Geometría algebraica y geometría analítica.

Dos materias matemáticas estrechamente relacionadas

En matemáticas , la geometría algebraica y la geometría analítica son dos materias estrechamente relacionadas. Mientras que la geometría algebraica estudia variedades algebraicas , la geometría analítica se ocupa de variedades complejas y los espacios analíticos más generales definidos localmente por la desaparición de funciones analíticas de varias variables complejas . La profunda relación entre estos temas tiene numerosas aplicaciones en las que se aplican técnicas algebraicas a espacios analíticos y técnicas analíticas a variedades algebraicas.

Declaración principal

Sea X una variedad algebraica compleja proyectiva . Debido a que X es una variedad compleja, a su conjunto de puntos complejos X ( C ) se le puede dar la estructura de un espacio analítico complejo compacto . Este espacio analítico se denota X ^an . De manera similar, si hay una gavilla en X , entonces hay una gavilla correspondiente en X ^an . Esta asociación de un objeto analítico a uno algebraico es un funtor . El teorema prototípico que relaciona X y X ^{an dice que para dos} haces coherentes cualesquiera y en X , el homomorfismo natural: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})}$

es un isomorfismo. Aquí está el haz de estructura de la variedad algebraica X y es el haz de estructura de la variedad analítica X ^an . Más precisamente, la categoría de haces coherentes en la variedad algebraica X es equivalente a la categoría de haces coherentes analíticas en la variedad analítica X ^an , y la equivalencia se da en objetos mapeando a . (Nótese en particular que en sí mismo es coherente, resultado conocido como teorema de coherencia de Oka , ^[1] y además, se demostró en “Faisceaux Algebriques Coherents” (Serre (1955)) que la estructura del haz de la variedad algebraica es coherente. ^[2] ) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Otra afirmación importante es la siguiente: Para cualquier haz coherente en una variedad algebraica X, los homomorfismos ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{an},{\mathcal {F}}^{an})}$

son isomorfismos para todos los q' s. Esto significa que el q -ésimo grupo de cohomología en X es isomorfo al grupo de cohomología en X ^an .

El teorema se aplica de manera mucho más general que lo indicado anteriormente (consulte la declaración formal a continuación). Éste y su demostración tienen muchas consecuencias, como el teorema de Chow, el principio de Lefschetz y el teorema de desaparición de Kodaira .

Fondo

Las variedades algebraicas se definen localmente como los conjuntos cero comunes de polinomios y dado que los polinomios sobre números complejos son funciones holomorfas , las variedades algebraicas sobre C pueden interpretarse como espacios analíticos. De manera similar, los morfismos regulares entre variedades se interpretan como asignaciones holomorfas entre espacios analíticos. Sorprendentemente, a menudo es posible ir por el otro lado, interpretar los objetos analíticos de forma algebraica.

Por ejemplo, es fácil demostrar que las funciones analíticas de la esfera de Riemann hacia sí misma son funciones racionales o funciones idénticamente infinitas (una extensión del teorema de Liouville ). Porque si tal función f no es constante, entonces dado que el conjunto de z donde f(z) es infinito está aislado y la esfera de Riemann es compacta, hay un número finito de z con f(z) igual a infinito. Considere la expansión de Laurent en todos esos z y reste la parte singular: nos queda una función en la esfera de Riemann con valores en C , que según el teorema de Liouville es constante. Por tanto, f es una función racional. Este hecho muestra que no existe una diferencia esencial entre la recta proyectiva compleja como variedad algebraica o como esfera de Riemann .

Resultados importantes

Existe una larga historia de resultados de comparación entre geometría algebraica y geometría analítica, que comienza en el siglo XIX. Algunos de los avances más importantes se enumeran aquí en orden cronológico.

