ideal principal

En álgebra , un ideal primo es un subconjunto de un anillo que comparte muchas propiedades importantes de un número primo en el anillo de los números enteros . ^[1]^[2] Los ideales primos para los números enteros son los conjuntos que contienen todos los múltiplos de un número primo dado, junto con el ideal cero .

Los ideales primitivos son primos y los ideales primos son tanto primarios como semiprimos .

Ideales primos para anillos conmutativos

Definición

Un $P$ ideal de un anillo conmutativo $R$ es primo si tiene las dos propiedades siguientes:

Si $a$ y $b$ son dos elementos de $R$ tales que su producto $ab$ es un elemento de $P$ , entonces $a$ está en $P$ o $b$ está en $P$ ,
$P$ no es todo el anillo $R$ .

Esto generaliza la siguiente propiedad de los números primos, conocida como lema de Euclides : si $p$ es un número primo y si $p$ divide un producto $ab$ de dos números enteros , entonces $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$ . Por lo tanto podemos decir

Un entero positivo

n

es un número primo si y sólo si es un ideal primo en

n\mathbb {Z}

\mathbb {Z}.

Ejemplos

Un ejemplo sencillo: en el anillo el subconjunto de números pares es un ideal primo. $R=\mathbb {Z},$

Dado un dominio integral , cualquier elemento primo genera un ideal primo principal . El criterio de Eisenstein para dominios integrales (de ahí los UFD ) es una herramienta eficaz para determinar si un elemento en un anillo polinómico es irreducible o no . Por ejemplo, tomemos un polinomio irreducible en un anillo polinómico sobre algún campo . $R$ $p\en R$ $(p)$ $f(x_{1},\ldots,x_{n})$ $\mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $\mathbb {F}$

Si $R$ denota el anillo de polinomios en dos variables con coeficientes complejos , entonces el ideal generado por el polinomio $Y$ $2$ $-$ $X$ $3$ $-$ $X$ $- 1$ es un ideal primo (ver curva elíptica ). $\mathbb {C} [X,Y]$

En el anillo de todos los polinomios con coeficientes enteros, el ideal generado por $2$ y $X$ es un ideal primo. Está formado por todos aquellos polinomios cuyo coeficiente constante es par. $\mathbb {Z} [X]$

En cualquier anillo $R$ , un ideal máximo es un ideal $M$ que es máximo en el conjunto de todos los ideales propios de $R$ , es decir, M $está$ contenido exactamente en dos ideales de $R$ , a saber, $M$ mismo y todo el anillo $R.$ Todo ideal máximo es, de hecho, primo. En un dominio ideal principal, todo ideal primo distinto de cero es máximo, pero esto no es cierto en general. Para la UFD , el Nullstellensatz de Hilbert establece que todo ideal máximo es de la forma $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $(x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).$

Si $M$ es una variedad suave , $R$ es el anillo de funciones reales suaves en $M$ , y $x$ es un punto en $M$ , entonces el conjunto de todas las funciones suaves $f$ con $f (x) = 0$ forma un ideal primo (incluso un ideal máximo ) en $R$ .

No ejemplos

Considere la composición de los siguientes dos cocientes .

\mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}

Aunque los dos primeros anillos son dominios integrales (de hecho, el primero es un UFD), el último no es un dominio integral ya que es isomorfo a

{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C}

mostrando que el ideal no es primo. (Vea la primera propiedad enumerada a continuación).

(x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]

Otro no ejemplo es el ideal ya que tenemos $(2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]$

x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)

pero ni ni son elementos del ideal.

x-1

x+1

Propiedades

Un $I$ ideal en el anillo $R$ (con unidad ) es primo si y sólo si el anillo factorial $R / I$ es un dominio integral . En particular, un anillo conmutativo (con unidad) es un dominio integral si y sólo si $(0)$ es un ideal primo. (Obsérvese que el anillo cero no tiene ideales primos, porque el ideal (0) es el anillo completo.)
Un ideal $I$ es primo si y sólo si su complemento de la teoría de conjuntos es multiplicativamente cerrado . ^[3]
Todo anillo distinto de cero contiene al menos un ideal primo (de hecho contiene al menos un ideal máximo), lo cual es una consecuencia directa del teorema de Krull .
De manera más general, si $S$ es cualquier conjunto multiplicativamente cerrado en $R$ , entonces un lema esencialmente debido a Krull muestra que existe un ideal de $R$ máximo con respecto a ser disjunto de $S$ y, además, el ideal debe ser primo. Esto se puede generalizar aún más a anillos no conmutativos (ver más abajo). [ ^4] En el caso ${S} = {1},$ tenemos el teorema de Krull , y este recupera los ideales máximos de $R.$ Otro sistema m prototípico es el conjunto, ${x, x 2, x 3, x 4, ...},$ de todas las potencias positivas de un elemento no nilpotente .
La preimagen de un ideal primo bajo un homomorfismo de anillo es un ideal primo. El hecho análogo no siempre es cierto para los ideales máximos , que es una de las razones por las que los geómetras algebraicos definen el espectro de un anillo como su conjunto de ideales primos en lugar de ideales máximos; uno quiere un homomorfismo de anillos para dar un mapa entre sus espectros.
El conjunto de todos los ideales primos (llamado espectro de un anillo ) contiene elementos mínimos (llamados ideales primos mínimos ). Geométricamente, estos corresponden a componentes irreducibles del espectro.
La suma de dos ideales primos no es necesariamente prima. Por ejemplo, considere el anillo con ideales primos $P$ $= ($ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1)$ y $Q$ $= ($ $x$ $)$ (los ideales generados por $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1$ y $x$ respectivamente). Su suma $P$ $+$ $Q$ $= ($ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $- 1,$ $x$ $) = ($ $y$ $2$ $- 1,$ $x$ $)$ sin embargo no es prima: $y$ $2$ $- 1 = ($ $y$ $- 1)($ $y$ $+ 1) \in$ $P$ $+$ $Q$ pero sus dos factores no lo son. Alternativamente, el anillo cociente tiene cero divisores , por lo que no es un dominio integral y, por lo tanto, $P$ $+$ $Q$ no puede ser primo. $\mathbb {C} [x,y]$
No todo ideal que no pueda dividirse en dos ideales es un ideal primordial; por ejemplo , no se puede factorizar pero no es primo. $(x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]$
En un anillo conmutativo $R$ con al menos dos elementos, si todo ideal propio es primo, entonces el anillo es un campo. (Si el ideal $(0)$ es primo, entonces el anillo $R$ es un dominio integral. Si $q$ es cualquier elemento distinto de cero de $R$ y el ideal $(q 2)$ es primo, entonces contiene $a q$ y luego $q$ es invertible .)
Un ideal principal distinto de cero es primo si y sólo si es generado por un elemento primo . En una UFD, todo ideal primo distinto de cero contiene un elemento primo.

Usos

Un uso de los ideales primos ocurre en geometría algebraica , donde las variedades se definen como los conjuntos cero de ideales en anillos polinomiales. Resulta que las variedades irreductibles corresponden a ideales primos. En el enfoque abstracto moderno, se comienza con un anillo conmutativo arbitrario y se convierte el conjunto de sus ideales primos, también llamado espectro , en un espacio topológico y así se pueden definir generalizaciones de variedades llamadas esquemas , que encuentran aplicaciones no sólo en geometría , sino también en geometría . también en teoría de números .

La introducción de los ideales primos en la teoría algebraica de números fue un gran paso adelante: se comprendió que la importante propiedad de factorización única expresada en el teorema fundamental de la aritmética no se cumple en todos los anillos de números enteros algebraicos , pero se encontró un sustituto cuando Richard Dedekind reemplazó elementos por ideales y elementos primos por ideales primos; véase dominio de Dedekind .

Ideales primos para anillos no conmutativos

La noción de ideal primo se puede generalizar a anillos no conmutativos utilizando la definición conmutativa "ideal". Wolfgang Krull avanzó esta idea en 1928. ^[5] El siguiente contenido se puede encontrar en textos como los de Goodearl ^[6] y Lam. ^[7] Si $R$ es un anillo (posiblemente no conmutativo) y $P$ es un ideal propio de $R$ , decimos que $P$ es primo si para dos ideales cualesquiera $A$ y $B$ de $R$ :

Si el producto de los ideales AB $está$ contenido en $P$ , entonces al menos uno de $A$ y $B$ está contenido en $P.$

Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la conmutativa en anillos conmutativos. Se verifica fácilmente que si un ideal de un anillo no conmutativo $R$ satisface la definición conmutativa de primo, entonces también satisface la versión no conmutativa. Un ideal $P$ que satisface la definición conmutativa de primo a veces se denomina ideal completamente primo para distinguirlo de otros ideales meramente primos en el anillo. Los ideales completamente primos son ideales primos, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el ideal cero en el anillo de matrices $n \times n$ sobre un campo es un ideal primo, pero no es completamente primo.

Esto se acerca al punto de vista histórico de los ideales como números ideales , ya que para el anillo " $A$ está contenido en $P$ " es otra forma de decir " $P$ divide a $A$ ", y el ideal unitario $R$ representa la unidad. $\mathbb {Z}$

Las formulaciones equivalentes del ideal $P \neq R$ primo incluyen las siguientes propiedades:

Para todos $a$ y $b$ en $R$ , $(a)(b) \subseteq P$ implica $a \in P$ o $b \in P$ .
Para dos ideales rectos cualesquiera de $R$ , $AB \subseteq P$ implica $A \subseteq P$ o $B \subseteq P.$
Para dos ideales izquierdos cualesquiera de $R$ , $AB \subseteq P$ implica $A \subseteq P$ o $B \subseteq P.$
Para cualquier elemento $a$ y $b$ de $R$ , si $aRb \subseteq P$ , entonces $a \in P$ o $b \in P.$

Los ideales primos en anillos conmutativos se caracterizan por tener complementos multiplicativamente cerrados en $R$ y, con una ligera modificación, se puede formular una caracterización similar para los ideales primos en anillos no conmutativos. Un subconjunto no vacío $S \subseteq R$ se llama sistema m si para cualquier $a$ y $b$ en $S$ , existe $r$ en $R$ tal que arb $está$ en $S.$ ^[8] A continuación se puede añadir el siguiente elemento a la lista de condiciones equivalentes anterior:

El complemento $R ∖ P$ es un sistema m.

Ejemplos

Cualquier ideal primitivo es primo.
Al igual que con los anillos conmutativos, los ideales máximos son primos y también los ideales primos contienen ideales primos mínimos.
Un anillo es un anillo primo si y sólo si el ideal cero es un ideal primo y, además, un anillo es un dominio si y sólo si el ideal cero es un ideal completamente primo.
Otro hecho de la teoría conmutativa que se repite en la teoría no conmutativa es que si $A$ es un módulo $R$ distinto de cero y $P$ es un elemento maximal en el conjunto de ideales aniquiladores de los submódulos de $A$ , entonces $P$ es primo.

Hechos importantes

Lema de evitación principal . Si $R$ es un anillo conmutativo, y $A$ es un subanillo (posiblemente sin unidad), y $I 1, ..., In es una colección$ de ideales de $R$ con como máximo dos miembros no primos, entonces si $A$ no está contenido en cualquier $I j$ , tampoco está contenido en la $unión$ de I $1, ..., In$ . ^[9] En particular, $A$ podría ser un ideal de $R$ .
Si $S$ es cualquier sistema m en $R$ , entonces un lema esencialmente debido a Krull muestra que existe un ideal $I$ de $R$ máximo con respecto a ser disjunto de $S$ , y además el ideal $I$ debe ser primo (la primalidad $I$ puede demostrarse de la siguiente manera: si , entonces existen elementos tales que por la propiedad máxima de $I.$ Ahora bien, si , entonces , lo cual es una contradicción). [ ^4] En el caso ${$ $S$ $} = {1},$ tenemos el teorema de Krull , y este recupera los ideales máximos de $R.$ Otro sistema m prototípico es el conjunto, ${$ $x$ $,$ $x$ $2$ $,$ $x$ $3$ $,$ $x$ $4$ $, ...},$ de todas las potencias positivas de un elemento no nilpotente . $a,b\not \in I$ $s,t\in S$ $s\in I+(a),t\in I+(b)$ $(a)(b)\subset I$ $st\in (I+(a))(I+(b))\subset I+(a)(b)\subset I$
Para un ideal primo $P$ , el complemento $R ∖ P$ tiene otra propiedad además de ser un sistema m. Si xy está en $R ∖ P$ , entonces tanto $x$ como $y$ deben estar en $R ∖ P$ , ya que $P$ es un ideal. Un conjunto que contiene los divisores de sus elementos se llama saturado .
Para un anillo conmutativo $R$ , existe una especie de recíproco para la afirmación anterior: si $S$ es cualquier subconjunto no vacío saturado y multiplicativamente cerrado de $R$ , el complemento $R ∖ S$ es una unión de ideales primos de $R$ . ^[10]
La intersección de miembros de una cadena descendente de ideales primos es un ideal primo, y en un anillo conmutativo la unión de miembros de una cadena ascendente de ideales primos es un ideal primo. Con el Lema de Zorn , estas observaciones implican que el conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo (parcialmente ordenado por inclusión) tiene elementos máximos y mínimos.

Conexión con la maximalidad

Los ideales primos frecuentemente pueden producirse como elementos maximales de ciertas colecciones de ideales. Por ejemplo:

Un máximo ideal con respecto a tener una intersección vacía con un sistema m fijo es primo.
Un máximo ideal entre aniquiladores de submódulos de un módulo $R fijo$ $M$ es primo.
En un anillo conmutativo, un máximo ideal con respecto a no ser principal es primo. ^[11]
En un anillo conmutativo, un máximo ideal con respecto a no ser generado contablemente es primo. ^[12]

Ver también

Referencias

^ Tonto, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
^ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Saltador . ISBN 0-387-95385-X.
^ Reid, millas (1996). Álgebra conmutativa de pregrado . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-45889-7.
^ ab Primer curso de Lam en anillos no conmutativos , p. 156
^ Krull, Wolfgang, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen , Sitzungsberichte Heidelberg. Akád. Wissenschaft (1928), 7. Abhandl., 3-14.
^ Goodearl, Introducción a los anillos noetherianos no conmutativos
^ Lam, primer curso de anillos no conmutativos
^ Obviamente, los conjuntos multiplicativamente cerrados son m-sistemas.
^ Álgebra básica II de Jacobson , p. 390
^ Anillos conmutativos de Kaplansky , p. 2
^ Anillos conmutativos de Kaplansky , p. 10, Éx 10.
^ Anillos conmutativos de Kaplansky , p. 10, Éx 11.

Otras lecturas

Goodearl, KR; Warfield, RB, Jr. (2004), Introducción a los anillos noetherianos no conmutativos , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, vol. 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, págs. xxiv+344, doi :10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, SEÑOR 2080008{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica. II (2 ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, págs. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, señor 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., págs. x+180, MR 0254021
Lam, TY (2001), Un primer curso sobre anillos no conmutativos , Textos de Graduado en Matemáticas, vol. 131 (2ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. xx+385, doi :10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, SEÑOR 1838439, Zbl 0980.16001
Lam, TY ; Reyes, Manuel L. (2008), "Un principio ideal primo en álgebra conmutativa", J. Algebra , 319 (7): 3006–3027, doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.07.016 , ISSN 0021-8693, SEÑOR 2397420, Zbl 1168.13002
"Prime ideal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]