Morfismo adecuado

En geometría algebraica , un morfismo adecuado entre esquemas es análogo a un mapa adecuado entre espacios analíticos complejos .

Algunos autores denominan variedad propia sobre un campo k variedad completa . Por ejemplo, toda variedad proyectiva sobre un campo k es propia de k . Un esquema X de tipo finito sobre los números complejos (por ejemplo, una variedad) es propio sobre C si y sólo si el espacio X ( C ) de puntos complejos con la topología clásica (euclidiana) es compacto y de Hausdorff .

Una inmersión cerrada es adecuada. Un morfismo es finito si y sólo si es propio y cuasi-finito .

Definición

Un morfismo f : X → Y de esquemas se llama universalmente cerrado si para cada esquema Z con un morfismo Z → Y , la proyección del producto de fibra

${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$

es un mapa cerrado de los espacios topológicos subyacentes . Un morfismo de esquemas se llama propio si es separado , de tipo finito y universalmente cerrado ([EGA] II, 5.4.1 [1]). También se dice que X es propio de Y. En particular, se dice que una variedad X sobre un campo k es propia sobre k si el morfismo X → Spec( k ) es propio.

Ejemplos

Para cualquier número natural n , el espacio proyectivo P ⁿ sobre un anillo conmutativo R es propio sobre R. Los morfismos proyectivos son propios, pero no todos los morfismos propios son proyectivos. Por ejemplo, existe una variedad compleja adecuada y suave de dimensión 3 que no es proyectiva sobre C . ^[1] Las variedades afines de dimensión positiva sobre un campo k nunca son propias sobre k . De manera más general, un morfismo afín de esquemas adecuado debe ser finito. ^[2] Por ejemplo, no es difícil ver que la línea afín A ¹ sobre un campo k no es propia sobre k , porque el morfismo A ¹ → Spec( k ) no es universalmente cerrado. De hecho, el morfismo retraído

${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}}$

(dado por ( x , y ) ↦ y ) no está cerrado, porque la imagen del subconjunto cerrado xy = 1 en A ¹ × A ¹ = A ² es A ¹ − 0, que no está cerrado en A ¹ .

Propiedades y caracterizaciones de morfismos propios.

A continuación, sea f : X → Y un morfismo de esquemas.

• La composición de dos morfismos propios es propia.
• Cualquier cambio de base de un morfismo propio f : X → Y es adecuado. Es decir, si g : Z → Y es cualquier morfismo de esquemas, entonces el morfismo resultante X × _Y Z → Z es adecuado.
• La propiedad es una propiedad local en la base (en la topología de Zariski). Es decir, si Y está cubierto por algunos subesquemas abiertos Yi y la restricción de f a todos los f ⁻¹ (Y _i ) es adecuada, entonces f _también lo es .
• Más claramente, la propiedad es local en la base de la topología fpqc . Por ejemplo, si X es un esquema sobre un campo k y E es una extensión de campo de k , entonces X es propio sobre k si y sólo si el cambio de base X _E es propio sobre E. ^[3]
• Las inmersiones cerradas son apropiadas.
• De manera más general, los morfismos finitos son adecuados. Esta es una consecuencia del teorema de la subida .
• Según Deligne , un morfismo de esquemas es finito si y sólo si es propio y cuasi-finito. ^[4] Grothendieck había demostrado esto si el morfismo f : X → Y es localmente de presentación finita , lo que se sigue de los otros supuestos si Y es noetheriano . ^[5]
• Para X propiamente dicho sobre un esquema S , e Y separado sobre S , la imagen de cualquier morfismo X → Y sobre S es un subconjunto cerrado de Y. ^[6] Esto es análogo al teorema en topología de que la imagen de un mapa continuo desde un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un subconjunto cerrado.
• El teorema de factorización de Stein establece que cualquier morfismo adecuado a un esquema localmente noetheriano puede factorizarse como X → Z → Y , donde X → Z es propio, sobreyectivo y tiene fibras conectadas geométricamente, y Z → Y es finito. ^[7]
• El lema de Chow dice que los morfismos propios están estrechamente relacionados con los morfismos proyectivos . Una versión es: si X es propio sobre un esquema cuasi-compacto Y y X tiene solo un número finito de componentes irreducibles (lo cual es automático para Y noetheriano), entonces existe un morfismo sobreyectivo proyectivo g : W → X tal que W es proyectivo sobre Y.​ Además , se puede disponer que g sea un isomorfismo sobre un subconjunto abierto denso U de X , y que g ⁻¹ ( U ) sea denso en W. También se puede disponer que W es integral si X es integral. ^[8]
• El teorema de compactación de Nagata , generalizado por Deligne, dice que un morfismo separado de tipo finito entre esquemas cuasi compactos y cuasi separados influye como una inmersión abierta seguida de un morfismo propio. ^[9]
• Los morfismos propios entre esquemas noetherianos locales preservan haces coherentes, en el sentido de que las imágenes directas superiores R ⁱ f _∗ ( F ) (en particular la imagen directa f _∗ ( F )) de un haz coherente F son coherentes (EGA III, 3.2. 1). (De manera análoga, para un mapa adecuado entre espacios analíticos complejos, Grauert y Remmert demostraron que las imágenes directas superiores conservan haces analíticos coherentes). Como caso muy especial: el anillo de funciones regulares en un esquema adecuado X sobre un campo k tiene dimensión finita como un k -espacio vectorial. Por el contrario, el anillo de funciones regulares en la línea afín sobre k es el anillo polinomial k [ x ], que no tiene dimensión finita como k -espacio vectorial.
• También hay una declaración un poco más fuerte de esto: (EGA III, 3.2.4) sea un morfismo de tipo finito, S localmente noetheriano y un -módulo. Si el apoyo de F es propio de S , entonces para cada uno la imagen directa superior es coherente. ${\displaystyle f\colon X\to S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$
• Para un esquema X de tipo finito sobre números complejos, el conjunto X ( C ) de puntos complejos es un espacio analítico complejo , utilizando la topología clásica (euclidiana). Para X e Y separados y de tipo finito sobre C , un morfismo f : X → Y sobre C es propio si y sólo si el mapa continuo f : X ( C ) → Y ( C ) es propio en el sentido de que la imagen inversa de cada conjunto compacto es compacto. ^[10]
• Si f : X → Y y g : Y → Z son tales que gf es propia y g está separada, entonces f es propia. Esto se puede demostrar fácilmente, por ejemplo, utilizando el siguiente criterio.

