejemplo, triple cúbico en P 4 (por Clemens - Griffiths ) y triple cuártico en P 4 (por Iskovskikh - Manin ). Iskovskih (1977, 1978, 1979) clasificó los Fano lisos 3 veces con el segundo número de Betti 1 en 17 clases, y Mori y Mukai (1981) clasificaron los lisos con el segundo número de Betti al menos 2, encontrando 88 clases de deformación. En Iskovskikh y Prokhorov (1999) se ofrece un resumen detallado de la clasificación de Fano liso de 3 pliegues.