Teorema de existencia de Riemann

La teoría de superficies de Riemann muestra que una superficie compacta de Riemann tiene suficientes funciones meromórficas , lo que la convierte en una curva algebraica (proyectiva suave) . Con el nombre de teorema de existencia de Riemann ^{[3] [4] [5] [6]} se conoció un resultado más profundo sobre recubrimientos ramificados de una superficie compacta de Riemann: recubrimientos finitos como espacios topológicos se clasifican mediante representaciones de permutación del grupo fundamental del complemento. de los puntos de ramificación . Dado que la propiedad de la superficie de Riemann es local, es bastante fácil considerar que tales recubrimientos son recubrimientos en el sentido analítico complejo. Entonces es posible concluir que provienen de mapas de cobertura de curvas algebraicas, es decir, todas esas coberturas provienen de extensiones finitas del campo de funciones .

El principio de Lefschetz

En el siglo XX, el principio de Lefschetz , llamado así por Solomon Lefschetz , fue citado en geometría algebraica para justificar el uso de técnicas topológicas para geometría algebraica sobre cualquier campo algebraicamente cerrado K de característica 0, al tratar K como si fuera el campo de números complejos. . Una forma elemental afirma que los enunciados verdaderos de la teoría de campos de primer orden sobre C son verdaderos para cualquier campo algebraicamente cerrado K de característica cero. Un principio preciso y su demostración se deben a Alfred Tarski y se basan en la lógica matemática . ^{[7] [8]}

Este principio permite trasladar algunos resultados obtenidos utilizando métodos analíticos o topológicos para variedades algebraicas sobre C a otros campos básicos algebraicamente cerrados de característica 0 (por ejemplo, el teorema de desaparición del tipo Kodaira . ^[9] ).

teorema de chow

Chow (1949), demostrado por Wei-Liang Chow , es un ejemplo del tipo de comparación disponible más inmediatamente útil. Afirma que un subespacio analítico de un espacio proyectivo complejo que es cerrado (en el sentido topológico ordinario) es una subvariedad algebraica. ^[10] Esto puede reformularse como "cualquier subespacio analítico de espacio proyectivo complejo que esté cerrado en la topología fuerte está cerrado en la topología de Zariski ". Esto permite un uso bastante libre de métodos analíticos complejos dentro de las partes clásicas de la geometría algebraica.

GAGÁ

Las bases para las muchas relaciones entre las dos teorías se establecieron a principios de la década de 1950, como parte de la tarea de sentar las bases de la geometría algebraica para incluir, por ejemplo, técnicas de la teoría de Hodge . El artículo principal que consolidó la teoría fue Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique Serre (1956) de Jean-Pierre Serre , ahora conocido generalmente como GAGA . Se prueban resultados generales que relacionan clases de variedades algebraicas, morfismos regulares y haces con clases de espacios analíticos, mapeos holomorfos y haces. Reduce todo esto a la comparación de categorías de gavillas.

Hoy en día, la frase resultado de estilo GAGA se utiliza para cualquier teorema de comparación, permitiendo el paso entre una categoría de objetos de geometría algebraica y sus morfismos, a una subcategoría bien definida de objetos de geometría analítica y asignaciones holomorfas.

Declaración formal de GAGA

1. Sea un esquema de tipo finito sobre C . Entonces existe un espacio topológico X ^an que como conjunto consta de los puntos cerrados de X con un mapa de inclusión continuo λ _X : X ^an → X . La topología de X ^an se denomina "topología compleja" (y es muy diferente de la topología subespacial). ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
2. Supongamos que φ: X → Y es un morfismo de esquemas de tipo localmente finito sobre C . Entonces existe un mapa continuo φ ^an : X ^an → Y ^an tal λ _Y ∘ φ ^an = φ ∘ λ _X .
3. Hay una gavilla en X ^an tal que es un espacio anillado y λ _X : X ^an → X se convierte en un mapa de espacios anillados. El espacio se llama "analitificación" de y es un espacio analítico. Para cada φ: X → Y , el mapa φ ^an definido anteriormente es un mapeo de espacios analíticos. Además, el mapa φ ↦ φ ^an mapea inmersiones abiertas en inmersiones abiertas. Si X = Spec( C [ x ₁ ,..., x _n ]) entonces X an ⁼ C n ^y para cada polidisco U es un cociente adecuado del espacio de funciones holomorfas en U. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)}$
4. Para cada haz en X (llamado haz algebraico) hay un haz en X ^an (llamado haz analítico) y un mapa de haces de -módulos . La gavilla se define como . La correspondencia define un functor exacto desde la categoría de gavillas hasta la categoría de gavillas de . Las dos afirmaciones siguientes son el corazón del teorema GAGA de Serre ^{[11] [12]} (según lo ampliado por Alexander Grothendieck , Amnon Neeman y otros). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \lambda _{X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _{X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle \lambda _{X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _{\lambda _{X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}$
   
5. Si f : X → Y es un morfismo arbitrario de esquemas de tipo finito sobre C y es coherente, entonces el mapa natural es inyectivo. Si f es propia, entonces este mapa es un isomorfismo. En este caso también se tienen isomorfismos de todos los haces de imágenes directas superiores . ^[13] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}$
6. Ahora supongamos que X ^an es de Hausdorff y compacto. Si hay dos haces algebraicos coherentes y si es un mapa de haces de módulos, entonces existe un mapa único de haces de módulos con . Si hay un haz analítico coherente de módulos sobre X ^an entonces existe un haz algebraico coherente de módulos y un isomorfismo . ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f=\varphi ^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}}$

En una generalidad ligeramente menor, el teorema GAGA afirma que la categoría de haces algebraicos coherentes en una variedad proyectiva compleja X y la categoría de haces analíticos coherentes en el espacio analítico correspondiente X ^an son equivalentes. El espacio analítico X ^an se obtiene aproximadamente volviendo a X la estructura compleja desde C ⁿ a través de los gráficos de coordenadas. De hecho, formular el teorema de esta manera se acerca más en espíritu al artículo de Serre, ya que el lenguaje completo de teoría de esquemas que utiliza en gran medida la declaración formal anterior aún no se había inventado en el momento de la publicación de GAGA.

Ver también

• Módulo plano : Serre (1956) introdujo la noción de planitud. Los anillos locales algebraicos y analíticos tienen la misma terminación y, por lo tanto, se convierten en una "pareja plana" (pareja plat). ^[14]

Notas

1. (Salón 2023)
2. (Remmert 1994)
3. (Grauert y Remmert 1958)
4. (Harbater 2003)
5. (Grothendieck y Raynaud 2002, EXPOSE XII, Théorème 5.1 ("Théorème d'existence de Riemann"))
6. (Hartshorne 1977, Apéndice B, Teorema 3.1 (Parte (b)) y 3.2)
7. Para discusiones, ver Seidenberg (1958), Comentarios sobre el principio de Lefschetz ; Frey y Rück (1986), El principio fuerte de Lefschetz en geometría algebraica .
8. (Kühlmann 2001)
9. (Kawamata, Matsuda y Matsuki 1987)
10. (Hartshorne 1970)
11. (Grothendieck y Raynaud 2002, EXPONER XII.)
12. (Neeman 2007)
13. (Grothendieck y Raynaud 2002, EXPOSE XII, 4. Théorèmes de comparaison cohomologique et théorèmes d'existence)
14. (Hartshorne 2010)

Referencias

• Chow, Wei-Liang (1949). "Sobre variedades analíticas complejas compactas". Revista Estadounidense de Matemáticas . 71 (4): 893–914. doi :10.2307/2372375. JSTOR  2372375.
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• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1958). "Komplex Räume". Annalen Matemáticas . 136 (3): 245–318. doi :10.1007/BF01362011. S2CID  121348794.
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• Serre, Jean-Pierre (1956). "Géométrie algébrique et géométrie analytique". Annales de l'Institut Fourier (en francés). 6 : 1–42. doi : 10.5802/aif.59 . ISSN  0373-0956. SEÑOR  0082175.
• Taylor, José L. (2002). "Varias variables complejas con conexiones con geometría algebraica y grupos de mentiras ". Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821831786.

enlaces externos

• Kiran Kedlaya. 18.726 Geometría algebraica (LEC # 30 - 33 GAGA) Primavera de 2009. Instituto de Tecnología de Massachusetts: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .