En geometría algebraica, un morfismo de esquemas f de X a Y se llama cuasi-separado si la función diagonal de X a X × Y X es cuasi-compacta (lo que significa que la imagen inversa de cualquier conjunto abierto cuasi-compacto es cuasi-compacta). Un esquema X se llama cuasi-separado si el morfismo a Spec Z es cuasi-separado. Los espacios algebraicos cuasi-separados y las pilas algebraicas y los morfismos entre ellos se definen de manera similar, aunque algunos autores incluyen la condición de que X esté cuasi-separado como parte de la definición de un espacio algebraico o pila algebraica X . Los morfismos cuasi-separados fueron introducidos por Grothendieck y Dieudonné (1964, 1.2.1) como una generalización de los morfismos separados.
Todos los morfismos separados (y todos los morfismos de los esquemas noetherianos ) quedan automáticamente cuasi separados. Los morfismos cuasi separados son importantes para los espacios algebraicos y las pilas algebraicas, donde muchos morfismos naturales están cuasi separados pero no separados.
La condición de que un morfismo esté cuasi separado a menudo ocurre junto con la condición de que sea cuasi compacto.
Ejemplos
- Si X es un esquema localmente noetheriano, entonces cualquier morfismo de X a cualquier esquema está cuasi-separado, y en particular X es un esquema cuasi-separado.
- Cualquier esquema o morfismo separado es cuasi-separado.
- La línea con dos orígenes sobre un campo está cuasi separada sobre el campo pero no separada.
- Si X es un "espacio vectorial de dimensión infinita con dos orígenes" sobre un cuerpo K , entonces el morfismo de X a spec K no está cuasi separado. Más precisamente, X consiste en dos copias de Spec K [ x 1 , x 2 ,....] pegadas entre sí mediante la identificación de los puntos distintos de cero en cada copia.
- El cociente de un espacio algebraico por un grupo discreto infinito que actúa libremente no suele estar cuasi separado. Por ejemplo, si K es un cuerpo de característica 0 , entonces el cociente de la recta afín por el grupo Z de números enteros es un espacio algebraico que no está cuasi separado. Este espacio algebraico es también un ejemplo de un objeto de grupo en la categoría de espacios algebraicos que no es un esquema; los espacios algebraicos cuasi separados que son objetos de grupo son siempre esquemas de grupo. Hay ejemplos similares dados al tomar el cociente del esquema de grupo G m por un subgrupo infinito, o el cociente de los números complejos por un retículo.
Referencias