Criterio valorativo de idoneidad.

Criterio valorativo de idoneidad.

Hay un criterio muy intuitivo de idoneidad que se remonta a Chevalley . Se le llama comúnmente criterio valorativo de idoneidad . Sea f : X → Y un morfismo de esquemas noetherianos de tipo finito . Entonces f es propia si y sólo si para todos los anillos de valoración discretos R con campo fraccionario K y para cualquier punto valorado en K x ∈ X ( K ) que se corresponda con un punto f ( x ) definido sobre R , existe un único elevación de x a . (EGA II, 7.3.8). De manera más general, un morfismo cuasi separado f : X → Y de tipo finito (nota: el tipo finito incluye cuasi-compacto) de 'cualquier' esquemas X , Y es adecuado si y solo si para todos los anillos de valoración R con campo de fracción K y para cualquier punto con valor K x ∈ X ( K ) que se asigne a un punto f ( x ) que esté definido sobre R , existe una elevación única de x a . (Apila las etiquetas del proyecto 01KF y 01KY). Teniendo en cuenta que Spec K es el punto genérico de Spec R y que los anillos de valoración discretos son precisamente los anillos unidimensionales locales regulares , se puede reformular el criterio: dada una curva regular en Y (correspondiente al morfismo s : Spec R → Y ) y dada una elevación del punto genérico de esta curva a X , f es adecuada si y sólo si hay exactamente una forma de completar la curva. ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

De manera similar, f está separada si y solo si en cada uno de esos diagramas hay como máximo un ascensor . ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

Por ejemplo, dado el criterio de valoración, resulta fácil comprobar que el espacio proyectivo P ⁿ es propio sobre un campo (o incluso sobre Z ). Simplemente se observa que para un anillo de valoración discreto R con campo fraccionario K , cada K -punto [ x ₀ ,..., x _n ] del espacio proyectivo proviene de un R -punto, escalando las coordenadas para que todas se encuentren en R y al menos uno es una unidad en R .

Interpretación geométrica con discos.

Uno de los ejemplos que motivan el criterio valorativo de propiedad es la interpretación de como disco infinitesimal o, analíticamente compleja, como disco . Esto se debe al hecho de que cada serie de potencias ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])}$ ${\displaystyle \Delta =\{x\in \mathbb {C} :|x|<1\}}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}}$

converge en algún disco de radio alrededor del origen. Luego, usando un cambio de coordenadas, esto se puede expresar como una serie de potencias en el disco unitario. Entonces, si invertimos , este es el anillo que son las series de potencias que pueden tener un polo en el origen. Esto se representa topológicamente como el disco abierto sin el origen. Para un morfismo de esquemas sobre , esto viene dado por el diagrama conmutativo ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}}$

Entonces, el criterio de valoración de la idoneidad sería rellenar el punto en la imagen de . ${\displaystyle 0\in \Delta }$ ${\displaystyle \Delta ^{*}}$

Ejemplo

Es instructivo observar un contraejemplo para ver por qué el criterio valorativo de propiedad debería aplicarse a espacios análogos a variedades compactas cerradas. Si tomamos y , entonces un morfismo factoriza a través de un gráfico afín de , reduciendo el diagrama a ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}}$ ${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}$

¿ Dónde está centrado el gráfico ? Esto da el diagrama conmutativo de álgebras conmutativas. ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}}$

Entonces, un levantamiento del diagrama de esquemas, implicaría que hay un envío de morfismo desde el diagrama conmutativo de álgebras. Por supuesto, esto no puede suceder. Por lo tanto, no es apropiado terminar . ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]}$ ${\displaystyle t\mapsto t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Interpretación geométrica con curvas.

Hay otro ejemplo similar del criterio valorativo de idoneidad que capta parte de la intuición de por qué debería ser válido este teorema. Considere una curva y el complemento de un punto . Entonces el criterio valorativo de idoneidad se leería como un diagrama ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C-\{p\}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

con un levantamiento de . Geométricamente, esto significa que cada curva del esquema se puede completar hasta obtener una curva compacta. Esta pequeña intuición se alinea con la interpretación teórica de esquemas de un morfismo de espacios topológicos con fibras compactas, de que una secuencia en una de las fibras debe converger. Debido a que esta situación geométrica es un problema local, el diagrama se reemplaza mirando el anillo local , que es un DVR, y su campo de fracción . Luego, el problema de elevación da el diagrama conmutativo. ${\displaystyle C\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

donde el esquema representa un disco local alrededor del cual se ha eliminado el punto cerrado . ${\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Morfismo propio de esquemas formales.

Sea un morfismo entre esquemas formales localmente noetherianos . Decimos que f es propia o es adecuada si (i) f es un morfismo ádico (es decir, asigna el ideal de definición al ideal de definición) y (ii) la aplicación inducida es propia, donde y K es el ideal de definición de .(EGA III, 3.4.1) La definición es independiente de la elección de K . ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I),S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K),I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

Por ejemplo, si g : Y → Z es un morfismo propio de esquemas noetherianos locales, Z ₀ es un subconjunto cerrado de Z e Y ₀ es un subconjunto cerrado de Y tal que g ( Y ₀ ) ⊂ Z ₀ , entonces el morfismo sobre terminaciones formales es un morfismo propio de los esquemas formales. ${\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}}$

Grothendieck demostró el teorema de coherencia en este contexto. Es decir, sea un morfismo propio de esquemas formales localmente noetherianos. Si F es un haz coherente en , entonces las imágenes directas superiores son coherentes. ^[11] ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$

Ver también

• Teorema de cambio de base adecuado
• factorización de Stein

Referencias

1. Hartshorne (1977), Apéndice B, Ejemplo 3.4.1.
2. Liu (2002), Lema 3.3.17.
3. Proyecto Stacks, etiqueta 02YJ.
4. Grothendieck, EGA IV, Parte 4, Corolario 18.12.4; Proyecto de pilas, etiqueta 02LQ.
5. Grothendieck, EGA IV, Parte 3, Théorème 8.11.1.
6. Proyecto de pilas, etiqueta 01W0.
7. Proyecto de pilas, etiqueta 03GX.
8. Grothendieck, EGA II, Corolaire 5.6.2.
9. Conrad (2007), Teorema 4.1.
10. SGA 1, XII Proposición 3.2.
11. Grothendieck, EGA III, Parte 1, Théorème 3.4.2.

• SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961 (Revestimientos de Étale y el grupo fundamental), Lecture Notes in Mathematics 224, 1971
• Conrad, Brian (2007), "Notas de Deligne sobre las compactaciones de Nagata" (PDF) , Revista de la Sociedad Matemática Ramanujan , 22 : 205–257, SEÑOR  2356346
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classs de morfismos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. doi :10.1007/bf02699291. SEÑOR  0217084., sección 5.3. (definición de idoneidad), sección 7.3. (criterio valorativo de idoneidad)
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 : 5–167. doi :10.1007/bf02684274. SEÑOR  0217085.
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 28 : 5–255. doi :10.1007/bf02684343. SEÑOR  0217086., sección 15.7. (generalizaciones de criterios valorativos a esquemas no necesariamente noetherianos)
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR  0238860.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Liu, Qing (2002), Geometría algebraica y curvas aritméticas , Oxford: Oxford University Press , ISBN 9780191547805, señor  1917232

enlaces externos

• VI Danilov (2001) [1994], "Morfismo adecuado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks